单元培优易错题第三单元：因数与倍数-苏教版五年级下册数学培优卷（含答案）

单元培优易错题第三单元：因数与倍数-五年级下册数学培优卷（苏教版）
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、选择题
1．用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且没有浪费的是（ ）。（单位：厘米。其中“”表示长108厘米、宽80厘米。）
A． B． C． D．
2．下面的数不是9的倍数的是（ ）。
A．81 B．297 C．300 D．909
3．用24个边长为1厘米的正方形拼成一个大长方形，有（ ）种不同的拼法。
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如果a、b表示两个不同的自然数（0除外），且a÷b＝5，那么a和b的最大公因数是（ ）。
A．因为a是b的5倍，所以a和b的最大公因数是5
B．因为a和b都无法确定到底是几，也就求不出这两个数的最大公因数
C．因为a是b的倍数，且a＞b，所以a和b的最大公因数就是b
5．行李箱密码是一个“520□”的四位数，密码组成的数“既是2的倍数，也是3的倍数”，符合密码规则的共有（ ）种可能。
A．2 B．3 C．4 D．5
6．将标有1、2、3、4、5的五个小球放在一个袋子里，从袋子里任意摸一个球，摸出的球是奇数或偶数的可能性相比，（ ）。
A．奇数可能性大 B．偶数可能性大 C．一样大 D．无法比较
7．小学阶段学了很多数学知识，它们之间有密切的联系。下面不能正确表示它们之间关系的是（ ）。
A．B．C．
8．一个三位数，既是2、3的倍数，也是5的倍数，这个数最小是（ ）。
A．120 B．102 C．105 D．150
9．李老师买来36支钢笔和54本笔记本奖励给在数学竞赛中获奖的同学们，每名同学分到钢笔支数相同，分到的笔记本本数也相同，钢笔和笔记本都正好分完。获奖的同学最多有（ ）名。
A．18 B．9 C．6
二、填空题
10．20以内的自然数中，既是奇数又是合数的是( )，既是偶数又是质数的是( )。
11．一个数最大的因数是51，这个数是( )，把这个数分解质因数( )。
12．两根木头的长度分别为32分米与80分米，如果要将他们截成同样长度的小段，每段最长是( )分米，一共可以截成( )段。
13．一个数既是2和3的倍数，又有因数5，这个数最小是( )，把它分解质因数是( )。
14．在m÷n＝7中（m和n为非零自然数），用“倍数”或“因数”描述m和n的关系：( )。
15．24的因数有( )个，其中质数是( )，合数是( )。
16．( )是最小的奇数，( )是最小的偶数，最小的质数是( )。最小合数是( )。
17．一个数的最大因数是12。这个数的因数有：( )。一个数的最小倍数是8，写出5个这个数的倍数：( )。
三、判断题
18．如果a÷b＝3（a、b都是正整数），那么a和b的最大公因数是a。( )
19．因为4×5＝20，所以20是倍数，4和5是因数。( )
20．因为，所以4和7都是28的质因数。( )
21．乘数都是奇数，积一定是奇数。( )
22．用2、6、7这三个数字组成的所有三位数都是3的倍数。( )
23．质数一定是奇数，但合数不一定是偶数。( )
24．因为6的倍数一定是3的倍数，所以3的倍数也一定是6的倍数。( )
25．35是35的因数，也是35的倍数。( )
26．一个自然数越大，它的因数个数就越多。( )
四、计算题
27．直接写得数．
0.25＋0.5＝ 4.7－0.7＝ 1.2×5＝
1－0.99＝ 7.8÷6＝ 3.27－0.78－0.27＝
28．解方程。
x＋350＝560 x－1.2＝82 53－x＝42
0.2x－3.2＝5 0.6x＋3＝15 2x÷0.3＝2.1
五、解答题
29．为庆祝“六一“儿童节，李老师买了一包糖果分给幼儿的小朋友。无论是平均分给8个小朋友，还是平均分给10个小朋友，都能正好分完。请你帮忙算一算，这包糖果至少有多少块糖？
一个长方形的池塘，长60米，宽42米，如果在它的四周及四角栽柳树，每相邻两棵树之间的距离要相等，那么最少要栽多少棵？如果每两棵柳树之间栽2棵桃树，那么桃树一共栽了多少棵？
为了做好城市亮化工程，有一条路原来从一端起每隔9米有一盏路灯（两端都有），共有81盏。现在要重新安装，要从一端起每隔6米装一盏。为节省施工成本，有些位置的路灯是不需要重新安装的。不需要重新安装的路灯有多少盏？
32．1路公交车每6分钟发一次车，2路公交车每8分钟发一次车，已知两路车于5时40分同时从总站发车，下一次两路车同时从总站发车是几时几分？
33.有两根钢管分别长24分米、20分米，现在要把它们锯成同样长的小段，每段钢管要尽可能长，且没有剩余。每段钢管长多少分米？一共可以锯成多少这样的小段？
34.把一张长48厘米、宽40厘米的长方形纸裁成同样大的正方形。如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？
35.五（2）班同学做操，无论是6人一排，还是7人一排，都多2人，已知五（2）班人数在40至60之间，五（2）班有学生多少人？
36．有一条人行道，工作人员给这条人行道的一侧安装路灯（两端都安装）。开始时每隔6米安装一盏路灯，共安装了21盏，后改为每隔8米安装一盏。这样，不用移装的路灯有几盏？
参考答案：
1．C
【分析】根据题意可知，正方形的边长是长方形长、宽的公因数，据此解答。
【详解】A．108和80的最大公因数是4，不符合题意；
B．90和60的最大公因数是30，没有公因数12不符合题意；
C．120和72的最大公因数是24，含有公因数12，符合题意；
D．120和90的最大公因数是30，不符合题意；
故答案为：C
根据公因数的实际应用，当数字较大时，求两个数的公因数用短除法。
2．C
【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答。
【详解】A．81÷9＝9，则81是9的倍数；
B．297÷9＝33，则297是9的倍数；
C．300÷9＝33……3，则300不是9的倍数；
D．909÷9＝101，则909是9的倍数。
故答案为：C
本题主要考查因数倍数的认识，掌握因数倍数的意义是解答题目的关键。
3．B
【分析】边长为1厘米的正方形的面积是1平方厘米，由此可知，大正方形的面积是24平方厘米，根据长方形的面积＝长×宽，确定出长与宽即可解答。
【详解】1×24＝2×12＝3×8＝4×6＝24
所以一共有4种不同的拼法。
故选择：B
此题主要考查了因数的找法，用配对法，认真解答即可。
4．C
【分析】两个非0自然数为倍数关系时，它们的最大公因数数是较小的数，最小公倍数是较大的数，据此解答即可。
【详解】由a、b表示两个不同的自然数（0除外），且a÷b＝5，所以a和b是倍数关系。
A．因为a是b的5倍，所以a和b的最大公因数是5，说法错误，a和b的最大公因数是是b；
B．因为a和b都无法确定到底是几，也就求不出这两个数的最大公因数，说法错误；
C．因为a是b的倍数，且a＞b，所以a和b的最大公因数就是b，说法正确。
故答案为：C
熟练掌握两个数为倍数关系时最大公因数是较小的数是解题的关键。
5．A
【分析】既是2的倍数，也是3的倍数的数的特征：个位上是0、2、4、6或8；各数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。
【详解】个位上是0时，5＋2＋0＋0＝7，7不是3的倍数，则□里面不是0；
个位上是2时，5＋2＋0＋2＝9，9是3的倍数，则□里面可能是2；
个位上是4时，5＋2＋0＋4＝11，11不是3的倍数，则□里面不是4；
个位上是6时，5＋2＋0＋6＝13，13不是3的倍数，则□里面不是6；
个位上是8时，5＋2＋0＋8＝15，15是3的倍数，则□里面可能是8。
符合密码规则的共有5202和5208两种可能。
故答案为：A
本题考查2、3的倍数的应用。掌握2和3的倍数特征是解题的关键。
6．A
【分析】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数；再根据可能性的大小与球数量的多少有关，数量多则被摸到的可能性就大，反之被摸到的可能性就小。据此选择即可。
【详解】这五个小球里奇数有：1、3、5共三个；偶数有：2、4共两个。
所以摸出的球是奇数的可能性比较大。
故答案为：A
本题考查奇数和偶数，明确奇数和偶数的定义是解题的关键。
7．C
【分析】根据三角形的分类，因数与倍数的关系，以及质数与合数，奇数与偶数的关系，进行解答。
【详解】A．三角形按角可以分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，它们是并列关系，图中关系正确；
B．a的最大的因数是a，a的最小倍数是a，图中关系正确；
C．2是质数，但是2不是奇数，所以图中关系错误。
故答案为：C
本题考查的知识点较多，要逐项分析，进行解答。
8．A
【分析】个位数字是0或者5的数，是5的倍数，根据2的特征，个位数字只能为0，这个三位数三个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，据此综合判断即可。
【详解】由分析可得：
该三位数即满足2、3、5倍数特征，又要求最小，所以百位上的数字是1，同时个位上的数字是0，此时百位和个位的数字之和为：
1＋0＝1
十位上的数字可以是2、5、8，满足三位数最小，所以十位上的数字是2，即该三位数为120，
各个数位的和为：
1＋2＋0
＝3＋0
＝3
满足3的倍数，同时也满足2和5的倍数。
故答案为：A
本题考查了2、3和5的倍数特征，该数是2、3和5的倍数，也就是既要符合2、3的倍数特征，也要符合5的倍数特征，缺一不可。
9．A
【分析】因为每名同学分到钢笔支数相同，分到的笔记本本数也相同，而且钢笔和笔记本都正好分完，问题要求获奖的同学“最多”有几名，即求36和54的最大公因数，可以用列举法求得。
【详解】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；
54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54；
其中36和54最大公因数是：18。
故答案为：A
此题是考查最大公因数的实际运用，明确求两个数最大公因数的方法，是解答此题的关键。
10． 9、15 2
【分析】自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外还有别的因数的数为合数；能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数，根据以上定义对20内的数进行分类即可。
【详解】20以内的自然数中，既是奇数又是合数的是9和15，既是偶数又是质数的是2。
本题主要考查质数与合数、奇数与偶数的定义。
11． 51 51＝3×17
【分析】一个数最大的因数和最小的倍数都是它本身，据此可以得出该数是多少，再把其写成几个质因数的乘积即可。
【详解】因为一个数最大的因数是51，所以这个数就是51。
51分解质因数为：51＝3×17
本题要求熟练掌握一个数的因数和倍数的特征以及分解质因数的含义及方法。
12． 16 7
【分析】根据要将他们截成同样长度的小段，那么每段长度是32和80的公因数，因为求的是每段最长是多少分米，所以求的是32和80的最大公因数；然后用两根木头的总长度除以每个小段的长度就可以求出一共可以截成多少段。
【详解】32＝2×2×2×2×2
80＝2×2×2×2×5
所以32和80的最大公因数是：2×2×2×2＝16；因此每段最长16分米。
（32＋80）÷16
＝112÷16
＝7（段）
此题需要学生熟练掌握求几个数公因数的方法并能灵活运用公因数解决问题。
13． 30 2×3×5
【分析】由题意可知，这个数是2、3、5的倍数，根据2、5的倍数特征，这个数的个位一定是0；一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答即可；然后把这个数写出几个质数的乘积形式即可。
【详解】由分析可知：
一个数既是2和3的倍数，又有因数5，这个数最小是30，把它分解质因数是2×3×5。
本题考查2、3、5的倍数特征，明确其特征是解题的关键。
14．m是n的倍数，n是m的因数
【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。据此解答即可。
【详解】由分析可知：
m是n的倍数，n是m的因数。
本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。
15． 8 2，3 4，6，8，12，24
【分析】根据求一个数的因数的方法，求出24的因数；再根据质数的意义：一个自然数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；合数的意义：一个自然数，除了1和它本身，还有其它因数的数，这样的数叫做合数，进行解答。
【详解】24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24，一共8个
质数：2，3。
合数：4，6，8，12，24。
本题主要考查找一个数的因数的方法及合数与质数的意义。
16． 1 0 2 4
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；最小的偶数是0，最小的奇数是1；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；最小的质数是2；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；最小的合数是4；据此解答。
【详解】1是最小的奇数，0数最小的偶数，最小的质数是2，最小的合数是4。
掌握奇数和偶数、质数与合数的意义是解题的关键。
17． 1、2、3、4、6、12 8、16、24、32、40
【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，据此求出它们的因数和倍数即可。
【详解】12÷1＝12，12÷2＝6，12÷3＝4
所以12的因数有：1、2、3、4、6、12；
8×1＝8，8×2＝16，8×3＝24，8×4＝32，8×5＝40
8的倍数有：8、16、24、32、40。
本题考查因数和倍数，明确一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身是解题的关键。
18．×
【分析】两个数的公有质因数的连乘积是最大公因数，当两个数是倍数关系时，较小的是它们的最大公因数，据此解答。
【详解】a÷b＝3（a、b都是正整数），a和b是倍数关系，a＞b，a、b的最大公因数是b。
原题：如果a÷b＝3（a、b都是正整数），那么a和b的最大公因数是a，说法是错误的。
故答案为：×
本题主要考查最大公因数问题，当两个数是倍数关系时，较小的是它们的最大公因数。
19．×
【分析】因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此判断。
【详解】因为4×5＝20，所以20是4和5的倍数，4和5是20的因数， 原题说法错误。
故答案为：×
掌握因数倍数的意义，明确因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
20．×
【分析】根据质因数的意义：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式 ，这几个质数就都叫做这个合数的质因数；4是合数，不是质数；据此判断。
【详解】因为4是合数，不是质数，所以在4×7＝28这个算式中，4和7是28的因数，但不是质因数，原题说法错误。
故答案为：×
本题考查了质因数的意义，质因数必须是质数。
21．√
【分析】奇数×奇数＝奇数，据此解答即可。
【详解】乘数都是奇数，积一定是奇数；原题说法是正确的；
如：3×5＝15；
故答案为：√。
熟练掌握奇偶数的运算性质是解答本题的关键。
22．√
【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数的数，就是3的倍数，分析即可求解。
【详解】2＋6＋7＝15；15是3的倍数。所以用2、6、7这三个数字组成的所有三位数都是3的倍数；
故答案为：√
根据3的倍数特征进行解答。
23．×
【分析】根据他们的定义，可以进行比较，找到他们相同之处，做出正确的判断。
【详解】合数只限制了因数在三个或三个以上，9、15等这样的奇数也是合数，因此合数不一定全是偶数；质数只有1与它本身两个因数，2便是最小的质数，故题干这种说法是错误的。
故答案为：×
本道题目比较综合的比较了质数与奇数，合数与偶数之间的异同点，只要我们严格按照定义，进行分析找到特殊的数字即可。
24．×
【分析】根据因数倍数的含义，分析即可。
【详解】6是3的倍数，所以所有6的倍数中都一定有因数3，但3的倍数不一定都是6的倍数，如9是3的倍数，但不是6的倍数。
故答案为：×
理解因数和倍数的含义是解题关键。这种判断题，举反例是常用的方法。
25．√
【分析】如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答。
【详解】35÷35＝1，35是35的因数，也是35的倍数。
故答案为：√。
根据因数和倍数的意义进行解答即可。
26．×
【分析】自然数是从0开始的整数，比较因数的个数，举两个例子推翻即可。
【详解】例如12的因数有：1、2、3、4、6、12。13的因数有：1、13。
因为13＞12，但12的因数比13多。
故答案为：×
本题考查因数的定义，根据定义举例子推翻原题即可。判断题有时可以根据定义或法则直接判断对错，也可以找到符合条件的例子，推翻原题。
27．0.75；4；6；
0.01；1.3；2.22
【详解】略
28．x＝210；x＝83.2；x＝11；x＝41；x＝20；x＝0.315
【分析】（1）方程左右两边同时减去350即可；
（2）方程左右两边同时加上1.2即可；
（3）方程左右两边同时加x，再同时减去42即可；
（4）方程左右两边同时加3.2，再同时除以0.2即可；
（5）方程左右两边同时减去3，再同时除以0.6即可；
（6）方程左右两边同时乘0.3，在同时除以2即可。
【详解】x＋350＝560
解：x＋350－350＝560－350
x＝210
x－1.2＝82
解：x－1.2＋1.2＝82＋1.2
x＝83.2
53－x＝42
解：53－x＋ x＝42＋ x
42＋x＝53
42＋x－42＝53－42
x＝11
0.2x－3.2＝5
解：0.2x－3.2＋3.2＝5＋3.2
0.2x＝8.2
0.2x÷0.2＝8.2÷0.2
x＝41
0.6x＋3＝15
解：0.6x＋3－3＝15－3
0.6x＝12
x＝20
2x÷0.3＝2.1
解：2x÷0.3×0.3＝2.1×0.3
2x＝0.63
x＝0.315
此题考查了根据等式的性质解方程，即方程两边同加、同减、同乘或同除以某数（0除外），方程的左右两边仍相等。
29．40块
【分析】由题意可知，这包糖果的数量一定是8、10的公倍数，由于求至少有糖果多少块，求的就是8和10的最小公倍数。先把8和10分别分解质因数，把它们公有的质因数和各自独有的质因数相乘，乘积就是最小公倍数。
【详解】8＝2×2×2
10＝2×5
8和10的最小公倍数是：
2×2×2×5
＝4×2×5
＝8×5
＝40（块）
答：这包糖果至少有40块。
解答此题的关键是通过对题目的分析，能知道实际求的就是8和10的最小公倍数，熟练运用求两个数最小公倍数的方法解题即可。
30．34棵；68棵
【分析】（1）要求最少要栽多少棵，即每相邻两棵树之间的距离最大，即相邻两棵树之间的距离是60和42的最大公因数，求出60和42的最大公因数，即相邻两棵树之间的距离，即可求出应栽树的棵数；
（2）因为此长方形的池塘四周及四角栽柳树，可以看成是一个封闭的图形，所载的柳树的棵树和间距数相等，用间距乘2即可解答出所种的桃树的棵树。
【详解】60＝2×2×3×5
42＝2×3×7
60、42的最大公因数是2×3＝6
（60＋42）×2÷6
＝102×2÷6
＝204÷6
＝34（棵）
34×2＝68（棵）
答：最少要种14棵柳树，桃树一共栽了68棵。
关键是理解题意，明白是从求公因数作为突破口，进而找出解决问题的方法。
31．41盏
【分析】由于两端都有灯，即间距数＝棵数－1，即间距：81－1＝80（个），由于一个间距是9米，此时的路长：80×9＝720（米），根据题意，不需要重新安装的是9米与6米的公倍数的路灯，即18米倍数的路灯不移动，也就是求出每隔18米路灯的盏数，加上开头的那一盏即可。
【详解】81－1＝80（个）
80×9＝720（米）
9和6的最小公倍数是18
720÷18＋1
＝40＋1
＝41（盏）
答：不需要重新安装的路灯有41盏。
本题的关键是求出什么样的路灯不移动，然后再按照两端栽树的方法进行计算即可。
32．6时4分
【分析】先求出6和8的最小公倍数，然后用5时40分加上它们的最小公倍数即可求解。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
所以6和8的最小公倍数是：
2×2×2×3
＝4×2×3
＝8×3
＝24
5时40分＋24分＝6时4分
答：下一次两路车同时从总站发车是6时4分。
本题考查最小公倍数，明确求最小公倍数的方法是解题的关键。
33．4分米，30段
【分析】根据题意，可计算出24与20的最大公因数，即是每小段钢管最长的长度，然后再用24除以最大公因数加上20除以最大公因数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案。
【详解】24＝2×2×2×3
20＝2×2×5
所以每段钢管长是2×2＝4（分米）
（24÷4）×（20÷4）
＝6×5
＝30（段）
答：每段钢管长4分米，一共可以锯成30段。
解答此题的关键是利用求最大公因数的方法计算出每小段的最长长度，然后再计算每根钢管可以截成的段数，再相加即可。
34．8厘米；30个
【分析】要求纸没有剩余，所以正方形边长是长方形长和宽的公因数，求裁出的正方形边长最大是多少厘米，也就是求长方形长和宽的最大公因数。求出正方形的边长后，用长方形的面积除以小正方形的面积即可求出裁了多少个正方形。
【详解】（48，40）＝8
48×40＝1920（平方厘米）
8×8＝64（平方厘米）
1920÷64＝30（个）
答：裁出的正方形边长最大是8厘米，一共可以裁出30个这样的正方形。
此题考查了求两个数的最大公因数，关键是要理解正方形的边长是长方形的长和宽的最大公因数。
35．44人
【分析】根据题意可知，已知五（2）班人数在40至60之间；求出6和7的最小公倍数，再加上2，就是五（2）班有学生的人数。
【详解】6和7最小公倍数是：6×7＝42，正好在40至60之间；
42＋2＝44（人）
答：五（2）班有学生44人。
利用求两个数为互质数时最小公倍数的求法：当两个数为互质数时，最小公倍数是两个数的乘积。
36．6盏
【分析】根据题意，先求出这条人行道的长度，因为两端都安装，这条人行道的长＝6×（21－1）米；再根据求出最小公倍数的方法，求出6和8的最小公倍数；再求出这条人行道长度除以6和8的最小公倍数，再加上1，就是不要移装的路灯有多少盏。
【详解】6×（21－1）
＝6×20
＝120（米）
6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数：2×2×2×3＝24
120÷24＋1
＝5＋1
＝6（盏）
答：不要移装的路灯有6盏。
本题主要考考查公倍数的应用以及植树问题，熟练掌握植树问题的特点并灵活运用。