高二数学参考答案
一．选择题（共 12小题）
1． D．2． C．3． A．4． C．5． A．6． D．7． D．8． D．9． A．10． D．
11． C．12．B．
二．填空题（共 4小题）
7
13． f′（x）＝2ex cosx 14． 3． 15．﹣2． 16． ．
13
三．解答题（共 6小题）
17．解：（Ⅰ）设等差数列数列{an}的公差为 d，由 a2＝﹣9，a5＝0，可得 a1+d＝﹣9，a1+4d
＝0，解得 a1＝﹣12，d＝3，所以 an＝﹣12+3（n﹣1）＝3n﹣15；
（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为 q，
由 b1＝﹣6，b2＝a2+a3+a4，可得 b2＝﹣6q＝﹣9﹣6﹣3＝﹣18，
6(1 3 )
则 q＝3，数列{b n+1n}的前 n 项和为 Sn= =3﹣3 ． 1 3
18．解：（1）∵圆 C：x2+y2﹣4x﹣6y+9＝0，∴圆 C 的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4．
∴圆 C 的圆心 C 的坐标为（2，3），半径为 2．
|2 +3 2| 3
（2）∵直线 l 与圆 C 相切，∴圆心 C 到直线 l 的距离 = = 2，解得 = ．
2 4√1+
3
∴实数 k 的值为 ．
4
19． 解：（1）证明：∵PA⊥底面 ABCD，BD 平面 ABCD，∴PA⊥BD，
在正方形 ABCD 中，AC⊥BD，又 AC∩AP＝A，PA 平面 PAC，AC 平面 PAC，
∴BD⊥平面 PAC；
（2）由题意可建立以 A 为原点，以 AB、AD、AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直
角坐标系 A﹣xyz，如图所示：不妨设 PA＝AB＝1，
则 A（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
→ → →
∴ =（1，1，﹣1）， =（1，0，﹣1）， =（0，1，﹣1），
→ →
→ = = 0
设平面 PBD 的一个法向量为 =（x，y，z），则{→ → ，取 z＝1，则 x＝1，
= = 0
→
y＝1，∴平面 PBD 的一个法向量为 =（1，1，1），
→ →
→ → | | 1 1
设直线 PC 与平面 PBD 所成的角为 α，则 sinα＝|cos＜ ， ＞|= → → = = ， 3
| | | | √3×√3
1
1
故直线 PC 与平面 PBD 所成的角的正弦值为 ．
3
20．解：（1）∵等差数列{an}中，a1＝﹣7，S3＝﹣15，∴a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，解得 a1
＝﹣7，d＝2，∴an＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9；（2）∵a1＝﹣7，d＝2，an＝2n﹣9，
1
∴Sn= ( 1 + ) = (2
2 16 ) =n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，
2 2
∴当 n＝4 时，前 n 项的和 Sn 取得最小值为﹣16．
1 1 1 2
21．解：（1）已知函数 ( ) = ，x∈（0，+∞），则 ′( ) = = ，
2 2 2
1 1
则 ′(2) = = 0，f（2）＝ln2﹣1，则函数 f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方
2 2
程为：y﹣（ln2﹣1）＝0，即所求切线方程为：y＝ln2﹣1；
（2）由（1）可得：令 f′（x）＞0，解得 0＜x＜2，
即函数 f（x）的单调递增区间为（0，2）．
22．解：（1）由题意得， = √3， = 2，a2＝b2+c2，∴a＝2，b＝1，
2
∴椭圆 C 的标准方程为 + 2 = 1．
4
（2）依题意，知 B（0，1），设 M（x1，y1），N（x2，y2）．
= +
联立{ 2 2 ，消去 y，可得 5x
2+8mx+4m2﹣4＝0，
+ 4 = 4
∴Δ＝16（5﹣m2）＞0，即 √5＜ ＜√5，m≠1，
8 4 2 4 → →
且 1 + 2 = ， 1 2 = ．∵BM⊥BN，∴ = 0． 5 5
→ →
∵ = ( 1， 1 + 1) ( 2， 2 + 1) = 2 1 2 + ( 1)( 1 + 2) + (
4 2 4 8
1)2 = 0，∴2 × + ( 1) + ( 1)2 = 0，整理得 5m2﹣2m﹣3＝0，
5 5
3 3
解得 = 或 m＝1（舍去）．∴直线 l 的方程为 = ．
5 5
22022-2023 学年下学期开学考试
高二数学
（满分 150分，考试时间 120分钟 ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卡上。
一．选择题(每题 5 分，共 12 小题，满分 60 分）
1．过两点（﹣1，2）和（﹣2，1）的直线的倾斜角为（ ）
A．π B． C． D．
2．在等差数列{an}中，若 a1＝6，a11＝10，则 a3+a9＝（ ）
A．14 B．15 C．16 D．8
3．已知向量 ， ，满足 ，则 x 的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
4．已知直线 l1：x+2ay﹣1＝0 与 l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0 平行，则实数 a 的值为（ ）
A． B． C．0 或 D． 或 1
5．已知函数 f（x）及其导函数 f'（x）满足 f（x）＝lnx﹣3f'（1）x，则 f'（1）＝（ ）
A． B．0 C． D．
6．抛物线 x2＝16y 的准线方程是（ ）
A．x B．y C．x＝﹣4 D．y＝﹣4
7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且 a3a7＝9，则 log3a1+log3a5+log3a9＝（ ）
A．7 B．9 C．81 D．3
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8．曲线 f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5 在 x＝0 处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
9．若直线 l 的一个方向向量为 ，平面 α 的一个法向量为 ，
则直线 l 与平面 α的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．平行或线在面内
10．已知圆的一条直径的端点分别为 P1（2，5），P2（4，3），则此圆的标准方程是（ ）
A．（x+3）2+（y+4）2＝8 B．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝8
C．（x+3）2+（y+4）2＝2 D．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝2
11．已知 f（x）＝x3+3ax2+bx+a2，该函数在 x＝﹣1 时有极值 0，则 a+b＝（ ）
A．4 B．7 C．11 D．4 或 11
12．过点 M（2，1）作斜率为 1 的直线，交双曲线 于 A，B 两点，
点 M 为 AB 的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每题 5 分，共 4 小题，满分 20 分）
13．函数 f（x）＝ex（sinx+cosx）的导数为 ．
14．已知椭圆 的两个焦点分别为 F1，F2，离心率为 ，点 P 在椭圆
上，若 ，则△PF1F2的面积为 ．
15．已知数列{an}中， ，则 a2022＝ ．
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16．如图，在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AA1＝3，AB＝2，则异面直线 A1B 与 B1C 所成角的
余弦值为 ．
三．解答题（共 6 小题，满分 70 分）
17．(满分 10 分) 已知数列{an}为等差数列，且 a2＝﹣9，a5＝0．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{bn}满足 b1＝﹣6，b2＝a2+a3+a4，求数列{bn}的前 n 项和公式．
18．(本题满分 12 分) 已知圆 C：x2+y2﹣4x﹣6y+9＝0，直线 l：kx+y﹣2＝0．
（1）求圆 C 的圆心坐标和半径；
（2）若直线 l 与圆 C 相切，求实数 k 的值．
19．(满分 12 分) 如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，已知 PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是正方
形，PA＝AB．
（1）求证：直线 BD⊥平面 PAC；（2）求直线 PC 与平面 PBD 所成的角的正弦值．
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20．(本题满分 12 分) 记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝﹣7，S3＝﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求 Sn，并求 Sn的最小值．
21.(本题满分 12 分) 已知函数 ，x∈（0，+∞）．
（1）求函数 f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）求函数 f（x）的单调递增区间．
22.(本题满分 12 分) 已知椭圆 的右焦点 ，长半轴长与短半
轴长的比值为 2．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 B 为椭圆 C 的上顶点，直线 l：y＝x+m（m≠1）与椭圆 C 相交于不同的两点 M，
N，若 BM⊥BN，求直线 l 的方程．
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