3.1椭圆难点专项突破教案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.1椭圆难点专项突破教案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-07 14:01:33 | ||
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文档简介
椭圆（难点突破）
学习目标：
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．
2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
3．了解椭圆的简单应用．
4．理解数形结合的思想．
考向预测·
考情分析：椭圆方程，几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等，直线与椭圆的位置关系，定值、定点与存在性等综合问题，仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题，填空题，解答题．
学科素养：通过椭圆的定义、标准方程的求解研究椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系考查数学运算、直观想象的核心素养．
必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的 轨迹为 椭圆 ________为椭圆的焦点
|MF1|＋|MF2|＝2a (2a＞|F1F2|) ________为椭圆的焦距
2.椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2)
标准方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a＞b＞0)
图形
性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：________ 对称中心：________
顶点 A1______，A2______ B1______，B2______ A1______，A2______ B1______，B2______
性 质 轴 长轴A1A2的长为________ 短轴B1B2的长为________
焦距 |F1F2|＝________
离心率 e＝∈________
a，b，c 的关系 ________
二、必明4个常用结论
1．P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
2．椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦．
3．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)．
4．设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为定值－.
考点突破 掌握类题通法
考点一 椭圆的定义及应用 [综合性]
[例1] (1)已知P是椭圆x2＋5y2＝25上一点，F1，F2为椭圆的左，右焦点，且|PF1|＝7，则|PF2|＝( )
A．1 B．3
C．5 D．9
(2)设F1，F2是椭圆 ＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
考点二 椭圆的标准方程 [综合性]
[例2] (1)[江苏省苏州中学月考]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)椭圆C的焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，直线l与C交于A，B两点，若＝＝0，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
反思感悟 求椭圆的标准方程的步骤
考点三 椭圆的几何性质 [综合性]
角度1 求椭圆的离心率
[例3] (1)[安徽蚌埠高三开学考试]已知椭圆＝1(a>b>0)的右顶点为A，坐标原点为O，若椭圆上存在一点P使得△OAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
(2)[2022·昆明市云南师大附中高三月考]已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得|PF1|－|PF2|＝2b，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A． B．
C．(0，] D．[，1)
反思感悟 求椭圆离心率或其取值范围的方法
(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝＝＝1－直接求．
(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
角度2 最值(或范围)问题
[例4] (1)[2021·全国乙卷]设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A． B．
C． D．2
(2)已知椭圆＝1(0反思感悟 求解最值、取值范围问题的技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解．
考点四 直线与椭圆的位置关系 [综合性]
[例5] [2020·全国卷Ⅲ]已知椭圆C：＝1(0(1)求C的方程；
(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
反思感悟
1．判断直线与椭圆位置关系的四个步骤
第一步：确定直线与椭圆的方程．
第二步：联立直线方程与椭圆方程．
第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．
第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．
2．直线被椭圆截得的弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|
＝＝ (k为直线斜率).
椭圆难点突破专项练习
1．已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点M（2，1），动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线MA与MB的斜率之和为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明直线AB经过定点，并求这个定点的坐标．
2．椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的焦点到直线x﹣3y＝0的距离为，离心率为，抛物线G：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D．
（1）求椭圆E及抛物线G的方程；
（2）是否存在常数λ，使为常数，若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．
3．已知椭圆）的右焦点为F，点A（﹣a，0）与点B（0，b）是椭圆的顶点，．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）设以离心率e为斜率的直线l经过点A，与椭圆C相交于点P（点P不在坐标轴上）
（ⅰ）证明：点F在以线段AP为直径的圆上；
（ⅱ） + ＝8，求椭圆C的方程．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．
5．已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1+2k2＝0，求直线F1M的方程．
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴y轴分别交于M，N两点．
①设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；
②求△OMN面积的最大值．
7．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的点到它两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．
（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，试判断QM与QN所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．
8．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．
9．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且F2也是抛物线E：y2＝4x的焦点，P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点，且|PF2|＝．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS＝∠OTR？说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x＝a+1于点E、F．
（Ⅰ）若点B（），求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1，k2．
①试探究：k1 k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；
②求△AEF的面积的最小值．
11．已知椭圆C1：（a＞b＞0）的上顶点为A，离心率为．抛物线C2：y＝﹣x2+1截x轴所得的线段长为C1的长半轴长．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l与C2相交于B，C两点，直线AB，AC分别与C1相交于P，Q两点
①证明：以BC为直径的圆经过点A；
②记△ABC和△APQ的面积分别是S1，S2，求的最小值．
12．已知离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）经过点（2，1）．A，B，M为椭圆上三点，且满足|MA|＝|MB|．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当A，B关于原点O对称时，是否存在定圆，使得AM恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．
13．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
14．如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左右顶点分别是A，B，离心率为，设点P（a，t）（t），连接PA交椭圆于点C，坐标原点是O．
（1）证明：OP⊥BC；
（2）设三角形ABC的面积为S1，四边形OBPC的面积为S2，若 的最小值为1，求椭圆的标准方程．
15．如图，椭圆的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P的直线与椭圆交于M，N两点（M，N不与A，B重合），若S△PAM＝6S△PBN，求直线MN的方程．
16．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且A（a，0）、B（0，b）满足条件|AB|＝|F1F2|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P（﹣2，1）的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P恰为线段MN的中点，求直线l的方程．
17．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线与圆x2+y2＝相切
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N是左、右顶点），若以MN为直径的圆恰好经过椭圆C的右顶点A，判断直线l是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
18．已知平面直角坐标系中，点（4，0）到抛物线C1：y2＝2px（p＞0）准线的距离等于5，椭圆C2：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点．
（1）求C1，C2的方程；
（2）如图，过点E（m，0）（m＞2）作椭圆C2的切线交C1于A，B两点，在x轴上取点G，使得∠AGE＝∠BGE，试解决以下问题：
①证明：点G与点E关于原点中心对称；
②若已知△ABG的面积是椭圆C2四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线AB的方程．
19．椭圆的中心在坐标原点，其左焦点F1与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求过点F1、O（O为坐标原点），并且与直线（其中a为长半轴长，c为椭圆的半焦距）相切的圆的方程；
（Ⅲ）求＝时直线l的方程．
20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：x2+y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
②求证：OP⊥OQ．
22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上，△AF1F2的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A作直线l与椭圆C的另一个交点为B，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，求证：为定值．
23．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
24．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A，B运动时，满足直线PA、PB与X轴始终围成一个等腰三角形，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
25．椭圆G：+＝1（a＞b＞0）的对称中心是坐标原点O，其短轴的一个端点为B，焦点F（c，0）（c＞0），△OBF为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5．
（i）求此时椭圆G的方程；
（ii）设斜率为k（k≠0）的直线与椭圆G交于互异两点S，T，Q为线段ST的中点，问S，T两点能否关于过点P（0，﹣）和Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，说明理由．
参考答案与解析
一、
1．F1，F2 |F1F2|
2．x轴，y轴 坐标原点 (－a，0) (a，0) (0，－b) (0，b) (0，－a) (0，a) (－b，0) (b，0) 2a 2b 2c (0，1) c2＝a2－b2
考点一
例1 解析：(1)对椭圆方程x2＋5y2＝25变形得，＝1，易得椭圆长半轴的长为5，
由椭圆的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10，
又因为|PF1|＝7，所以|PF2|＝10－7＝3.
(2)由题意得，a＝7，b＝2，c＝5，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝14，
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2，
则100＝(m＋n)2－2mn－2mn cos 60°，解得mn＝＝mn sin 60°＝8.
答案：(1)B (2)8
考点二
例2 解析：(1)由题知： ，
所以椭圆C的标准方程为：＝1.
(2)因为＝0，所以AF2⊥F1F2，过B作BC⊥x于C，
由＝知，AB过点F1，且AF1＝2BF1，如图，
所以△BCF1∽△AF2F1，
设A(1，y0)，则B，
代入椭圆方程可得，解得a2＝5，
又c＝1，所以b2＝4，
所以椭圆的方程为＝1.
答案：(1)B (2)D
考点三
例3 解析：(1)△OAP是等腰直角三角形，则P是直角顶点，所以P在椭圆上，
所以＝1，a2＝3b2＝3(a2－c2)，e＝＝.
(2)所以|PF1|＝a＋b，又|PF1|≤a＋c，所以b≤c，1＞e＝＝.
答案：(1)C (2)D
例4 解析：(1)方法一 设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝－(2y＋)2.
当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以＝.
方法二 因为点P在椭圆＋y2＝1上，所以可设点P(cos θ，sin θ)．易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝－(2sin θ＋)2.易知当2sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝.
(2)由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知＝3.所以b2＝3，即b＝.
考点四
例5 解析：(1)由题设可得＝，得m2＝，所以C的方程为＝1.
(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ＞0，由题意知yP＞0.
由已知可得B(5，0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，
所以|BP|＝.
因为|BP|＝|BQ|，
所以yP＝1，将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8.
所以点P，Q的坐标分别为P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(－3，1)，Q2(6，8)．
|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，点A(－5，0)到直线P1Q1的距离为，故△AP1Q1的面积为＝.
|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，点A到直线P2Q2的距离为，故△AP2Q2的面积为＝.
综上，△APQ的面积为.
椭圆难点突破练习
1．已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点M（2，1），动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线MA与MB的斜率之和为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明直线AB经过定点，并求这个定点的坐标．
（Ⅰ）解：设椭圆，由离心率为，得，
又因为a2＝b2+c2，所以a2＝4b2.由M（2，1）在椭圆上可得，解得b2＝2，a2＝8．
所以椭圆G的方程为．
（Ⅱ）证明：当直线AB与x轴垂直时，设A（s，t）（s≠1），则B（s，﹣t）．
由题意得：，即s＝0．所以直线AB的方程为x＝0．
当直线AB不与x轴垂直时，可设直线AB为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
将y＝kx+m代入得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣8＝0，
所以，．由已知可得①，
将y1＝kx1+m和y2＝kx2+m代入①，
并整理得（2k﹣1）x1x2+（m﹣2k+1）（x1+x2）﹣4m＝0②，
将，代入②，
并整理得m2+（2k+1）m+4k﹣2＝0，可得（2k+m﹣1）（m+2）＝0，
因为直线AB：y＝kx+m不经过点M（2，1），
所以2k+m﹣1≠0，故m＝﹣2．所以直线AB的方程为y＝kx﹣2，经过定点（0，﹣2）．
综上所述，直线AB经过定点（0，﹣2）．
2．椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的焦点到直线x﹣3y＝0的距离为，离心率为，抛物线G：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D．
（1）求椭圆E及抛物线G的方程；
（2）是否存在常数λ，使为常数，若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．
解：（1）设E、G的公共焦点为F（c，0），由题意得，．
联立解得．
所以椭圆E：，抛物线G：y2＝8x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
直线l的方程为y＝k（x﹣2），与椭圆E的方程联立，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5＝0
Δ＝400k4﹣20（5k2+1）（4k2﹣1）＝20（k2+1）＞0．
＝．
直线l的方程为y＝k（x﹣2），
与抛物线G的方程联立，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0．
．
．
＝．
要使为常数，则20+＝4，得．
故存在，使为常数．
3．已知椭圆）的右焦点为F，点A（﹣a，0）与点B（0，b）是椭圆的顶点，．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）设以离心率e为斜率的直线l经过点A，与椭圆C相交于点P（点P不在坐标轴上）
（ⅰ）证明：点F在以线段AP为直径的圆上；
（ⅱ） + ＝8，求椭圆C的方程．
解：（Ⅰ）由题意可得F（c，0），A（﹣a，0），B（0，b），
所以|AF|＝a+c，|BF|＝＝a，
因为，，
所以a＝（a+c），解得a＝2c，
所以离心率为e＝＝．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b2＝a2﹣c2＝3c2，
所以B（0，c），椭圆的方程为+＝1，
因为以离心率e为斜率的直线l经过点A，
所以直线l的方程为y＝（x+2c），
联立直线l与椭圆的方程得x2+cx﹣2c2＝0，
所以xAxP＝﹣2c2，即﹣2cxP＝﹣2c2，
解得xP＝c，
所以yP＝（c+2c）＝，
所以P（c，），
（ⅰ）所以＝（3c，0），＝（0，﹣），
所以 ＝0．
（ⅱ）＝（3c，），＝（c，﹣c），
＝（2c，c），＝（c，﹣c），
因为 + ＝8，
所以3c2﹣c2+2c2+c2﹣3c2＝8，
解得c2＝4，
所以a2＝4c2＝16，b2＝3c2＝12，
所以+＝1．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．
解：（1）∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，左顶点为A（﹣4，0），
∴a＝4，又，∴c＝2．…（2分）
又∵b2＝a2﹣c2＝12，
∴椭圆C的标准方程为．…（4分）
（2）直线l的方程为y＝k（x+4），
由消元得，．
化简得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]＝0，
∴x1＝﹣4，．…（6分）
当时，，
∴．
∵点P为AD的中点，∴P的坐标为，
则．…（8分）
直线l的方程为y＝k（x+4），令x＝0，得E点坐标为（0，4k），
假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，
则kOPkEQ＝﹣1，即恒成立，
∴（4m+12）k﹣3n＝0恒成立，∴，即，
∴定点Q的坐标为（﹣3，0）．…（10分）
（3）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y＝kx，
由，得M点的横坐标为，…（12分）
由OM∥l，得
＝…（14分）
＝，
当且仅当即时取等号，
∴当时，的最小值为． …（16分）
5．已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1+2k2＝0，求直线F1M的方程．
解：（I）由题意可得：2b＝4，＝，a2＝b2+c2．
联立解得：b＝2，c＝1，a＝3．
∴椭圆C的标准方程为：+＝1．
（II）A（﹣3，0），B（3，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），
设F1M的方程为：x＝my﹣1，M（x1，y1），（y1＞0），直线F1M与椭圆的另一个交点为M′（x2，y2）．
∵F1M∥F2N，根据对称性可得：N（﹣x2，﹣y2）．
联立，化为：（8m2+9）y2﹣16my﹣64＝0，
∴y1+y2＝，y1y2＝，
∵3k1+2k2＝0，∴+＝0，即5my1y2+6y1+4y2＝0，
联立解得：y1＝，y2＝，
∵y1＞0，y2＜0，∴m＞0．
∴y1y2＝ ＝，∴m＝±．又m＞0，∴m＝．
∴直线F1M的方程为x＝y﹣1，即2x+y+2＝0．
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴y轴分别交于M，N两点．
①设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；
②求△OMN面积的最大值．
解：（1）∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，
∴，∴＝，∴＝，∴a2＝4b2，①
设直线y＝x与椭圆交于P，Q两点，设P是直线与椭圆在第一象限的交点，
∵直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，∴P（，），
∴+＝1，解得a2+b2＝，②
联立①②，解得a2＝4，b2＝1，
∴椭圆方程为＝1．
证明：（2）①设A（x1，y1），（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），
直线AB的斜率，
又AB⊥AD，∴直线AD的斜率k＝﹣，
设直线AD的方程为y＝kx+m，由题意得k≠0，m≠0，
联立，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4＝0，
∴x1+x2＝﹣，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，
由题意知x1≠﹣x2，∴k1＝＝﹣＝，
∴直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），
令y＝0，得x＝3x1，即M（3x1，0），解得k2＝﹣，
∴，则，
∴存在常数λ＝﹣，使结论成立．
解：②直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），
令x＝0，得y＝﹣，即N（0，﹣），
由①知M（3x1，0），得△OMN的面积S＝＝，
∵|x1||y1|＝1，
当且仅当＝|y1|＝时，等号成立，
此时S取得最大值，∴△OMN面积的最大值为．
7．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的点到它两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．
（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，试判断QM与QN所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．
解：（Ⅰ）由题意可得，
解得a＝2，b＝c＝，
所以圆O的方程为x2+y2＝2，椭圆C的方程为+＝1．
（Ⅱ）QM⊥QN．
证明：设P（x0，y0）（y0≠0），Q（xQ，y0），
则，即，
又由AP：y＝（x+2）得M（0，），
由BP：y＝（x﹣2），得N（0，﹣），
所以＝（﹣xQ，﹣y0）＝（﹣xQ．﹣），
＝（﹣xQ．﹣﹣y0）＝（﹣xQ，），
所以 ＝xQ2+＝2﹣y02+＝0，
所以QM⊥QN．
8．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．
20．（本小题满分12分）
解：（1）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，
∴依题意，解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆C的方程为：．…（5分）
（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x＝ty+1与椭圆交于A，B两点，
则，整理，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，
由韦达定理，得：，，
∴|y1﹣y2|＝＝＝，
∴＝＝，
椭圆C的内接平行四边形面积为S＝4S△OAB＝，
令m＝≥1，则S＝f（m）＝＝，
注意到S＝f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴Smax＝f（1）＝6，
当且仅当m＝1，即t＝0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．…（12分）
9．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且F2也是抛物线E：y2＝4x的焦点，P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点，且|PF2|＝．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS＝∠OTR？说明理由．
解：（1）∵F2也是抛物线E：y2＝4x的焦点，
∴F2（1，0），
∴c＝1，且抛物线的准线方程为x＝﹣1，
设点P（x0，y0）
∵|PF2|＝，
∴x0+1＝，
∴x0＝，
∴y0＝＝，
∴+＝1，
∵a2﹣b2＝c2＝1，
解得a2＝4，b2＝3，
∴椭圆方程为+＝1，
（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS＝∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）
联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
由韦达定理有x1+x2＝，x1x2＝①，其中Δ＞0恒成立，
由∠OTS＝∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故kTS+kTR＝0即+＝0②，
由R，S两点在直线y＝k（x﹣1）上，故 y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），
代入②整理有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t＝0③，
将①代入③即有：＝0④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t＝4“时成立，
综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS＝∠OTR．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x＝a+1于点E、F．
（Ⅰ）若点B（），求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1，k2．
①试探究：k1 k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；
②求△AEF的面积的最小值．
解：（I）由题意可得：＝，＝1，a2＝b2+c2，
联立解得a2＝8，b＝2＝c，
∴椭圆C的方程为：+＝1．
（II）①k1 k2为定值．设B（x0，y0），C（﹣x0，﹣y0）.+＝1．
由＝，a2＝b2+c2，可得a2＝2b2．
则k1 k2＝ ＝＝＝﹣＝﹣．
②设直线AB的方程为：y＝k1（x﹣a），直线AC的方程为：y＝k2（x﹣a），
令x＝a+1，则yE＝k1，yF＝k2，
S△AEF＝|EF|×1＝|k2﹣k1|，
由图形可得：k1＜0，k2＞0，
k1 k2＝﹣．
∴S△AEF＝（k2﹣k1）×＝，当且仅当k2＝﹣k1＝时取等号．
∴△AEF的面积的最小值为．
11．已知椭圆C1：（a＞b＞0）的上顶点为A，离心率为．抛物线C2：y＝﹣x2+1截x轴所得的线段长为C1的长半轴长．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l与C2相交于B，C两点，直线AB，AC分别与C1相交于P，Q两点
①证明：以BC为直径的圆经过点A；
②记△ABC和△APQ的面积分别是S1，S2，求的最小值．
解：（Ⅰ）已知抛物线C2：y＝﹣x2+1中，令y＝0，解得x＝±1，a＝2，…………（1分）
又e＝＝，则c＝，从而b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆C1的方程为：； …………（2分）
（Ⅱ）①直线l的斜率显然存在，设l方程为y＝mx．由，整理得x2+mx﹣1＝0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣1 …………（4分）
由已知A（0，1），所以＝（x1，y1﹣1），＝（x2，y2﹣1），
＝x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）＝（1+m2）x1x2﹣m（x1+x2）+1＝0，
故以BC为直径的圆经过点A； …………（6分）
②设直线AB：y＝kx+1，显然k≠0，由，解得：x＝0或x＝﹣k，
∴B（﹣k，1﹣k2），则|AB|＝＝|k|，…………（8分）
由①知AB⊥AC，直线AC：y＝﹣x+1，则|AC|＝||，…………（9分）
由，得（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x＝0或x＝﹣，
P（﹣，），则|AP|＝，…………（11分）
由①知，直线AC：y＝﹣+1，|AQ|＝，…………（12分）
则＝＝＝（4k2++17）≥，
当且仅当k＝±1时等号成立，即最小值为．…………（14分）
12．已知离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）经过点（2，1）．A，B，M为椭圆上三点，且满足|MA|＝|MB|．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当A，B关于原点O对称时，是否存在定圆，使得AM恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝＝＝，则a2＝2b2，将点（2，1）代入椭圆方程：，即，
解得：b2＝3，则a2＝6，
∴椭圆的标准方程为：；
（Ⅱ）由①直线AB的斜率不存在时，由对称性不妨设直线AM方程为y＝x+，则O到直线AM的距离d＝，
同理直线AB的为0时，原点O到直线AM的距离为；
②直线AB存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝kx，由|MA|＝|MB|，
∴直线OM的方程为y＝﹣x，由，解得：xA2＝，同理可得：xM2＝，
设原点O到直线AM的距离d，直线AM方程为（yM﹣yA）x+（xM﹣xA）y+yAxM﹣xAyM＝0，
∴d2＝＝＝＝＝＝2，
综上可知：原点O到直线AM的距离为，
∴存在定圆x2+y2＝2，使得AM恒与该定圆相切．
13．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
解：（Ⅰ）设C方程为，则．
由，得a＝4
∴椭圆C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，
代入，得x2+tx+t2﹣12＝0
由Δ＞0，解得﹣4＜t＜4…（6分）
由韦达定理得x1+x2＝﹣t，x1x2＝t2﹣12．
∴＝＝．
由此可得：四边形APBQ的面积
∴当t＝0，．…（8分）
②解：当∠APQ＝∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k
则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3＝k（x﹣2）
由
（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48＝0
∴…（10分）
同理直线PB的直线方程为y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得
∴…（12分）
所以AB的斜率为定值．…（14分）
14．如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左右顶点分别是A，B，离心率为，设点P（a，t）（t），连接PA交椭圆于点C，坐标原点是O．
（1）证明：OP⊥BC；
（2）设三角形ABC的面积为S1，四边形OBPC的面积为S2，若 的最小值为1，求椭圆的标准方程．
（本小题满分14分）
解：（1）证明：由e＝＝＝，则a2＝2b2，则a＝c，
∴椭圆的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
直线PA的方程为：y＝（x+c），
由，整理得：（4c2+t2）x2+2ct2x+2t2c2﹣8c4＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
由 xA＝﹣c，可得xC＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
则点C的坐标是（，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
故直线BC的斜率为kBC＝﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
由于直线OP的斜率为kOP＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
所以kBC kOP＝﹣1，所以OP⊥BC；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（2）由（1）知，S1＝×2c×＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
S2＝S△APB﹣S△AOC＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
＝＝+，t≥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
所以当t＝时，（）min＝+＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
∴c2＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
所以椭圆方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
15．如图，椭圆的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P的直线与椭圆交于M，N两点（M，N不与A，B重合），若S△PAM＝6S△PBN，求直线MN的方程．
解：（Ⅰ）当时，BF1⊥x轴，得到点，
所以，所以椭圆C的方程是．
（Ⅱ）因为，所以．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，有．
由（Ⅰ）可知P（0，﹣1），设MN方程为y＝kx﹣1，
联解方程得：（4k2+3）x2﹣8kx﹣8＝0．
由韦达定理可得，将x1＝﹣3x2代入可得，
即．
所以，即直线l2的方程为．
16．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且A（a，0）、B（0，b）满足条件|AB|＝|F1F2|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P（﹣2，1）的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P恰为线段MN的中点，求直线l的方程．
解：（Ⅰ）依题意，得|AB|2＝a2+b2，而，…（2 分）
则有2c2＝a2+b2＝a2+（a2﹣c2），即2a2＝3c2，故，…（3 分）
∴离心率；…（4 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…（5 分）
直线AB的截距式方程为，即bx+ay﹣ab＝0，…（6 分）
依题意，得，…（7 分）
由，解得．
∴椭圆C的方程的方程为；…（10分）
（Ⅲ）设M、N两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），
依题意，可知x1≠x2，且，，…（11分）
两式相减，得．…（12分）
∵P（﹣2，1）是线段MN的中点，
∴x1+x2＝﹣4，y1+y2＝2，
则有，即直线l的斜率为，且直线l过点P（﹣2，1），…（13分）
故直线l的方程为，即2x﹣3y+7＝0．…（14分）
17．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线与圆x2+y2＝相切
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N是左、右顶点），若以MN为直径的圆恰好经过椭圆C的右顶点A，判断直线l是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
解：（I）设椭圆的标准方程为：＝1（a＞b＞0），则＝．
F（﹣c，0），∴过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线方程为：y＝（x+c），
由于此直线与圆x2+y2＝相切，∴＝，
又a2＝b2+c2，联立解得：a＝2，c＝1，b＝．
∴椭圆C的方程为＝1．
（II）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
Δ＝64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为：3+4k2＞m2．（*）
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵以MN为直径的圆恰好经过椭圆C的右顶点A（2，0），
∴＝（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）
＝（1+k2）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m2+4＝0，
∴++m2+4＝0，
化为：7m2+16km+4k2＝0，
∴7m+2k＝0，或m+2k＝0．
都满足（*）．
当7m+2k＝0时，直线l化为：y＝k（x﹣），直线l经过定点．
当7m+2k＝0时，直线l化为：y＝k（x﹣2），直线l经过定点（2，0），舍去．
因此直线l经过定点：．
18．已知平面直角坐标系中，点（4，0）到抛物线C1：y2＝2px（p＞0）准线的距离等于5，椭圆C2：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点．
（1）求C1，C2的方程；
（2）如图，过点E（m，0）（m＞2）作椭圆C2的切线交C1于A，B两点，在x轴上取点G，使得∠AGE＝∠BGE，试解决以下问题：
①证明：点G与点E关于原点中心对称；
②若已知△ABG的面积是椭圆C2四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线AB的方程．
（1）解：因为点（4，0）到抛物线C1的准线的距离等于5，
所以，解得p＝2，所以抛物线C1的方程为y2＝4x；
因为椭圆C2的离心率为，且过点，
所以，解得a＝2，b＝1，
所以椭圆C2的方程为；
（2）①证明：因为m＞2，且直线AB与椭圆C2相切，
所以直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k（x﹣m），
联立，得（4k2+1）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4＝0，
因为直线AB与椭圆C2相切，
所以Δ＝64k4m2﹣4（4k2+1）（4k2m2﹣4）＝0，即，
联立，得ky2﹣4y﹣4km＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则；
设G（t，0），因为∠AGE＝∠BGE，所以kAG+kBG＝0，
则，即x2y1+x1y2﹣t（y1+y2）＝0，
即，
又y1+y2≠0，所以，即G（﹣m，0），
即点G与点E关于原点中心对称；
②解：椭圆C2四个顶点所围成菱形面积为，
所以△ABG的面积为16×4＝64，
则
＝，
令，即m2（m2﹣4+m）＝256，
即m4﹣4m2+m3﹣256＝0，即（m4﹣256）+m2（m﹣4）＝0，
即（m﹣4）[（m2+16）（m+4）+m2]＝0，
即（m﹣4）（m3+5m2+16m+64）＝0，
因为m＞2，所以m＝4，，；
所以直线AB的方程为．
19．椭圆的中心在坐标原点，其左焦点F1与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求过点F1、O（O为坐标原点），并且与直线（其中a为长半轴长，c为椭圆的半焦距）相切的圆的方程；
（Ⅲ）求＝时直线l的方程．
解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F1（﹣1，0），
设椭圆的方程：，
解方程组得C（﹣1，2），D（﹣1，﹣2）．
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴，，∴A（﹣1，）．
∴，又a2﹣b2＝1，
所以，，解得b2＝1并推得a2＝2，
故椭圆的方程为；
（Ⅱ）∵a＝，b＝1，c＝1，∴＝2，
∵圆过点O、F1，∴圆心M在直线x＝﹣上，
设M（﹣，t），由于圆与椭圆的左准线相切，
则圆半径r＝|（﹣）﹣（﹣2）|＝，
由|OM|＝r，得，解得t＝，
∴所求圆的方程为．
（Ⅲ） 由点F1（﹣1，0），F2（1，0），
①若AB垂直于x轴，则，
∴，，与条件不符；
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k（x+1），
由得，（1+2k2）x2+4k2x+2（k2﹣1）＝0，
∵Δ＝8k2+8＞0，∴方程有两个不等的实数根．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
∴＝（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+1）（x2+1）
＝（1+k2）x1x2+（k2﹣1）（x1+x2）+1+k2
＝++1+k2
＝＝，解得k＝，
所以直线l的方程为：y＝，即x﹣2y+1＝0或x+2y+1＝0．
20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．
（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意，得，…（1分）
则，结合b2＝a2﹣c2，得，
即2c2﹣3ac+a2＝0，…（2分）
亦即2e2﹣3e+1＝0，结合0＜e＜1，解得．
所以椭圆C的离心率为．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a＝2c，则b2＝3c2．
将代入椭圆方程，解得c＝1．
所以椭圆方程为．…（6分）
易得直线OM的方程为．
当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝kx+m（m≠0），与联立消y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
所以Δ＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝48（3+4k2﹣m2）＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（8分）
由，得AB的中点，
因为N在直线上，所以，解得k＝﹣．…（10分）
所以Δ＝48（12﹣m2）＞0，得﹣，且m≠0，
|AB|＝|x2﹣x1|＝＝＝．
又原点O到直线l的距离d＝，…（12分）
所以．
当且仅当12﹣m2＝m2，m＝时等号成立，符合﹣，且m≠0．
所以△OAB面积的最大值为：．…（14分）
21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：x2+y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
②求证：OP⊥OQ．
解：（1）由题意，得，解得a2＝6，b2＝3．
所以椭圆的方程为．
（2）①椭圆C的右焦点．
设切线方程为，即，
所以，解得，所以切线方程为．
由方程组解得或，
所以．
因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为．
综上所述，△OPQ的面积为．
②（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为或．
当时，．
因为，所以OP⊥OQ．
当时，同理可得OP⊥OQ．
（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx+m，即kx﹣y+m＝0．
因为直线与圆相切，所以，即m2＝2k2+2．
将直线PQ方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，
因为＝．
将m2＝2k2+2代入上式可得，所以OP⊥OQ．
综上所述，OP⊥OQ．
22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上，△AF1F2的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A作直线l与椭圆C的另一个交点为B，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，求证：为定值．
（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得，解得．
所以椭圆C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，则．
所以的值即为点O到直线AB的距离d．…（7分）
当AB的斜率不存在时，可设A（m，m），B（m，﹣m），
又A，B在椭圆C上，所以，即．
所以点O到直线AB的距离为．…（8分）
当AB的斜率存在时，可设AB的方程为y＝kx+t，与椭圆联立消y得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，由Δ＞0，得3+4k2＞t2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则．…（10分）
由，得x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+t）（kx2+t）＝＝，化简得7t2＝12（k2+1）．…（12分）
所以点O到直线AB的距离为＝＝．
综上，点O到直线y＝kx+t的距离为定值，且定值为，
即为定值，且定值为．…（14分）
23．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
解：（Ⅰ）由题意知，b＝1，结合a2＝b2+c2，解得，
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）由题设知，直线PQ的方程为y＝k（x﹣1）+1 （k≠2），代入，得
（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）＝0，
由已知Δ＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，
则，，
从而直线AP与AQ的斜率之和：
＝
＝．
24．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A，B运动时，满足直线PA、PB与X轴始终围成一个等腰三角形，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
解：（1）∵椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点，
∴设C方程为（a＞b＞0），
则b＝2．由，a2＝b2+c2，得a＝4，
故椭圆C的方程为．…（4分）
（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝，
代入中，整理得x2+tx+t2﹣12＝0，
Δ＝t2﹣4（t2﹣12）＞0，解得﹣4＜t＜4，x1+x2＝﹣t，，
四边形APBQ的面积S＝|x1﹣x2|＝3，
当t＝0时，．
②当PA＝PB时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，
PA的直线方程为y﹣3＝k（x﹣2），
代入中整理得：（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48＝0，
∴2+1＝，
同理2+2＝，x1+x2＝，x1﹣x2＝，
从而＝＝，即直线AB的斜率为定值．…（13分）
25．椭圆G：+＝1（a＞b＞0）的对称中心是坐标原点O，其短轴的一个端点为B，焦点F（c，0）（c＞0），△OBF为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5．
（i）求此时椭圆G的方程；
（ii）设斜率为k（k≠0）的直线与椭圆G交于互异两点S，T，Q为线段ST的中点，问S，T两点能否关于过点P（0，﹣）和Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，说明理由．
解：（Ⅰ）由题意可知，b＝c，
∴a2＝b2+c2＝2c2，得，
则e＝；
（Ⅱ）（i）当e＝时，椭圆为．
设H（x，y）是椭圆上一点，
则|HN|2＝x2+（y﹣3）2＝（2b2﹣2y2）+（y﹣3）2＝﹣（y+3）2+2b2+18，（﹣b≤y≤b），
设0＜b＜3，则﹣3＜﹣b＜0，当y＝﹣b时，|HN|max2＝b2+6b+9，由题意得b2+6b+9＝50
∴b＝﹣3±5，与0＜b＜3矛盾，
设b≥3，则﹣b≤﹣3，当y＝﹣3时，|HN|max2＝2b2+18，由2b2+18＝50得b2＝16，（合题薏）．
∴椭圆G的方程是：；
（ii）设l：y＝kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣32＝0，
由Δ＞0，可得m2＜32k2+16，
又S、T两点关于过点P（0，﹣）、Q的直线对称，
∴，设S（x1，y1），T（x2，y2），
则，yQ＝，
∴，∴m＝，
∴（）2＜32k2+16，得0＜k2＜，
又k≠0，∴﹣＜k＜0或0＜k＜，
∴k的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．
学习目标：
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．
2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
3．了解椭圆的简单应用．
4．理解数形结合的思想．
考向预测·
考情分析：椭圆方程，几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等，直线与椭圆的位置关系，定值、定点与存在性等综合问题，仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题，填空题，解答题．
学科素养：通过椭圆的定义、标准方程的求解研究椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系考查数学运算、直观想象的核心素养．
必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的 轨迹为 椭圆 ________为椭圆的焦点
|MF1|＋|MF2|＝2a (2a＞|F1F2|) ________为椭圆的焦距
2.椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2)
标准方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a＞b＞0)
图形
性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：________ 对称中心：________
顶点 A1______，A2______ B1______，B2______ A1______，A2______ B1______，B2______
性 质 轴 长轴A1A2的长为________ 短轴B1B2的长为________
焦距 |F1F2|＝________
离心率 e＝∈________
a，b，c 的关系 ________
二、必明4个常用结论
1．P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
2．椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦．
3．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)．
4．设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为定值－.
考点突破 掌握类题通法
考点一 椭圆的定义及应用 [综合性]
[例1] (1)已知P是椭圆x2＋5y2＝25上一点，F1，F2为椭圆的左，右焦点，且|PF1|＝7，则|PF2|＝( )
A．1 B．3
C．5 D．9
(2)设F1，F2是椭圆 ＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
考点二 椭圆的标准方程 [综合性]
[例2] (1)[江苏省苏州中学月考]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)椭圆C的焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，直线l与C交于A，B两点，若＝＝0，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
反思感悟 求椭圆的标准方程的步骤
考点三 椭圆的几何性质 [综合性]
角度1 求椭圆的离心率
[例3] (1)[安徽蚌埠高三开学考试]已知椭圆＝1(a>b>0)的右顶点为A，坐标原点为O，若椭圆上存在一点P使得△OAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
(2)[2022·昆明市云南师大附中高三月考]已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得|PF1|－|PF2|＝2b，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A． B．
C．(0，] D．[，1)
反思感悟 求椭圆离心率或其取值范围的方法
(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝＝＝1－直接求．
(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
角度2 最值(或范围)问题
[例4] (1)[2021·全国乙卷]设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A． B．
C． D．2
(2)已知椭圆＝1(0
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0
考点四 直线与椭圆的位置关系 [综合性]
[例5] [2020·全国卷Ⅲ]已知椭圆C：＝1(0
(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
反思感悟
1．判断直线与椭圆位置关系的四个步骤
第一步：确定直线与椭圆的方程．
第二步：联立直线方程与椭圆方程．
第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．
第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．
2．直线被椭圆截得的弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|
＝＝ (k为直线斜率).
椭圆难点突破专项练习
1．已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点M（2，1），动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线MA与MB的斜率之和为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明直线AB经过定点，并求这个定点的坐标．
2．椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的焦点到直线x﹣3y＝0的距离为，离心率为，抛物线G：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D．
（1）求椭圆E及抛物线G的方程；
（2）是否存在常数λ，使为常数，若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．
3．已知椭圆）的右焦点为F，点A（﹣a，0）与点B（0，b）是椭圆的顶点，．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）设以离心率e为斜率的直线l经过点A，与椭圆C相交于点P（点P不在坐标轴上）
（ⅰ）证明：点F在以线段AP为直径的圆上；
（ⅱ） + ＝8，求椭圆C的方程．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．
5．已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1+2k2＝0，求直线F1M的方程．
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴y轴分别交于M，N两点．
①设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；
②求△OMN面积的最大值．
7．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的点到它两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．
（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，试判断QM与QN所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．
8．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．
9．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且F2也是抛物线E：y2＝4x的焦点，P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点，且|PF2|＝．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS＝∠OTR？说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x＝a+1于点E、F．
（Ⅰ）若点B（），求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1，k2．
①试探究：k1 k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；
②求△AEF的面积的最小值．
11．已知椭圆C1：（a＞b＞0）的上顶点为A，离心率为．抛物线C2：y＝﹣x2+1截x轴所得的线段长为C1的长半轴长．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l与C2相交于B，C两点，直线AB，AC分别与C1相交于P，Q两点
①证明：以BC为直径的圆经过点A；
②记△ABC和△APQ的面积分别是S1，S2，求的最小值．
12．已知离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）经过点（2，1）．A，B，M为椭圆上三点，且满足|MA|＝|MB|．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当A，B关于原点O对称时，是否存在定圆，使得AM恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．
13．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
14．如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左右顶点分别是A，B，离心率为，设点P（a，t）（t），连接PA交椭圆于点C，坐标原点是O．
（1）证明：OP⊥BC；
（2）设三角形ABC的面积为S1，四边形OBPC的面积为S2，若 的最小值为1，求椭圆的标准方程．
15．如图，椭圆的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P的直线与椭圆交于M，N两点（M，N不与A，B重合），若S△PAM＝6S△PBN，求直线MN的方程．
16．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且A（a，0）、B（0，b）满足条件|AB|＝|F1F2|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P（﹣2，1）的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P恰为线段MN的中点，求直线l的方程．
17．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线与圆x2+y2＝相切
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N是左、右顶点），若以MN为直径的圆恰好经过椭圆C的右顶点A，判断直线l是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
18．已知平面直角坐标系中，点（4，0）到抛物线C1：y2＝2px（p＞0）准线的距离等于5，椭圆C2：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点．
（1）求C1，C2的方程；
（2）如图，过点E（m，0）（m＞2）作椭圆C2的切线交C1于A，B两点，在x轴上取点G，使得∠AGE＝∠BGE，试解决以下问题：
①证明：点G与点E关于原点中心对称；
②若已知△ABG的面积是椭圆C2四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线AB的方程．
19．椭圆的中心在坐标原点，其左焦点F1与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求过点F1、O（O为坐标原点），并且与直线（其中a为长半轴长，c为椭圆的半焦距）相切的圆的方程；
（Ⅲ）求＝时直线l的方程．
20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：x2+y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
②求证：OP⊥OQ．
22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上，△AF1F2的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A作直线l与椭圆C的另一个交点为B，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，求证：为定值．
23．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
24．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A，B运动时，满足直线PA、PB与X轴始终围成一个等腰三角形，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
25．椭圆G：+＝1（a＞b＞0）的对称中心是坐标原点O，其短轴的一个端点为B，焦点F（c，0）（c＞0），△OBF为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5．
（i）求此时椭圆G的方程；
（ii）设斜率为k（k≠0）的直线与椭圆G交于互异两点S，T，Q为线段ST的中点，问S，T两点能否关于过点P（0，﹣）和Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，说明理由．
参考答案与解析
一、
1．F1，F2 |F1F2|
2．x轴，y轴 坐标原点 (－a，0) (a，0) (0，－b) (0，b) (0，－a) (0，a) (－b，0) (b，0) 2a 2b 2c (0，1) c2＝a2－b2
考点一
例1 解析：(1)对椭圆方程x2＋5y2＝25变形得，＝1，易得椭圆长半轴的长为5，
由椭圆的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10，
又因为|PF1|＝7，所以|PF2|＝10－7＝3.
(2)由题意得，a＝7，b＝2，c＝5，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝14，
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2，
则100＝(m＋n)2－2mn－2mn cos 60°，解得mn＝＝mn sin 60°＝8.
答案：(1)B (2)8
考点二
例2 解析：(1)由题知： ，
所以椭圆C的标准方程为：＝1.
(2)因为＝0，所以AF2⊥F1F2，过B作BC⊥x于C，
由＝知，AB过点F1，且AF1＝2BF1，如图，
所以△BCF1∽△AF2F1，
设A(1，y0)，则B，
代入椭圆方程可得，解得a2＝5，
又c＝1，所以b2＝4，
所以椭圆的方程为＝1.
答案：(1)B (2)D
考点三
例3 解析：(1)△OAP是等腰直角三角形，则P是直角顶点，所以P在椭圆上，
所以＝1，a2＝3b2＝3(a2－c2)，e＝＝.
(2)所以|PF1|＝a＋b，又|PF1|≤a＋c，所以b≤c，1＞e＝＝.
答案：(1)C (2)D
例4 解析：(1)方法一 设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝－(2y＋)2.
当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以＝.
方法二 因为点P在椭圆＋y2＝1上，所以可设点P(cos θ，sin θ)．易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝－(2sin θ＋)2.易知当2sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝.
(2)由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知＝3.所以b2＝3，即b＝.
考点四
例5 解析：(1)由题设可得＝，得m2＝，所以C的方程为＝1.
(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ＞0，由题意知yP＞0.
由已知可得B(5，0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，
所以|BP|＝.
因为|BP|＝|BQ|，
所以yP＝1，将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8.
所以点P，Q的坐标分别为P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(－3，1)，Q2(6，8)．
|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，点A(－5，0)到直线P1Q1的距离为，故△AP1Q1的面积为＝.
|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，点A到直线P2Q2的距离为，故△AP2Q2的面积为＝.
综上，△APQ的面积为.
椭圆难点突破练习
1．已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点M（2，1），动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线MA与MB的斜率之和为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明直线AB经过定点，并求这个定点的坐标．
（Ⅰ）解：设椭圆，由离心率为，得，
又因为a2＝b2+c2，所以a2＝4b2.由M（2，1）在椭圆上可得，解得b2＝2，a2＝8．
所以椭圆G的方程为．
（Ⅱ）证明：当直线AB与x轴垂直时，设A（s，t）（s≠1），则B（s，﹣t）．
由题意得：，即s＝0．所以直线AB的方程为x＝0．
当直线AB不与x轴垂直时，可设直线AB为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
将y＝kx+m代入得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣8＝0，
所以，．由已知可得①，
将y1＝kx1+m和y2＝kx2+m代入①，
并整理得（2k﹣1）x1x2+（m﹣2k+1）（x1+x2）﹣4m＝0②，
将，代入②，
并整理得m2+（2k+1）m+4k﹣2＝0，可得（2k+m﹣1）（m+2）＝0，
因为直线AB：y＝kx+m不经过点M（2，1），
所以2k+m﹣1≠0，故m＝﹣2．所以直线AB的方程为y＝kx﹣2，经过定点（0，﹣2）．
综上所述，直线AB经过定点（0，﹣2）．
2．椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的焦点到直线x﹣3y＝0的距离为，离心率为，抛物线G：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D．
（1）求椭圆E及抛物线G的方程；
（2）是否存在常数λ，使为常数，若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．
解：（1）设E、G的公共焦点为F（c，0），由题意得，．
联立解得．
所以椭圆E：，抛物线G：y2＝8x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
直线l的方程为y＝k（x﹣2），与椭圆E的方程联立，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5＝0
Δ＝400k4﹣20（5k2+1）（4k2﹣1）＝20（k2+1）＞0．
＝．
直线l的方程为y＝k（x﹣2），
与抛物线G的方程联立，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0．
．
．
＝．
要使为常数，则20+＝4，得．
故存在，使为常数．
3．已知椭圆）的右焦点为F，点A（﹣a，0）与点B（0，b）是椭圆的顶点，．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）设以离心率e为斜率的直线l经过点A，与椭圆C相交于点P（点P不在坐标轴上）
（ⅰ）证明：点F在以线段AP为直径的圆上；
（ⅱ） + ＝8，求椭圆C的方程．
解：（Ⅰ）由题意可得F（c，0），A（﹣a，0），B（0，b），
所以|AF|＝a+c，|BF|＝＝a，
因为，，
所以a＝（a+c），解得a＝2c，
所以离心率为e＝＝．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b2＝a2﹣c2＝3c2，
所以B（0，c），椭圆的方程为+＝1，
因为以离心率e为斜率的直线l经过点A，
所以直线l的方程为y＝（x+2c），
联立直线l与椭圆的方程得x2+cx﹣2c2＝0，
所以xAxP＝﹣2c2，即﹣2cxP＝﹣2c2，
解得xP＝c，
所以yP＝（c+2c）＝，
所以P（c，），
（ⅰ）所以＝（3c，0），＝（0，﹣），
所以 ＝0．
（ⅱ）＝（3c，），＝（c，﹣c），
＝（2c，c），＝（c，﹣c），
因为 + ＝8，
所以3c2﹣c2+2c2+c2﹣3c2＝8，
解得c2＝4，
所以a2＝4c2＝16，b2＝3c2＝12，
所以+＝1．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．
解：（1）∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，左顶点为A（﹣4，0），
∴a＝4，又，∴c＝2．…（2分）
又∵b2＝a2﹣c2＝12，
∴椭圆C的标准方程为．…（4分）
（2）直线l的方程为y＝k（x+4），
由消元得，．
化简得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]＝0，
∴x1＝﹣4，．…（6分）
当时，，
∴．
∵点P为AD的中点，∴P的坐标为，
则．…（8分）
直线l的方程为y＝k（x+4），令x＝0，得E点坐标为（0，4k），
假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，
则kOPkEQ＝﹣1，即恒成立，
∴（4m+12）k﹣3n＝0恒成立，∴，即，
∴定点Q的坐标为（﹣3，0）．…（10分）
（3）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y＝kx，
由，得M点的横坐标为，…（12分）
由OM∥l，得
＝…（14分）
＝，
当且仅当即时取等号，
∴当时，的最小值为． …（16分）
5．已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1+2k2＝0，求直线F1M的方程．
解：（I）由题意可得：2b＝4，＝，a2＝b2+c2．
联立解得：b＝2，c＝1，a＝3．
∴椭圆C的标准方程为：+＝1．
（II）A（﹣3，0），B（3，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），
设F1M的方程为：x＝my﹣1，M（x1，y1），（y1＞0），直线F1M与椭圆的另一个交点为M′（x2，y2）．
∵F1M∥F2N，根据对称性可得：N（﹣x2，﹣y2）．
联立，化为：（8m2+9）y2﹣16my﹣64＝0，
∴y1+y2＝，y1y2＝，
∵3k1+2k2＝0，∴+＝0，即5my1y2+6y1+4y2＝0，
联立解得：y1＝，y2＝，
∵y1＞0，y2＜0，∴m＞0．
∴y1y2＝ ＝，∴m＝±．又m＞0，∴m＝．
∴直线F1M的方程为x＝y﹣1，即2x+y+2＝0．
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴y轴分别交于M，N两点．
①设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；
②求△OMN面积的最大值．
解：（1）∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，
∴，∴＝，∴＝，∴a2＝4b2，①
设直线y＝x与椭圆交于P，Q两点，设P是直线与椭圆在第一象限的交点，
∵直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，∴P（，），
∴+＝1，解得a2+b2＝，②
联立①②，解得a2＝4，b2＝1，
∴椭圆方程为＝1．
证明：（2）①设A（x1，y1），（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），
直线AB的斜率，
又AB⊥AD，∴直线AD的斜率k＝﹣，
设直线AD的方程为y＝kx+m，由题意得k≠0，m≠0，
联立，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4＝0，
∴x1+x2＝﹣，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，
由题意知x1≠﹣x2，∴k1＝＝﹣＝，
∴直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），
令y＝0，得x＝3x1，即M（3x1，0），解得k2＝﹣，
∴，则，
∴存在常数λ＝﹣，使结论成立．
解：②直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），
令x＝0，得y＝﹣，即N（0，﹣），
由①知M（3x1，0），得△OMN的面积S＝＝，
∵|x1||y1|＝1，
当且仅当＝|y1|＝时，等号成立，
此时S取得最大值，∴△OMN面积的最大值为．
7．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的点到它两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．
（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，试判断QM与QN所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．
解：（Ⅰ）由题意可得，
解得a＝2，b＝c＝，
所以圆O的方程为x2+y2＝2，椭圆C的方程为+＝1．
（Ⅱ）QM⊥QN．
证明：设P（x0，y0）（y0≠0），Q（xQ，y0），
则，即，
又由AP：y＝（x+2）得M（0，），
由BP：y＝（x﹣2），得N（0，﹣），
所以＝（﹣xQ，﹣y0）＝（﹣xQ．﹣），
＝（﹣xQ．﹣﹣y0）＝（﹣xQ，），
所以 ＝xQ2+＝2﹣y02+＝0，
所以QM⊥QN．
8．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．
20．（本小题满分12分）
解：（1）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，
∴依题意，解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆C的方程为：．…（5分）
（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x＝ty+1与椭圆交于A，B两点，
则，整理，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，
由韦达定理，得：，，
∴|y1﹣y2|＝＝＝，
∴＝＝，
椭圆C的内接平行四边形面积为S＝4S△OAB＝，
令m＝≥1，则S＝f（m）＝＝，
注意到S＝f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴Smax＝f（1）＝6，
当且仅当m＝1，即t＝0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．…（12分）
9．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且F2也是抛物线E：y2＝4x的焦点，P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点，且|PF2|＝．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS＝∠OTR？说明理由．
解：（1）∵F2也是抛物线E：y2＝4x的焦点，
∴F2（1，0），
∴c＝1，且抛物线的准线方程为x＝﹣1，
设点P（x0，y0）
∵|PF2|＝，
∴x0+1＝，
∴x0＝，
∴y0＝＝，
∴+＝1，
∵a2﹣b2＝c2＝1，
解得a2＝4，b2＝3，
∴椭圆方程为+＝1，
（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS＝∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）
联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
由韦达定理有x1+x2＝，x1x2＝①，其中Δ＞0恒成立，
由∠OTS＝∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故kTS+kTR＝0即+＝0②，
由R，S两点在直线y＝k（x﹣1）上，故 y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），
代入②整理有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t＝0③，
将①代入③即有：＝0④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t＝4“时成立，
综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS＝∠OTR．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x＝a+1于点E、F．
（Ⅰ）若点B（），求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1，k2．
①试探究：k1 k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；
②求△AEF的面积的最小值．
解：（I）由题意可得：＝，＝1，a2＝b2+c2，
联立解得a2＝8，b＝2＝c，
∴椭圆C的方程为：+＝1．
（II）①k1 k2为定值．设B（x0，y0），C（﹣x0，﹣y0）.+＝1．
由＝，a2＝b2+c2，可得a2＝2b2．
则k1 k2＝ ＝＝＝﹣＝﹣．
②设直线AB的方程为：y＝k1（x﹣a），直线AC的方程为：y＝k2（x﹣a），
令x＝a+1，则yE＝k1，yF＝k2，
S△AEF＝|EF|×1＝|k2﹣k1|，
由图形可得：k1＜0，k2＞0，
k1 k2＝﹣．
∴S△AEF＝（k2﹣k1）×＝，当且仅当k2＝﹣k1＝时取等号．
∴△AEF的面积的最小值为．
11．已知椭圆C1：（a＞b＞0）的上顶点为A，离心率为．抛物线C2：y＝﹣x2+1截x轴所得的线段长为C1的长半轴长．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l与C2相交于B，C两点，直线AB，AC分别与C1相交于P，Q两点
①证明：以BC为直径的圆经过点A；
②记△ABC和△APQ的面积分别是S1，S2，求的最小值．
解：（Ⅰ）已知抛物线C2：y＝﹣x2+1中，令y＝0，解得x＝±1，a＝2，…………（1分）
又e＝＝，则c＝，从而b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆C1的方程为：； …………（2分）
（Ⅱ）①直线l的斜率显然存在，设l方程为y＝mx．由，整理得x2+mx﹣1＝0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣1 …………（4分）
由已知A（0，1），所以＝（x1，y1﹣1），＝（x2，y2﹣1），
＝x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）＝（1+m2）x1x2﹣m（x1+x2）+1＝0，
故以BC为直径的圆经过点A； …………（6分）
②设直线AB：y＝kx+1，显然k≠0，由，解得：x＝0或x＝﹣k，
∴B（﹣k，1﹣k2），则|AB|＝＝|k|，…………（8分）
由①知AB⊥AC，直线AC：y＝﹣x+1，则|AC|＝||，…………（9分）
由，得（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x＝0或x＝﹣，
P（﹣，），则|AP|＝，…………（11分）
由①知，直线AC：y＝﹣+1，|AQ|＝，…………（12分）
则＝＝＝（4k2++17）≥，
当且仅当k＝±1时等号成立，即最小值为．…………（14分）
12．已知离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）经过点（2，1）．A，B，M为椭圆上三点，且满足|MA|＝|MB|．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当A，B关于原点O对称时，是否存在定圆，使得AM恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝＝＝，则a2＝2b2，将点（2，1）代入椭圆方程：，即，
解得：b2＝3，则a2＝6，
∴椭圆的标准方程为：；
（Ⅱ）由①直线AB的斜率不存在时，由对称性不妨设直线AM方程为y＝x+，则O到直线AM的距离d＝，
同理直线AB的为0时，原点O到直线AM的距离为；
②直线AB存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝kx，由|MA|＝|MB|，
∴直线OM的方程为y＝﹣x，由，解得：xA2＝，同理可得：xM2＝，
设原点O到直线AM的距离d，直线AM方程为（yM﹣yA）x+（xM﹣xA）y+yAxM﹣xAyM＝0，
∴d2＝＝＝＝＝＝2，
综上可知：原点O到直线AM的距离为，
∴存在定圆x2+y2＝2，使得AM恒与该定圆相切．
13．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
解：（Ⅰ）设C方程为，则．
由，得a＝4
∴椭圆C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，
代入，得x2+tx+t2﹣12＝0
由Δ＞0，解得﹣4＜t＜4…（6分）
由韦达定理得x1+x2＝﹣t，x1x2＝t2﹣12．
∴＝＝．
由此可得：四边形APBQ的面积
∴当t＝0，．…（8分）
②解：当∠APQ＝∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k
则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3＝k（x﹣2）
由
（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48＝0
∴…（10分）
同理直线PB的直线方程为y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得
∴…（12分）
所以AB的斜率为定值．…（14分）
14．如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左右顶点分别是A，B，离心率为，设点P（a，t）（t），连接PA交椭圆于点C，坐标原点是O．
（1）证明：OP⊥BC；
（2）设三角形ABC的面积为S1，四边形OBPC的面积为S2，若 的最小值为1，求椭圆的标准方程．
（本小题满分14分）
解：（1）证明：由e＝＝＝，则a2＝2b2，则a＝c，
∴椭圆的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
直线PA的方程为：y＝（x+c），
由，整理得：（4c2+t2）x2+2ct2x+2t2c2﹣8c4＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
由 xA＝﹣c，可得xC＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
则点C的坐标是（，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
故直线BC的斜率为kBC＝﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
由于直线OP的斜率为kOP＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
所以kBC kOP＝﹣1，所以OP⊥BC；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（2）由（1）知，S1＝×2c×＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
S2＝S△APB﹣S△AOC＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
＝＝+，t≥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
所以当t＝时，（）min＝+＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
∴c2＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
所以椭圆方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
15．如图，椭圆的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P的直线与椭圆交于M，N两点（M，N不与A，B重合），若S△PAM＝6S△PBN，求直线MN的方程．
解：（Ⅰ）当时，BF1⊥x轴，得到点，
所以，所以椭圆C的方程是．
（Ⅱ）因为，所以．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，有．
由（Ⅰ）可知P（0，﹣1），设MN方程为y＝kx﹣1，
联解方程得：（4k2+3）x2﹣8kx﹣8＝0．
由韦达定理可得，将x1＝﹣3x2代入可得，
即．
所以，即直线l2的方程为．
16．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且A（a，0）、B（0，b）满足条件|AB|＝|F1F2|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P（﹣2，1）的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P恰为线段MN的中点，求直线l的方程．
解：（Ⅰ）依题意，得|AB|2＝a2+b2，而，…（2 分）
则有2c2＝a2+b2＝a2+（a2﹣c2），即2a2＝3c2，故，…（3 分）
∴离心率；…（4 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…（5 分）
直线AB的截距式方程为，即bx+ay﹣ab＝0，…（6 分）
依题意，得，…（7 分）
由，解得．
∴椭圆C的方程的方程为；…（10分）
（Ⅲ）设M、N两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），
依题意，可知x1≠x2，且，，…（11分）
两式相减，得．…（12分）
∵P（﹣2，1）是线段MN的中点，
∴x1+x2＝﹣4，y1+y2＝2，
则有，即直线l的斜率为，且直线l过点P（﹣2，1），…（13分）
故直线l的方程为，即2x﹣3y+7＝0．…（14分）
17．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线与圆x2+y2＝相切
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N是左、右顶点），若以MN为直径的圆恰好经过椭圆C的右顶点A，判断直线l是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
解：（I）设椭圆的标准方程为：＝1（a＞b＞0），则＝．
F（﹣c，0），∴过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线方程为：y＝（x+c），
由于此直线与圆x2+y2＝相切，∴＝，
又a2＝b2+c2，联立解得：a＝2，c＝1，b＝．
∴椭圆C的方程为＝1．
（II）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
Δ＝64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为：3+4k2＞m2．（*）
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵以MN为直径的圆恰好经过椭圆C的右顶点A（2，0），
∴＝（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）
＝（1+k2）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m2+4＝0，
∴++m2+4＝0，
化为：7m2+16km+4k2＝0，
∴7m+2k＝0，或m+2k＝0．
都满足（*）．
当7m+2k＝0时，直线l化为：y＝k（x﹣），直线l经过定点．
当7m+2k＝0时，直线l化为：y＝k（x﹣2），直线l经过定点（2，0），舍去．
因此直线l经过定点：．
18．已知平面直角坐标系中，点（4，0）到抛物线C1：y2＝2px（p＞0）准线的距离等于5，椭圆C2：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点．
（1）求C1，C2的方程；
（2）如图，过点E（m，0）（m＞2）作椭圆C2的切线交C1于A，B两点，在x轴上取点G，使得∠AGE＝∠BGE，试解决以下问题：
①证明：点G与点E关于原点中心对称；
②若已知△ABG的面积是椭圆C2四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线AB的方程．
（1）解：因为点（4，0）到抛物线C1的准线的距离等于5，
所以，解得p＝2，所以抛物线C1的方程为y2＝4x；
因为椭圆C2的离心率为，且过点，
所以，解得a＝2，b＝1，
所以椭圆C2的方程为；
（2）①证明：因为m＞2，且直线AB与椭圆C2相切，
所以直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k（x﹣m），
联立，得（4k2+1）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4＝0，
因为直线AB与椭圆C2相切，
所以Δ＝64k4m2﹣4（4k2+1）（4k2m2﹣4）＝0，即，
联立，得ky2﹣4y﹣4km＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则；
设G（t，0），因为∠AGE＝∠BGE，所以kAG+kBG＝0，
则，即x2y1+x1y2﹣t（y1+y2）＝0，
即，
又y1+y2≠0，所以，即G（﹣m，0），
即点G与点E关于原点中心对称；
②解：椭圆C2四个顶点所围成菱形面积为，
所以△ABG的面积为16×4＝64，
则
＝，
令，即m2（m2﹣4+m）＝256，
即m4﹣4m2+m3﹣256＝0，即（m4﹣256）+m2（m﹣4）＝0，
即（m﹣4）[（m2+16）（m+4）+m2]＝0，
即（m﹣4）（m3+5m2+16m+64）＝0，
因为m＞2，所以m＝4，，；
所以直线AB的方程为．
19．椭圆的中心在坐标原点，其左焦点F1与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求过点F1、O（O为坐标原点），并且与直线（其中a为长半轴长，c为椭圆的半焦距）相切的圆的方程；
（Ⅲ）求＝时直线l的方程．
解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F1（﹣1，0），
设椭圆的方程：，
解方程组得C（﹣1，2），D（﹣1，﹣2）．
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴，，∴A（﹣1，）．
∴，又a2﹣b2＝1，
所以，，解得b2＝1并推得a2＝2，
故椭圆的方程为；
（Ⅱ）∵a＝，b＝1，c＝1，∴＝2，
∵圆过点O、F1，∴圆心M在直线x＝﹣上，
设M（﹣，t），由于圆与椭圆的左准线相切，
则圆半径r＝|（﹣）﹣（﹣2）|＝，
由|OM|＝r，得，解得t＝，
∴所求圆的方程为．
（Ⅲ） 由点F1（﹣1，0），F2（1，0），
①若AB垂直于x轴，则，
∴，，与条件不符；
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k（x+1），
由得，（1+2k2）x2+4k2x+2（k2﹣1）＝0，
∵Δ＝8k2+8＞0，∴方程有两个不等的实数根．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
∴＝（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+1）（x2+1）
＝（1+k2）x1x2+（k2﹣1）（x1+x2）+1+k2
＝++1+k2
＝＝，解得k＝，
所以直线l的方程为：y＝，即x﹣2y+1＝0或x+2y+1＝0．
20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．
（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意，得，…（1分）
则，结合b2＝a2﹣c2，得，
即2c2﹣3ac+a2＝0，…（2分）
亦即2e2﹣3e+1＝0，结合0＜e＜1，解得．
所以椭圆C的离心率为．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a＝2c，则b2＝3c2．
将代入椭圆方程，解得c＝1．
所以椭圆方程为．…（6分）
易得直线OM的方程为．
当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝kx+m（m≠0），与联立消y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
所以Δ＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝48（3+4k2﹣m2）＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（8分）
由，得AB的中点，
因为N在直线上，所以，解得k＝﹣．…（10分）
所以Δ＝48（12﹣m2）＞0，得﹣，且m≠0，
|AB|＝|x2﹣x1|＝＝＝．
又原点O到直线l的距离d＝，…（12分）
所以．
当且仅当12﹣m2＝m2，m＝时等号成立，符合﹣，且m≠0．
所以△OAB面积的最大值为：．…（14分）
21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：x2+y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
②求证：OP⊥OQ．
解：（1）由题意，得，解得a2＝6，b2＝3．
所以椭圆的方程为．
（2）①椭圆C的右焦点．
设切线方程为，即，
所以，解得，所以切线方程为．
由方程组解得或，
所以．
因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为．
综上所述，△OPQ的面积为．
②（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为或．
当时，．
因为，所以OP⊥OQ．
当时，同理可得OP⊥OQ．
（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx+m，即kx﹣y+m＝0．
因为直线与圆相切，所以，即m2＝2k2+2．
将直线PQ方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，
因为＝．
将m2＝2k2+2代入上式可得，所以OP⊥OQ．
综上所述，OP⊥OQ．
22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上，△AF1F2的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A作直线l与椭圆C的另一个交点为B，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，求证：为定值．
（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得，解得．
所以椭圆C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，则．
所以的值即为点O到直线AB的距离d．…（7分）
当AB的斜率不存在时，可设A（m，m），B（m，﹣m），
又A，B在椭圆C上，所以，即．
所以点O到直线AB的距离为．…（8分）
当AB的斜率存在时，可设AB的方程为y＝kx+t，与椭圆联立消y得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，由Δ＞0，得3+4k2＞t2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则．…（10分）
由，得x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+t）（kx2+t）＝＝，化简得7t2＝12（k2+1）．…（12分）
所以点O到直线AB的距离为＝＝．
综上，点O到直线y＝kx+t的距离为定值，且定值为，
即为定值，且定值为．…（14分）
23．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
解：（Ⅰ）由题意知，b＝1，结合a2＝b2+c2，解得，
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）由题设知，直线PQ的方程为y＝k（x﹣1）+1 （k≠2），代入，得
（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）＝0，
由已知Δ＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，
则，，
从而直线AP与AQ的斜率之和：
＝
＝．
24．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A，B运动时，满足直线PA、PB与X轴始终围成一个等腰三角形，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
解：（1）∵椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点，
∴设C方程为（a＞b＞0），
则b＝2．由，a2＝b2+c2，得a＝4，
故椭圆C的方程为．…（4分）
（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝，
代入中，整理得x2+tx+t2﹣12＝0，
Δ＝t2﹣4（t2﹣12）＞0，解得﹣4＜t＜4，x1+x2＝﹣t，，
四边形APBQ的面积S＝|x1﹣x2|＝3，
当t＝0时，．
②当PA＝PB时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，
PA的直线方程为y﹣3＝k（x﹣2），
代入中整理得：（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48＝0，
∴2+1＝，
同理2+2＝，x1+x2＝，x1﹣x2＝，
从而＝＝，即直线AB的斜率为定值．…（13分）
25．椭圆G：+＝1（a＞b＞0）的对称中心是坐标原点O，其短轴的一个端点为B，焦点F（c，0）（c＞0），△OBF为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5．
（i）求此时椭圆G的方程；
（ii）设斜率为k（k≠0）的直线与椭圆G交于互异两点S，T，Q为线段ST的中点，问S，T两点能否关于过点P（0，﹣）和Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，说明理由．
解：（Ⅰ）由题意可知，b＝c，
∴a2＝b2+c2＝2c2，得，
则e＝；
（Ⅱ）（i）当e＝时，椭圆为．
设H（x，y）是椭圆上一点，
则|HN|2＝x2+（y﹣3）2＝（2b2﹣2y2）+（y﹣3）2＝﹣（y+3）2+2b2+18，（﹣b≤y≤b），
设0＜b＜3，则﹣3＜﹣b＜0，当y＝﹣b时，|HN|max2＝b2+6b+9，由题意得b2+6b+9＝50
∴b＝﹣3±5，与0＜b＜3矛盾，
设b≥3，则﹣b≤﹣3，当y＝﹣3时，|HN|max2＝2b2+18，由2b2+18＝50得b2＝16，（合题薏）．
∴椭圆G的方程是：；
（ii）设l：y＝kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣32＝0，
由Δ＞0，可得m2＜32k2+16，
又S、T两点关于过点P（0，﹣）、Q的直线对称，
∴，设S（x1，y1），T（x2，y2），
则，yQ＝，
∴，∴m＝，
∴（）2＜32k2+16，得0＜k2＜，
又k≠0，∴﹣＜k＜0或0＜k＜，
∴k的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．