5.2.2导数的四则运算法则教学设计-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）

第五章　一元函数的导数及其应用
《5. 2.2导数的四则运算法则》教学设计
(
教学目标
)
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
(
教学重难点
)
教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则
教学难点：综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数
(
课前准备
)
PPT课件．
(
教学过程
)
【新课导入】
问题1：阅读课本第76~78页，回答下列问题：
（1）本节将要探究哪类问题？
（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节课主要学习导数的四则运算法则；（2）本节内容通过对导数的四则运算法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
问题2：基本初等函数的导数公式有哪些？
师生活动：学生回顾并回答．
预设的答案：
基本初等函数的导数公式
1. 若(为常数)，则；
2. 若，且，则；
3. 若，则；
4. 若，则；
5. 若，且，则； 特别地，若，则；
6. 若，且，则； 特别地，若，则；
设计意图：温故而知新．
问题2：在上节课的例2中，当=5时，，这时，求p关于t的导数可以看成求函数f（t）=5与g（t）=1.05t乘积的导数,一般地，如何求两个函数和、差、积、商的导数呢？不妨设
，计算与，它们与和有什么关系？
师生活动：分小组讨论，每组选出一位代表回答，教师最后总结、讲解
设计意图：通过对上节例题的提问，引导学生探究导数的四则运算法则．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
【探究新知】
知识点1：函数和、差的求导法则
设，
因为，
所以.
而，
所以.
同样地，对于上述函数，.
教师总结：两个函数和的和（或差）的导数法则：.
设计意图：通过利用导数的定义和求导公式求出两个函数的导数和以及两个函数的和的导数,进而得出两个函数的和与差的导数运算法则．
问题3：设，计算与，它们是否相等？与商的导数是否等于它们导数的商呢？
师生活动：学生分组讨论，每组选出一位代表回答，教师讲解、总结
知识点2： 函数积、商的求导法则
，，因此.同样地，与也不相等.
教师总结：（1）对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：
；
.
（2）由函数的乘积的导数法则可以得出，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即.
设计意图：让学生通过对导数积、商的运算法则的探讨，发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．
【巩固练习】
例1 求下列函数的导数：
（1）；（2）.
师生活动：学生完成，教师巡视，并写出规范解题过程．
预设的答案：（1）.
（2）.
设计意图：通过该题使学生学会运用导数公式和导数的和、差运算法则求函数的导数．发展学生数学运算的核心素养．
方法总结：求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
例2 求下列函数的导数：
（1）；（2）.
师生活动：学生讨论后完成，教师完善．
预设的答案：（1）.
（2）.
设计意图：通过该题使学生学会运用导数公式和导数的积、商运算法则求函数的导数．发展学生数学运算的核心素养．
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1 t水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为
.
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）；（2）.
师生活动：学生分组讨论，每组派一代表板演，教师完善解题过程．
预设的答案：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
.
（1）因为，所以，净化到纯净度为时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
（2）因为，所以，净化到纯净度为时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨.
本题实际意义：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，.它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.
设计意图：通过本题，使学生进一步理解导数的概念，体会导数在实际问题中的应用．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．
方法总结：本题是一个体现导数意义的实际问题，解题的关键是理解函数在某一点的瞬时变化率就是函数在这一点的导数，在解答本题时先要求出函数c（x）分别在x=90，80处的导数，然后再回到实际问题中，即将求导结果：“翻译”成瞬时变化率，得到实际问题的解答．
练习：教科书P78 练习1、2 、3
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．
【课堂总结】
板书设计：
5. 2.2导数的四则运算法则
新知探究 巩固练习
知识点1：函数和、差的求导法则 例1
知识点2：函数积、商的求导法则 例2
例3
2．总结概括：
导数的四则运算法则及简单运用
师生活动：学生总结，老师适当补充．
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．
3．课堂作业：教科书P81 习题5.2 1、3、4
【目标检测设计】
1.若，则( )
A.3 B.8 C. D.
设计意图：进一步巩固导数的和、差运算法则．
2.下列求导数运算正确的是( )
A. B.
C. D.
设计意图：进一步巩固导数的四则运算法则．
3.已知函数的导函数为，且满足，则( )
A. B. C. D.
设计意图：进一步巩固导数的四则运算法则，注意是常数．
4.设，且，则______.
设计意图：进一步巩固导数的四则运算法则以及方程组的解法．
参考答案：
1.B ，把代入得.故选B.
2.B ，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选B.
3.C 因为，所以，解得.故选C.
4.1 由题意知，则，得，故.