5.3.1 函数的单调性教学设计-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章　一元函数的导数及其应用
《5．3．1 函数的单调性》教学设计
第1课时
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教学目标
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1．通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养．
2．能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养．
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教学重难点
)
教学重点：理解函数的单调性与导数的正负之间的关系．
教学难点：运用导数判断函数的单调性
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课前准备
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PPT课件．
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教学过程
)
【新课导入】
问题1：阅读课本第84~87页，回答下列问题：
（1）本节将要探究哪类问题？
（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节课主要学习函数的单调性；（2）学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备．函数的单调性是函数性质中的一个重要性质，学生在必修一中已经学习了函数单调性的内容，如利用函数图象、单调性定义来研究函数的单调性，在学习导数的基础上利用导数相关知识研究函数单调性是导数的一个重要应用，也为下一节学习函数的极值打下基础，因此，本节内容具有承上启下的作用．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
问题2：在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质．在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？
设计意图：通过回顾以前的知识，提出问题，引导学生探究利用函数的求导来研究函数的性质．发展学生数学抽象、数学建模的核心素养．
问题3：如图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数的图象，图（2）是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象．，b是函数的零点．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
师生活动：学生思考，教师讲解．
设计意图：通过熟悉的问题，引导学生思考、探究，进而引入新课：利用函数的求导来研究函数的性质．发展学生数学抽象、数学建模的核心素养．
【探究新知】
知识点1：函数的单调性与导数的符号之间的关系
观察图象可以发现：
（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即单调递增．相应地，．
（2）从最高点到入水，运功员的重心处于下降状态，画水面的高度h随时间t的增加而减小，即单调递减．相应地，．
问题4：从以上观察中发现，函数的单调性与的正负有内在联系．那么，我们能否由的正负来判断函数的单调性呢？
师生活动：学生思考，教师讲解．
预设的答案：在问题3中，可以发现：
当时，，函数的图象是“上升”，函数在上单调递增；
当时，，函数的图象是“下降”，函数在上单调递减．
设计意图：通过前面的问题，进一步引导学生思考、探究导函数的正负与原函数的单调性的关系．发展学生数学抽象、数学建模的核心素养．
问题5：观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系．
师生活动：学生分组讨论，派代表回答，教师完善．
预设的答案：从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系：导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率．
设计意图：让学生结合一次函数、二次函数、三次函数和反比例函数的图象（直观），探讨函数的单调性与函数导数的正负之间的关系，进一步感受可用函数的导数的正负来判断函数的单调性．
教师讲解：如下图，导数表示函数的图象在点处的切线的斜率．
可以发现：
在处，，切线是“左下右上”的上升式，函数的图象也是上升的，函数在附近单调递增；
在处，，切线是“左上右下”的下降式，函数的图象也是下降的，函数在附近单调递减．
结论：一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：
在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；
在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减．
【想一想】
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减． (　　)
(2) 判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　)
师生活动：学生讨论后回答，教师完善．
预设的答案：　(1)√　函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，所以函数f (x)在这个区间上单调递减，故正确．
(2)√　若f ′(x)≥0(≤0)，则函数f (x)在区间内单调递增(减)，故f ′(x)＝0不影响函数单调性．
【巩固练习】
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（1）；（2）；（3）．
师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答．教师完善．
预设的答案：（1）因为，所以．
所以，函数在R上单调递增，如图（1）所示．
（2）因为，所以．
所以，函数在上单调递减，如图（2）所示．
（3）因为，所以．
所以，函数在区间和上单调递增，如图（3）所示．
设计意图：通过具体函数，体会研究导数判断函数单调性的基本原理，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．
方法总结：用解不等式法求单调区间的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导函数f （x）；
（3）解不等式f′ （x）＞0或f ′（x）＜0，并写出解集；
（4）根据（3）的结果确定函数f（x）的单调区间．
例2． 已知导函数 的下列信息，试画出函数 的图象的大致形状．
当1 < x < 4 时, >0;
当 x > 4 , 或 x < 1时, 0;
当 x = 4 , 或 x = 1时, 0．
师生活动：学生分组讨论，派代表回答，教师完善．
预设的答案：当1 < x < 4 时, ,0 可知 在此区间内单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时, 0; 可知 在此区间内单调递减;
当 x = 4 , 或 x = 1时, 0．
综上, 函数 图象的大致形状如右图所示．
设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握运用导数判断函数单调性的步骤和方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养．
方法总结：研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点：
研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素．对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
练习：教科书P87 练习1、2
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．
【课堂总结】
1．板书设计：
5．3．1 函数的单调性（第1课时）
新知探究 巩固练习
知识点1：函数的单调性与导数符号之间的关系 例1
例2
2．总结概括：
函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
f ′(x)的正负 f (x)的单调性
f ′(x)＞0 单调递增
f ′(x)＜0 单调递减
师生活动：学生总结，老师适当补充．
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．
3．课堂作业：教科书P97习题5．3 1 教科书P87 练习3
【目标检测设计】
1．导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　)
　　　　　　　　 　A　　　　 B　　　 　 C　　　　 D
设计意图：进一步巩固导函数的符号与原函数的单调性之间的关系．
2．下列函数中，在上为增函数的是( )
A． B． C． D．
设计意图：进一步巩固利用导函数的符号来判断原函数的单调性．
3．函数的单调递减区间为( )
A． B． C． D．
设计意图：进一步巩固如何利用导函数的符号来求原函数的单调区间．
4．已知函数，则的单调递增区间为_____________．
设计意图：进一步巩固函数导数的求法、复合函数的求导法则以及利用导函数的符号来求原函数的单调区间．
参考答案：
1．D　当x＞0时，f ′(x)＞0；当x＜0时，f ′(x)＜0，所以函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D．
2．B B中，在上恒成立，在上为增函数．对于选项A，C，D，都存在，使的情况．故选B．
3．C 由题可得，令，即，解得或，又因为，所以．故选C．
4． 因为，，
所以．
由可得，所以或，
即的单调递增区间为．