导数与函数零点问题专项训练
【1】．函数的零点个数为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，得，分别画出和的图象，如图所示：
当时，函数和有一个交点．当时，，
令，，，．
当，，为减函数，当，，为增函数．所以，所以在为增函数，
因为，所以，．故在无零点．
综上：函数的零点个数为．故选B.
【2】．已知函数(为自然对数的底数)，则以下结论正确的为
A．函数仅有一个零点，且在区间上单调递增；
B．函数仅有一个零点，且在上单调递减，在递增；
C．函数有二个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数；
D．函数有二个零点，且当时，取得最小值为．
【答案】D
【解析】是增函数，所以时，，递减，时，，递增，
显然，所以，又时，，所以在上也有一个零点，因此共有两个零点．故选D．
【3】．已知函数是定义域为R的奇函数，且当x<0时，函数，若关于x的函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】或，
时，，，
时，，递减，时，，递增，
所以的极小值为，又，因此无解．
此时要有两解，则，
又是奇函数，所以时，仍然无解，要有两解，则．
综上有．故选C．
【4】．（多选）已知函数（为常数），则下列结论正确的有
A．若有3个零点，则的范围为
B．时，是的极值点
C．时，的零点，且
D．时，恒成立
【答案】AC
【解析】若有3个零解，即与有三个交点，，则，则在上单调递增，在此区间内的值域为，在上单调递减，在上单调递增，在此区间内的值域为故与有三个交点，则，故A正确；
若，则，，，则在上单调递减，在上单调递增，则，故在上单调递减，故B错误；若，则，此时仅有1个零点，且，又，，则，故C正确；若，则，当时，，故D错误，故选AC．
【5】．（多选）函数在上有唯一零点，则
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】由，可得，即，
令，其中，则，
所以，函数在区间上单调递增，则，
令，其中，．
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增．所以，．
若函数在上有唯一零点，则．
所以，，由于函数在上单调递增，
，，即，，
所以，ABC选项正确，D选项错误．故选ABC．
【6】．（多选）若函数有两个零点，则实数的可能取值有
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】，该函数的定义域为，则．
当时，恒成立，函数单调递减，函数不可能有个零点；
当时，若时，，函数单调递减；
当，，函数单调递增．
故函数的最小值，其中，
令，，则．
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．所以，，所以，．
且当时，；当时，．
此时，函数有个零点．综上所述，实数的取值范围是．故选CD．
方法二：，数形结合，可得.
【7】．（多选）设函数的导函数为，则
A． B．是的极值点
C．存在零点 D．在单调递增
【答案】AD
【解析】由题可知的定义域为，
对于A，，则，故A正确；
对于B、D，，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；对于C，，故函数不存在零点，故C错误．故选AD．
【8】．函数的零点个数为_________．
【答案】
【解析】函数，，
令得或，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以，函数的极大值为，极小值为，则函数的大致图象如图所示：
由图象可知，函数有个零点．故答案为．
【9】．已知函数，则函数的极小值为_________，零点有_________个．
【答案】
【解析】，，令，可得，
如下表所示：
单调递减 极小值 极大值
所以，函数的极小值为，，则函数的零点个数等于函数与函数的图象的交点个数，如下图所示：
两个函数的图象有且只有一个交点，即函数只有一个零点．故答案为；1
【10】．已知，，则函数的零点个数为________．
【答案】3
【解析】，则，令，
当时，，，则函数在区间上单调递减，当时，，；，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，画出函数与的图象，如下图所示：
由图可知函数与的图象有三个交点，
则函数的零点个数为3个，故答案为3
【11】．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数有两个不同的零点，所以方程有两个不同的实数根，因此函数与函数有两个交点．
，
当时，单调递减，当时，单调递增，
因此当时，函数有最大值，最大值为，
显然当时，，当时，，当时，，
因此函数的图象如下图所示：
通过函数的图象和上述分析的性质可知当时，函数与函数有两个交点．故选C
【12】．已知函数有两个零点，则的取值范围
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的定义域为，，当时，，函数在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；当时，由得，由得，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值，因为趋近于时，趋近于负无穷大，趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，所以要使有两个零点，只需，因为，所以，所以．故选D．
【13】．已知只有一个零点，且这个零点为正数，则实数的取值范围为_________．
【答案】．
【解析】，．
令，得或，当变化时，、的变化情况如下表：
极大值 极小值
由于函数只有一个零点，且该零点为正数，
所以，，，化简得，
解得，因此，实数的取值范围是，故答案为．
【14】．如果两个函数存在零点，分别为，，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”．若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【解析】函数有唯一的零点2，由题意知函数的零点满足，即．因为，所以，设，则，，
当时，，是增函数；当时，，是减函数，
所以，又，，
所以实数的取值范围为．故答案为．
【15】．设函数，．
（1）求的单调区间和极值；
（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．
【解析】（1）由得．
由解得．与在区间上的情况如下：
↘ 极小值 ↗
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；
在处取得极小值，无极大值．
（2）由（1）知，在区间上的最小值为．
因为存在零点，所以，从而．
当时，在区间上单调递减，且，
所以是在区间上的唯一零点．
当时，在区间上单调递减，且， ，
所以在区间上仅有一个零点．
【16】．已知．若有2个不同零点，求的取值范围．
【解析】，当时，，只有个零点；
当时，，，，为减函数，，，为增函数，而，所以当，，使，当时，所以 所以，
所以 ，
取，所以 ，所以函数有个零点，
当时，，令得，
①，即时，当变化时 ，变化情况是
所以，所以函数至多有一个零点，不符合题意；
②时，，在单调递增，所以至多有一个零点，不合题意，③当时，即以时，当变化时，的变化情况是
所以，时，，，所以函数至多有个零点，综上：的取值范围是．导数与函数零点专项训练
【1】．函数的零点个数为
A． B． C． D．
【2】．已知函数(为自然对数的底数)，则以下结论正确的为
A．函数仅有一个零点，且在区间上单调递增；
B．函数仅有一个零点，且在上单调递减，在递增；
C．函数有二个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数；
D．函数有二个零点，且当时，取得最小值为．
【3】．已知函数是定义域为R的奇函数，且当x<0时，函数，若关于x的函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为
A． B．
C． D．
【4】．（多选）已知函数（为常数），则下列结论正确的有
A．若有3个零点，则的范围为 B．时，是的极值点
C．时，的零点，且 D．时，恒成立
【5】．（多选）函数在上有唯一零点，则
A． B． C． D．
【6】．（多选）若函数有两个零点，则实数的可能取值有
A． B． C． D．
【7】．（多选）设函数的导函数为，则
A． B．是的极值点 C．存在零点 D．在单调递增
【8】．函数的零点个数为_________．
【9】．已知函数，则函数的极小值为_________，零点有_________个．
【10】．已知，，则函数的零点个数为________．
【11】．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是．
A． B． C． D．
【12】．已知函数有两个零点，则的取值范围
A． B． C． D．
【13】．已知只有一个零点，且这个零点为正数，则实数的取值范围为_________．
【14】．如果两个函数存在零点，分别为，，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”．若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为_________．
【15】．设函数，．
（1）求的单调区间和极值；
（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．
【16】．已知．若有2个不同零点，求的取值范围．
