极值与最值参数问题专项训练
【1】．已知是函数的极小值点，则函数的极小值为
A． B． C． D．4
【2】．若是函数的极值点，则方程在的不同实根个数为
A． B． C． D．
【3】．已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【4】．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【5】．若函数存在两个极值点，，则的取值范围是
A． B． C． D．
【6】．已知函数在处取得极小值，则在的最大值为
A． B． C． D．
【7】．设函数，若函数存在最大值，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
【8】．若函数在上有极值点，则的取值范围为__________．
【9】．已知函数在区间上存在极大值与极小值，则实数的取值范围是__________．
【10】．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是__________．
【11】．函数在处取得极值10，则__________．
【12】．已知，若有最值，则的取值范围为__________；若当时，，则的取值范围为__________．
【13】．设函数（）．
（1）若，在处的切线在坐标轴上的截距之和为，求的范围；
（2）讨论函数的极值情况，并求出当函数的极大值为0时实数的值．
【14】．已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若有2个极值点，求实数a的取值范围．
【15】．已知函数在处取得极值7．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最大值
【16】．已知函数
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）若函数有两个极值点x1，x2，证明：．极值与最值参数问题专项训练
【1】．已知是函数的极小值点，则函数的极小值为
A． B．
C． D．4
【答案】B
【解析】由题意，函数，可得，
因为是函数的极小值点，
则，即，解得，可得，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当是函数的极小值点，
所以函数的极小值为．故选B．
【2】．若是函数的极值点，则方程在的不同实根个数为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，则，，
函数在，单调递增，
，函数与的交点个数为个．故选A.
【3】．已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，由题意在上有解，即在上有解，记，，当时，，单调递增，，，所以．故选D．
【4】．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数有两个不同的极值点，所以有个变号零点，即有两个不等的实根，因为时显然不成立，所以，
可得，令，则与图象有两个不同的交点即可．
则，所以在和单调递减，在单调递增，故的图象如图所示：
当时，，由图知当时两个函数图象有个不同的交点，
可得原函数有两个极值点．所以实数的取值范围是，故选C
【5】．若函数存在两个极值点，，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，则
因为函数存在两个极值点，，所以，即 ，
，
，
设，则，
当时，，则在上单调递减．
所以，所以的取值范围是，故选B.
【6】．已知函数在处取得极小值，则在的最大值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，则，
由题意可得，解得，则，
，令，可得或，列表如下：
极大值 极小值
所以，函数的极大值为，极小值为，
又，，
，则，
所以，．故选B．
【7】．设函数，若函数存在最大值，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】显然时，无最大值，
时，存在最大值，，
当时，，递增，当时，，递减，
所以时，取得极大值也是最大值．，
因此要有最大值，必须满足，所以．故选C．
【8】．若函数在上有极值点，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
因为函数在上有极值点，
所以在上有零点，
因为在上都递减，所以在上为减函数，
所以，解得．故答案为．
【9】．已知函数在区间上存在极大值与极小值，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，则，
令，可得，，列表如下：
极大值 极小值
所以，函数的极大值点为，极小值点为，
由于函数在区间上存在极大值与极小值，
所以，，解得．因此，实数的取值范围是．
【名师点睛】已知极值点求参数的值，先计算，求得的值，再验证极值点．由于导数为的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．
【10】．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题可知
所以函数在单调递减，在单调递增，故函数的极大值为 ．所以在开区间内的最大值一定是又，
所以 得实数的取值范围是故答案为
【11】．函数在处取得极值10，则__________．
【答案】
【解析】由题意，函数，可得，
因为在处取得极值10，可得，
解得或，
检验知，当时，可得，
此时函数单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）；
当时，可得，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，函数取得极小值，符合题意．所以．故答案为．
【12】．已知，若有最值，则的取值范围为__________；若当时，，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】函数的定义域为，，因为有最值，所以存在使得，所以；因为，，所以，因为，所以成立，令，则，在上恒成立，所以函数在上单调递增，
所以，所以．故答案为；.
【13】．设函数（）．
（1）若，在处的切线在坐标轴上的截距之和为，求的范围；
（2）讨论函数的极值情况，并求出当函数的极大值为0时实数的值．
【解析】（1）因为，显然，所以，
所以，，
所以在处的切线方程为．
因为，所以．
在切线方程中，令，得；
令，得．所以，
因为函数在上单调递增，所以，
所以的范围为．
（2）因为，所以．
①当时，，，．
所以的单调递减区间为，无单调递增区间，所以无极大值，无极小值；
②当时，令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
此时有极大值，无极小值，
令，得，；
③当时，令，则，令，则，
此时有极大值，无极小值，
令，得，．
综上，当时，函数无极大值，无极小值；当时，有极大值，无极小值；当时，有极大值，无极小值．
当函数的极大值为0时，或．
【14】．已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若有2个极值点，求实数a的取值范围．
【解析】（1）依题意得，，，，，
则切线方程为；
（2）有2个极值点，则有2个零点（且左右异号），则在上有2解，
令，，则，
又在上单调递增，，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，
故最小值为，则．
【15】．已知函数在处取得极值7．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最大值
【解析】（1）因为，所以，
又函数在处取得极值7，
，解得；所以，
由得或；由得；满足题意；
（2）又，
由（1）得在上单调递增，在上单调递减，
因此．
【16】．已知函数
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）若函数有两个极值点x1，x2，证明：．
【解析】（1），．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
当时，有极大值，．
当时，，在上单调递减，此时无极值；
当时，．
，
，，设
则，当时，
所以在上单调递减，所以
所以当时，
故存在，满足，．
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，单调递减．
在处有极小值，在处有极大值．
综上所述，当时，没有极值点；当时，有2个极值点．
（2）由（1）可知当且仅当时有极小值和极大值，．
先证明，要证明，只需证．
由，则，，
因为在单调递减，只需证．
因为，只需证，即证．
令，．
因为，，
所以在上单调递增，．
所以，所以
因为在单调递减，因此，．
因为，，所以．
因为时，单调递增，所以，
所以．
再证：．
设，因为，
所以，
所以，故在上单调递增．
又，所以时，，在上单调递减．
所以时，．
所以．
