信阳市高中2022-2023学年高二下学期开学考试
数学试题
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合, 则集合中元素的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2. 已知数列是等比数列, 函数的零点分别是, 则
A. 2
B.
C.
D.
3. 设直线, 平面, 则下列条件能推出的是
A. , 且
C. , 且
B. , 且
D. , 且
4. 已知定义在上的函数, 其导函数的大致图象如图所示, 则下列叙述正确的是
A.
C.
B.
D.
5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”, 1852 年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年, 英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出 的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理讲的是一个关于整除的问题, 现有这样一个整除问题: 将正整数中能被3除余1且被7除余4的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列, 则
A. 103
B. 105
C. 107
D. 109
6. 已知函数，若存在2个零点，则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
7. 在平面直角坐标系中, 记为点到直线的距离. 当变化时，的最大值为( )
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
8. 已知为自然对数的底数, 定义在上的函数满足, 其中为的导函数, 若, 则的解集为
A.
B.
C.
D.
二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求的, 全部选对的得 5 分, 部分选择的得 2 分, 有选错的得 0 分.
9. 已知曲线
A. 若, 则是椭圆, 其焦点在轴上
B. 若, 则是椭圆, 其焦点在轴上
C. 若, 则是圆, 其半径为
D. 若, 则是两条直线
10. 数列的前项和为, 则有
A.
C.
B. 为等比数列
D.
11. 如图, 已知正方体的棱长为分别为的 中点, 点在上,平面, 则以下说法正确的是
A. 点为的中点
B. 三棱雉的体积为
C. 直线与平面所成的角的正弦值为
D. 过点作正方体的截面, 所得截面的面积是
12. 已知为双曲线上一点，，令,，下列为定值的是
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、记为等差数列的前项和, 若. 则 .
14. 已知为坐标原点, 抛物线的焦点为为上一点，与轴垂直，为轴上一点, 且, 若, 则的曲线方程为 .
15. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为： .
16. 已知, 设是关于的方程的实数根, 记,. (符号表示不超过的最大整数). 则 .
四, 解答題：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (10 分) 设是公比不为1的等比数列，为的等差中项.
(1) 求的公比；
(2) 若, 求数列的前项和.
18. (12 分) 已知抛物线的焦点抛物线上一点横坐标为3，且点到焦点的距离为 4 .
(1) 求抛物线的方程；
(2) 过点作直线交抛物线于点, 求面积的最小值(其中为坐标原点；
19. (12 分) 已知函数.
（1）若，求在处切线方程;
（2）若函数在处取得极值, 求的单调区间, 以及最大值和最小值.
20. (12 分) 如图, 在三棱雉中, 平面平面,为的中点.
(1) 证明：
(2) 若是边长为1的等边三角形, 点在棱上, , 且二面角的大小为, 求三棱锥的体积.
21. (12 分) 已知椭圆为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点, 且, 设直线, 过点的直线交椭圆于两 点, 线段的垂直平分线分别交直线、直线于两点.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）当最小时, 求直线的方程.
22. (12 分) 已知函数
(1) 讨论的单调区间；
(2) 若，正实数满足，证明：.信阳市高中2022-2023学年高二下学期开学考试
数学答案
一、单选题
1-8 C D B C D C A B
二、多选题
9. AD 10. ABD 11. ABC 12. AC
三、填空题
13. 100 14. 15. 16. 1011.5
8.解答: 令,
则,
所以,在上是减函数.
则不等式, 等价于, 即, 则.
10、依题意, 当时，,
当时, , 所以.
所以, 所以.
当时,; 当时,符合上式, 所以，, 所以数列是首项为 1 , 公比为 3 的等比数列：
所以ABD选项正确,C选项错误. 故选：ABD.
11、 A选项, 设, 则, 因为平面, 所以, 即, 解得：
故,
故,
所以, 则点P为的中点,A正确；
设P点到平面的距离为d, 则,
又.
即,
由余弦定理得:,
故, 则,
由三角形面积公式可得:,
故三棱锥的体积为, B 正确,
, 设直线与平面所成的角为, 则
,
故直线与平面所成角的正弦值为正确；取的中点的中点的中点, 连接, 则过点作正方体的截面, 截面为正六边形, 边长为, 正六边形的面积为则截面面积为错误.故选:ABC
12、【答案】 AC【解析】
【分析】设第二象限点, 由题设得且,，进而可判断各选项是否为定值.
【详解】不妨设在第二象限, 可得, 即, 而,为定值, A 正确；
由倍角正切公式及,，可得，，
∴不为定值,B排除；
, 而, 故为定值，C 正确；
由 C 知:不为定值, D排除；故选:AC.
16. 解答：令, 则,
于是方程化为.
记, 则在上为增函数,
且，
则.则.
又，则.
17、解析：（1）设的公比为，由题设得，即
因为, 故, 解得或 (舍).
所以. 故的公比为-2.
(2) 此时, 记数列的前项和为
①
②
-②得:
∴
18. 解: (1) 由题意知, 所以.
(2) 由 (1) 知, 抛物线, 直线过, 可设直线的方程为, 设, 不妨设
∴
当且仅当，即时取等号.∴面基最小值为
19、(1) 当时, ,
故在处切线方程为, 整理得；
(2) 因为, 则,
若函数在处取得极值, 令, 即, 解得,
经检验, 当时, 为函数 $f(x)$ 的极大值, 符合题意
此时, , 函数定义域为,
令, 解得,
随的变化趙势如下表：
-1 4
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
故函数的单调递增区间为和, 单调递增区间为
极大值为, 极小值为.
又因为时, 学时, ,
故可判断函数的最大值为, 最小值为.
20、【答案】
(1)为中点, ,
∵面,面面，且面面,
∴面，
∴.
(2) 以为坐标原点,为轴, 为轴, 垂直且过的直线为轴,
设,
∵
设为面法向量,
∴，∴
令, ∴, ∴，
面法向量为,
解得，
∴，
∴.
21、解: (1) 设椭圆的左焦点,
则, 解得,
所以,
则由椭圆定义
故椭圆的标准方程为
(2) 由题意直线的斜率必定不为零, 于是可设直线,
联立方程得,
∴直线交椭圆于
由韦达定理
则
∴
又
∴
此时直线的方程为或
22. 解：（1）
所以分
当时, 因为, 所以, 即在单调递增.
当时, , 令, 得,
所以当时，单调递增，
综上,
当时, 函数单调递增区间为, 无递减区间；
当时, 函数单调递增区间为, 单调递减区间为
(2) 当时, , 由可得
, 即
令, 则,
则在区间上单调递减, 在区间上单调递增, 所以,
所以, 又由可知,
故.
