广西壮族自治区梧州市藤县第六中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

藤县第六中学2022-2023学年高二下学期开学考试
数学
时间15：00-17:00 总分150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
弧度的角终边在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
设为虚数单位，若复数是实数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
若，则的值为( )
A. B. C. D.
在中，若，则( )
A. B. C. D.
设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
已知函数一个周期的图象如图所示，则该函数可以是( )
B.
C. D.
已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
已知向量，，和实数，下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若且，则当时，一定有与共线
C. 若
D. 若且，则
以下选项中，能使成立的条件有( )
A. B. 或
C. D. 与都是单位向量
已知函数，则下列直线中是图象的对称轴的有( )
A. B. C. D.
设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
复数，其中是虚数单位，则______．
若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为 ．
已知的三个顶点是，，，则的面积为______．
已知向量，其中，且，则向量与的夹角为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题满分分
已知向量，．
求与的坐标；
求向量，的夹角的余弦值．
本小题满分分
的内角，，所对边分别为，，，已知．
求；
若，，求的面积．
本小题满分分
在中，角，，所对的边为，，，且．
求角的大小；
设向量，，试求的最小值．
本小题满分分
在三棱锥中，已知二面角的大小为，为等边三角形，且，为的中点．
求证：；
求三棱锥的体积．
本小题满分分
已知函数的最小正周期为．
求的值；
将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标也扩大为原来的倍，得到函数的图象，求在区间上的值域．
本小题满分分
如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，是的中点．
求证：；
求证：平面平面；
若是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点，使得平面？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，所以弧度的角终边在第二象限．
故选：．
判断角的范围，即可得到结果．
本题考查象限角的表示，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为是实数，
所以，
所以．
故选：．
先对复数结合的四则运算进行化简，然后结合复数的概念可求．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的概念，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
所以位于第四象限．
故选：．
由已知先求出，，即可判断点所在的象限．
本题主要考查了三角函数值符号的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
则．
故选：．
由已知利用诱导公式即可计算求解．
本题考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：在中，，
由正弦定理得，，即，
解得：．
故选：．
由已知结合正弦定理即可直接求解．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于，因，，当时，因为，所以；
当时，如图所示，在直线上取点，过作直线，则，过直线，的平面，
由，得，所以，
又，所以，而，所以，即A正确；
对于，若，，则，
又，则存在过直线的平面，使得，
所以，所以，所以，即B正确；
对于，如图，在长方体中，取平面为平面，直线为直线，平面为平面，直线为直线，满足，，，而，即C错误；
对于，若，，则，
又，所以，即D正确．
故选：．
利用线面垂直的判定定理与性质定理、面面垂直的判定定理可判断，；举例说明判断；利用线面垂直的判定定理与性质定理可判断．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，熟练掌握线与面平行或垂直的判定定理，性质定理是解题的关键，考查空间立体感，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由图象知，函数的周期，得，
此时，
由五点对应法得，得，
则，
故选：．
根据条件求出，和的值即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出，和的值是解决本题的关键，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为向量，，
所以在上的投影向量为，
故选：．
根据投影向量的定义计算即可．
本题考查了投影向量的定义与计算问题，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项，若，则，错，
对于选项，根据共线定理，若且，则当且仅当有唯一实数，使得时，一定有与共线，
对于选项，由等式结合数量积定义可得，的夹角为或，故，
对于选项，数量积运算不等同于数乘运算，等式两边不能同时约分．错．
故选：．
利用平面向量共线定理、运算性质可排除向量的数量积运算以及两向量垂直可排除．
本题考查了平面向量的共线定理，以及数乘运算，属于简单题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项，模长相等，而向量平行是指方向相同或相反，故A错，
对于选项，或，说明与至少有一个为零向量，而零向量与任意向量都平行．故B正确，
对于选项，不论是否为零向量都成立，C正确，
对于选项，与都是单位向量，但方向不确定，故D错，
故选：．
利用平面向量知识逐项判断平行与方向和模长的关系．
本题考查了平面向量平行的相关知识，属于简单题．
11.【答案】
【解析】解：函数，
令，，求得，，
故函数的图象的对称轴方程为，．
取，，，求得图象的对称轴方程为，，，
故选：．
由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称轴，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的图象的对称轴，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，
对于，若，则存在过直线的平面，使得，，
，，，故A正确；
对于，，，由线面垂直的性质得，故B正确；
对于，，，则由线面垂直的性质得，故C正确；
对于，当，，，且时，满足，，
若，，则与相交或平行，故D错误．
故选：．
利用线面平行的性质、线面垂直的性质判断，，，举例说明判断．
本题考查命题真假的判断，考查线面平行、线面垂直、面面平行的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
本题考查复数模的求法，是基础题．直接利用复数模的公式计算即可．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了扇形面积公式，属于基础题．
根据扇形面积公式进行计算．
【解答】
解：因为，
所以扇形面积公式．
故答案为．

15.【答案】
【解析】解：根据题意，，，，则，
，则直线的方程为，即，
点到直线的距离，
故的面积；
故答案为：．
根据题意，利用两点间的距离公式求得的长度，然后根据，的坐标求得直线的方程，进而利用点到直线的求得到直线的距离，即三角形的高，最后利用面积公式求得答案．
本题考查直线的一般方程和点到直线的距离，涉及三角形面积的计算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，，
，，
，，
，
故答案为：．
利用平面向量的数量积运算和向量夹角公式求解即可．
本题考查平面向量的数量积运算，考查向量夹角公式，属于基础题．
17.【答案】解：向量，，
，．
向量，，
，，，
，．
【解析】利用平面向量的线性运算求解即可．
利用平面向量的数量积运算，向量夹角公式求解即可．
本题考查平面向量的数量积运算和线性运算，考查向量夹角公式，属于基础题．
18.【答案】解：因为，
根据正弦定理得，
又，从而，
由于，所以．
根据余弦定理，
而，，，
代入整理得，解得或舍去．
故的面积为．
【解析】利用已知条件，结合正弦定理转化求解即可．
利用余弦定理求出，然后通过三角形的面积公式求解即可．
本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．
19.【答案】解：根据正弦定理，，，，代入．
得：，
，
，
，
；
，
，
，
，，
当时，取最小值．
【解析】根据正弦定理便可由得，，从而得出，这便得出；
先得出，从而得出，计算可求的最小值．
考查正弦定理，以及两角和差的正余弦公式，二倍角的余弦公式，三角形的内角和为．
20.【答案】证明：，是中点，
，
又是等边三角形，是中点，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
．
由得，，
又二面角的大小为，
，
又，，为等边三角形，
，，，
，
，
，
．
【解析】根据，是中点，得到，再由是等边三角形，是中点，得到，然后利用线面垂直的判定定理证明；
由得到，再由求解．
本题主要考查空间中的垂直关系，锥体体积的计算等知识，属于基础题．
21.【答案】解：函数；
由于函数的最小正值周期为，
所以；
由得函数的关系式为；将函数的图象向右平移个单位长度，得到，再将图象上所有点的纵坐标也扩大为原来的倍，得到函数的图象，
由于，
所以．
故函数的最小值为，函数的最大值为．
故函数的值域为
【解析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的最小正周期求出的值；
利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值域．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
22.【答案】解：证明：平面，平面，平面平面，
所以．
证明：因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
当为中点时，平面．
证明：取的中点，连接，，，分别为，的中点，所以，平面，平面，所以平面，
又因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，，所以平面平面，又因为平面，所以平面．
线段上存在点，使得平面．
【解析】由线面平行的性质定理即可证明．
由面面垂直的性质定理证得平面，又因为平面，所以平面平面．
取的中点，连接，，由线面平行的判定定理证明平面，平面，所以平面平面，再由面面平行的性质定理可证得平面．
本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行的判断和性质的应用，属于基础题．