2023年2月份第2周 数学好题推荐（含解析）

2023年2月份第2周 数学好题推荐
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、设集合,则( )
A. B. C. D.
2、复数的虚部是( ).
A.i B. C. D.1
3、给出三个数，，，则它们的大小顺序为( )
A. B. C. D.
4、设a为实数，函数的导函数是，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5、已知非零向量a，b满足，且，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
6、已知为锐角,且，则( )
A. B. C. D.
7、若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的取值集合为( )
A. B. C. D.
8、已知抛物线的焦点为F，准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
9、已知递增等比数列的前n项和为，，，，，则( )
A.4 B.5 C.6 D.7
10、下列说法中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.平行向量不一定是共线向量
C.对于任意向量，必有
D.若满足且与同向，则
11、如图，点N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A.，且直线BM，EN是相交直线
B.，且直线BM，EN是相交直线
C.，且直线BM，EN是异面直线
D.，且直线BM，EN是异面直线
12、设函数，a，b均为正整数，若的极小值点为2，则的极大值点为( ).
A.1 B.3 C.1或3 D.不确定
13、已知函数，既有最小值也有最大值，则实数t的取值范围是( )
A. B. C.或 D.
14、设，，且，则当取最小值时，( )
A.12 B.8 C.16 D.
15、在中，,.若使绕BC所在直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
16、如图，四棱锥的底面ABCD是边长为正方形，底面ABCD，，E、F分别为PD、AB的中点，过C、E、F的平面与PA交于点G，则( )
A．
B．
C．以P为球心，2为半径的球面与底面的交线长为
D．四棱锥外接球体积为
17、在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则角B的值为( )
A. B. C. D.
18、已知函数,下列说法正确的是( )
A.函数为偶函数
B.若,其中,则
C.函数在上单调递增
D.若,则
19、如图，已知在正方体中，E为AB的中点，点F是侧面(含边界)上的一个动点，则下列叙述正确的有( )
A.当F是的中点时，
B.存在点F，使得平面平面ABCD
C.若动点F到直线的距离与到直线DC的距离相等，则其轨迹为一支双曲线
D.在平面内，总有无数条直线平行于平面
20、已知直线和点，过点A作直线与直线相交于点B，且，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
三、填空题
21、若，则的值为________.
22、过氧化氢（）是一种重要的化学品，工业用途广泛，通过催化和直接合成目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.在自然界中，已知氧的同位素有17种，氢的同位素有3种，现有由，及，，五种原子中的几种构成的过氧化氢分子，则分子种数最多为______________.
23、圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为_____.
24、设点，，若直线AB关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________.
25、双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的焦距为__________.
四、解答题
26、已知的内角所对的边分别为满足.
(1)求角B的大小;
(2)若,设的面积为S,满足,求b的值.
27、设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，.
（1）求C的方程；
（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为，.当取得最大值时，求直线AB的方程.
28、垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第i个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得，.
（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求y关于x的线性回归方程；
（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限统计表：
1年 2年 3年 4年 总计
甲款 5 20 15 10 50
乙款 15 20 10 5 50
根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年)，以频率估计概率，该县城选择购买一台哪款垃圾处理机器更划算
参考公式：相关系数，
对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.
29、在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.
已知等差数列的公差为，等差数列的公差为2d.设，分别是数列，的前n项和，且，，_________.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
30、已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）设，证明：.
参考答案
1、答案：B
解析：解不等式得.又,则集合.又,即,所以,集合,得,故选B.
2、答案：D
解析：，即复数的虚部是1，故选D.
3、答案：D
解析：，，，所以.
4、答案：A
解析：因为，所以，
又是偶函数，所以，即，
所以，则，
所以曲线在原点处的切线方程为.
5、答案：B
解析：设向量a与b的夹角为，则由，得，所以，所以.故选B.
6、答案：A
解析：因为为锐角，所以.
由可得，
则，又，
故，故选A.
7、答案：C
解析：由题意可得对任意恒成立，
由，，可得，
当且仅当即时，取得等号，则，解得.
故选：C.
8、答案：D
解析：如图，由题意可知抛物线的焦点为，准线方程为，
，，又点A在直线上，
，，
双曲线的离心率.故选D.
9、答案：C
解析：设等比数列的公比为q，因为且递增，所以，
因为，，所以，所以，
所以，所以，所以，
故选C.
10、答案：C
解析：对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若同向共线，，若反向共线，，若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知.
综上可知对于任意向量，必有，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.故选C.
11、答案：B
解析：如图，连接BD，BE.为正方形ABCD的中心，.又是ED的中点，.
，平面BED.
由图知BM与EN相交.
设，则，.
在中，由中线定理得，
.又，.故选B.
12、答案：B
解析：对求导得，
令，得，则该方程必有一根为2，代入，有，解得，则.
因为2是的极小值点，且，所以为方程的较小根，从而，故.
又a为正整数，所以.故的极大值点为3.
13、答案：C
解析：因为,所以.
因为，既有最小值也有最大值，
则或，即或.
14、答案：A
解析：，，当取最小值时，取最小值，
，，
，
，
，当且仅当即时取等号，
，，
.
故选：A
15、答案：D
解析：如图所示，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以.
所以旋转体的体积.故选D.
16、答案：AC
解析：对于选项A，延长CF交DA延长线于点H，
连接EH交PA于点G，取AD中点M，
连接EM，所以，，
，，所以选项A对；
对于选项B，因为F是HC中点，G是EH靠近点E的三等分点，所以选项B错；
对于选项C，P为球心，2为半径，，平面ABCD，A为截面圆心，交线是半径为1的圆的，交线长为，所以选项C正确.
对于选项D，是正方体的一部分，体对角线长为3，体积为，所以选项D错.
综上选AC.
17、答案：BD
解析：根据余弦定理可知,代入，可得，即.因为，所以或.故选BD.
18、答案：ABD
解析：对于A,,所以函数为偶函数,故A正确;
对于B,若,其中,则,即,得,故B正确;
对于C,函数,由,解得,所以函数的定义域为,因此在上不具有单调性,故C错误;
对于D,因为,所以,所以,故,故D正确.故选ABD.
19、答案：AD
解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则.
对于A，当点F是的中点时，，
由，知，A正确.
对于B，设，则.
设平面的法向量为，
则即
令，则，所以.
易知平面ABCD的一个法向量为，
因为，所以不存在点F，使得平面平面ABCD，B错误.
对于C，平面，所以，所以动点F到直线的距离等于.
在平面内，动点F到点的距离与到直线DC的距离相等，故其轨迹为抛物线，C错误.
对于D，点F在平面(含边界)上运动，平面与平面总相交，交线为过的一条直线l，而在平面内，总可以作无数条平行于l的直线，所以这些直线都平行于平面，D正确.
故选AD.
20、答案：AC
解析：设点，则，解得或，则或，则直线的方程为或.故选AC.
21、答案：1
解析：当时,,当时,,所以.
22、答案：18
解析：过氧化氢分子中有2个氧原子和2个氢原子，共4个原子.构成过氧化氢分子的氧原子可以从2种不同的氧原子中选出1种或2种，取法共有（种）；构成过氧化氢分子的氢原子可以从3种不同的氢原子中选出1种或2种，取法共有（种）.因此构成的过氧化氢分子的种数最多为.
23、答案：
解析：圆与圆联立可得：
公共弦的方程为，
变形为，
故的圆心为，半径为，
而满足，故弦AB的长为圆的直径，
故弦AB的长为.
故答案为：.
24、答案：
解析：解法一由题意知点关于直线的对称点为，所以，所以直线的方程为，即.由题意知直线与圆有公共点，易知圆心为，半径为1，所以，整理得，解得，所以实数a的取值范是.
解法二易知关于y轴对称的圆的方程为，由题意知该对称圆与直线AB有公共点.直线AB的方程为，即，又对称圆的圆心为，半径为1，所以，整理得，解得，所以实数a的取值范围是.
解法三易知关于y轴对称的圆的方程为，由题意知该对称圆与直线AB有公共点.设直线AB的方程为，即，因为对称圆的圆心为，半径为1，所以，解得，又，所以，解得，所以实数a的取值范围是.
25、答案：
解析：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为，又由该双曲线的一条渐近线方程为，即，则有，则；所以.
26、答案：(1)
(2)
解析：本题考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式、三角形面积公式、正弦定理.
(1)由,得,
根据正弦定理,得.
因为,
所以,
所以.
因为,所以,所以,则.
(2)由,得.
又由正弦定理得,
所以,解得.
27、答案：（1）C的方程为；
（2）
解析：（1）当轴时，有，得，
所以抛物线C的方程为.
（2）如图，根据（1）知，.
当轴时，易得，此时.
当MN的斜率存在时，设，，，，
则直线MN的方程为，
即，
即，
所以直线MN的方程为.
同理可得，直线AM的方程为，直线BN的方程为，直线AB的方程为.
因为在MN上，所以.
因为在AM，BN上，所以，，
所以，.
所以，，
所以直线AB的方程可化为，
所以，，
所以.
当时，，所以不符合题意.
当时，，，
当且仅当，，即时取等号，
此时取得最大值，直线AB的方程为.
28、答案：（1）
(2)
(3) 甲款
解析：（1）由题意知相关系数，
因为y与x的相关系数接近1，所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.
（2），
，
所以.
（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X（单位：万元）的分布列为：
X -50 0 50 100
P 0.1 0.4 0.3 0.2
（万元）.
购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y（单位：万元）的分布列为：
Y -30 20 70 120
P 0.3 0.4 0.2 0.1
（万元）.
因为，所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.
29、答案：答案一 选择条件①.
（1）数列，都是等差数列，且，，，
，解得，
，
.
综上，，.
（2）由（1）得，
.
答案二 选择条件②.
（1）数列，都是等差数列，且，，，
，，
，
.
综上，，.
（2）同答案一中的（2）.
答案三 选择条件③.
（1）数列，都是等差数列，且，，.
，解得，
，
.
综上，，.
（2）同答案一中的（2）.
解析：
30、答案：（1）的减区间为，增区间为
（2）
（3）证明见解析
解析：解：（1）当时，，，
当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减.
（2），
①当时，
在上单调递增，，与题意矛盾.
②当时，.
在上单调递减，，满足题意.
③当时，，
设，则，
在上单调递减，
，，在上单调递减，
，满足题意.
④当时，，
令，则，
，易知为减函数，又，时，，
，使，且当时，
，在上单调递增，此时，
当时，，在上单调递增，
，与题意矛盾.
综上，实数a的取值范围为.
（3）解法一先证不等式成立.
不等式成立（其申），
构造函数，则.
当时，，所以函数在上单调递减，，从而不等式成立.
令，，则有，
整理可得，，
故，
即成立.
解法二用数学归纳法证明.
当时，左边成立.
假设当时，不等式成立，即，
则当时，欲证原不等式成立，即证成立.
以下证明此式成立，
因为，所以欲证，
需证，
即需证成立，
令，则，则需证，
令，即需证，.
构造函数，，
则.
当时，，所以函数在上单调递减，
故，从而不等式成立上，
综上，不等式成立.