9.5 多项式的因式分解
一、教学目标
1.理解因式分解的概念.
2.掌握从单项式乘多项式的乘法法则得出提公因式法分解因式的方法.
3.培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力.
4.培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法.
5.培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好学习习惯.
6.体会事物之间互相转化的辩证思想，从而初步接受对立统一的观点.
二、教学重点和难点
学习重点：因式分解的概念，用提公因式法分解因式.
学习难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用单项式乘多项式的逆向变形来解决因式分解的问题.
三、教具、学具
硬纸板、投影仪、条件好的可使用ppt展示.
四、教学过程
（一）设置情境
情境1：手工课上，老师给同学们发下一张如左图形状的纸张，要求在不浪费纸张的前提下，剪拼成右图形状的长方形，请问你能解决这个问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )吗？你能给出数学解释吗？
说明：留一定的时间让学生思考、讨论，在学生感到新奇又不知所措的过程中积蓄了强烈的求知欲望，这样设置悬念，无疑为课堂内容的学习创设了良好的情绪和氛围.
（学生通过交流，会想到水平和竖直两种不同方向的剪拼方法，包括其它方法，都应受到老师的鼓励和肯定）
思考：（1）怎样表示左图和右图的面积？你认为这两个图形的面积相等吗？
（2）你是怎样想到这种简拼方法的 请解释你的做法.
情境2：求999＋9992的值
说明：学生对这样的问题有兴趣，能迅速找出一些不同的速算方法，很快想出乘法分配律的逆向变形，设置这样的情境，由数推广到式，效率较高.
情境3：观察分析
把单项式乘多项式的乘法法则
a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad ①
反过来，就得到
ab＋ac＋ad =a（b＋c＋d） ②
这个式子的左边是多项式ab＋ac＋ad，右边是a与（b＋c＋d）的乘积.
思考（1）你是怎样认识①式和②式之间的关系的？
（2）能用②式来计算375×2.8＋375×4.9＋375×2.3 吗？
（3）②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗？你能说出这个因式吗？
（二）认识公因式
1、概念1. 多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式（common factor）.
2、观察分析
①多项式a2b＋ab2的公因式是ab，……公因式是字母；
②多项式3x2－3y的公因式是3，……公因式是数字系数；
③多项式3x2－6x3的公因式是3x2，……公因式是数学系数与字母的乘积.
分析并猜想
确定一个多项式的公因式时，要从 和 两方面，分别进行考虑.
（1）如何确定公因式的数字系数？
（2）如何确定公因式的字母？字母的指数怎么定？
说明：教师不要直接给出找多项式公因式的方法和解释，而是鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和经验，并能通过相互间的交流来纠正解题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中的常见错误.
练习：写出下列多项式各项的公因式
（1）8x－16 （2）a2x2y－axy2
（3）4x2－2x （4）6a2b－4a3b3－2ab
概念2 把一个多项式写成几个整式积的形式的叫做多项式的因式分解（factorization factoring）.
说明：因式分解的概念和意义需要学生多层次的感受，教师不要期望一次透彻的讲解和分析就能让学生完全掌握.这时先让学生进行初步的感受，再通过不同形式的练习增强对概念的理解.
练习（课本）
1、下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？
（1）ab＋ac＋d=a（b＋c）＋d；
（2）a2－1=（a＋1）（a－1）
（3）（a＋1）（a－1）=a2－1
2、你能另外举2个因式分解变形的例子吗？
说明：学生自己举例，再小组讨论交流，充分暴露学生在概念认识上的误区.分歧较大的问题如x－1=x（1－1/x）等再全班交流，有助于学生正确、深刻地理解因式分解的概念，准确区分整式乘法和因式分解是两种互逆的变形.
（三）例题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )讨论
例1：把下列各式分解因式
（1）6a3b－9a2b2c （2）－2m3＋8m2－12m
解：（1）6a3b－9a2b2c
=3a2b·2a－3a2b·3bc……（找公因式，把各项分成公因式与一个单项式的乘积的形式）
=3a2b（2a－3bc）……（提取公因式）
（2）－2m3＋8m2－12m
=－（2m·m2－2m·4m＋2m·6）（首项符号为负，先将多项式放在带负号的括号内）
=－2m（m2－4m＋6）（提取公因式）
说明：鼓励学生自己动手找公因式，教师可提出以下问题供学生思考，并作为题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )后小结.
（1）用提公因式法分解因式后，括号里的多项式有没有公因式
（2）用提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相比，有没有什么变化？
（3）你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系？从中你得到什么启发？
采取小组讨论、交流，再全班交流，教师最后用精炼、准确的语言作总结，有助于学生深刻的理解所学知识，并能认识到知识间的相互联系，形成知识的迁移，降低了本节课的难点.设计第（3）问的目的是让学生认识到可以用单项式乘多项式法则验证因式分解的正确性.
例2 辨别下面因式分解的正误并非指明错误的原因.
（1）分解因式 8a3b2－12ab4＋4ab=4ab（2a2b－3b3）
（2）分解因式 4x4－2x3y=x3（4x－2y）
（3）分解因式 a3－a2=a2（a－1）= a3－a2
解：（1）错误，分解因式后，括号内的多项式的项数漏掉了一项.
（2）错误，分解因式后，括号内的多项式中仍有公因式.
（3）错误, 分解因式后,又返回到了整式的乘法.
说明：这些多是学生易错的，设置例2的目的是让学生运用例1的成果准确辨别因式分解中的常见错误，对因式分解的认识更加清晰.本例仍采用小组讨论、交流的方式，让学生都参与到课堂活动中.
例3（选用）分解因式（a＋b）2－2（a＋b）
解：（a＋b）2－2（a＋b）=（a＋b）[（a＋b）－2]=（a＋b）（a＋b－2）
说明：公因式（a＋b）是多项式，属较高要求，对学有困难的学生可以用单项式过渡一下，如设a＋b=m即可.
练习：1、课本P82 练一练1、22
2、（选做）你能根据下图写出几个等式吗？你写出的等式中哪些是整式乘法的变形？哪些是因式分解的变形？
a
a b c
五、小结
通过学习，（1）你认为因式分解的过程中会出现哪些常见错误？
（2）你有办法检验多项式分解因式的结果的正确性吗？
（3）公因式可能是多项式吗？如果可能，那又当如何分解因式呢？举例尝试.
（4）你还有什么新的认识与体会？
六、作业9.5 多项式的因式分解
教学目标：
1. 了解完全平方公式的特征，会用完全平方公式进行因式分解.
2. 通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，发展学生逆向思维能力和推理能力.
3. 通过猜想、观察、讨论、归纳等活动，培养学生观察能力，实践能力和创新能力.
4. 通过运用所学知识解决简单有趣的实际问题，激发了学生对数学学习的兴趣.
说明 本节课是在学生已经了解因式分解的意义，掌握了提公因式法、平方差公式的基础上进行教学的，是公式法的另一部分内容，由于教学内容的抽象性，建议创造愉快情景尤其重要，使学生对学习发生了强烈的兴趣，通过分组讨论完全平方公式的特征，激发了学生内在的学习愿望和学习动机，从而聚精会神，努力追源，并感到乐在其中.
教学重点
完全平方公式分解因式
教学难点
掌握完全平方公式的特点
教学关键
熟悉公式的形式和特点，根据多项式的项数选择公式.
教学方法
自主探索、教学互动，发挥学生的主体作用
教 具 投影仪
教学过程：
(一)创置情境
情境1 前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？
说明 设置问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )情境使学生回忆了因式分解的意义和学过的方法——提公因式法，平方差公式但两法都无法分解a2＋2a＋1.由因式分解的意义知只要把a2＋2a＋1化为整式的积的形式即达到目的，由于学生熟悉(a＋1)(a＋1)即(a＋1)2等于a2＋2a＋1，反之于是有a2＋2a＋1＝(a＋1)2，若学生想不到可问( )2＝a2＋2a＋1，从而达到了分解因式的要求，这里在得到了a2＋2a＋1＝(a＋1)2的同时再次体会了整式乘法和因式分解是一个等式的两面性是互逆的，从而引入新课.
情境2 在括号内填上适当的式子，使等式成立：
(1)(a＋b)2＝( ) (2)(a－b)2＝( )
(3)a2＋( )＋1＝(a＋1)2 (4)a2－( )＋1＝(a－1)2
思考： (1)你解答上述问题时的根据是什么？
(2)第(1)(2)两式从左到右是什么变形？第(3)(4)两式从左到右是什么变形？
(3)第(3)(4)两式是因式分解，反过来就是整式乘法中的完全平方.
说明 设计这组练习的目的是引导学生顺向、逆向运用完全平方公式，再通过几个循序渐进的问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，从而引入新课.
情境3 观察一列整数：1，4，9，16，25，……，有什么特点？
数式是相通的，在整式中也有这样的情况，你能看出下列式子的特点吗？
(1)a2＋2a＋1 (2)a2＋4a＋4
(3)a2－6a＋9 (4)a2＋2ab＋b2 (5)a2－2ab＋b2
学习了本节课后，你一定会明白的！
说明 由完全平方数自然过渡到完全平方式，当然学生不知道完全平方式的意义设置悬念，起到了触类旁通，承上启下，挑起学生求知欲的作用，再与本节课后面的小结拓展的完全平方式首尾呼应.
情境4 上节课我们学习了用平方差公式分解因式，而在整式乘法时我们还学习了什么公式？大家猜想一下本节课我们将学习什么内容？
说明 此引入可谓开门见山，运用类比猜想的方法，引导学生借助上一节课学习平方差公式分解因式已有的经验，探索分解因式的完全平方公式法，而这个猜想，探索的过程就是培养学生直觉思维的过程，同时由于要对猜测进行验证，又可培养学生的推理能力.
(二)认识完全平方公式
把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2
反过来，就得到a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2
提出问题 自主探索：
问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )1 两公式左边是几项式？三项式，再考虑一下平方差公式.左边是几项式与之比较.
问题2 这三项式有什么特点？其中两项同号，且能写成两数的平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍，它的符号可正可负，口决：“首平方尾平方，二数乘积在中央”有了平方差公式的经验学生自已不难得出，教师重在引导，不要替学生解答好，学法上可采取小组讨论，全班交流.
问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )3 若用△代表a，○代表b，两式是什么形式？△2＋2△×○＋○2＝(△＋○)2，△2－2△×○＋○2＝(△－○)2
说明 经过观察、比较、思考、类比，培养了学生的思维能力，这里学生自己观察、自主探索出公式的本质特征，轻松地掌握本节的重点，同时化解了难点.
问题4 将a2－4a－4符合吗？为什么？
问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )5 a2＋6a＋9符合吗？ 相当于a， 相当于b.
a2＋6a＋9＝a2＋2×( )×( )＋( )2＝( )2
a2－6a＋9＝a2－2×( )×( )＋( )2＝( )2
(三)知识运用
例1 把下列各式分解因式
(1)x2＋10x＋25 (2)4a2＋36ab＋81b2
分析 重点是指出什么相当于公式中的a、b，并适当的改写为公式的形式，
解：(1)x2＋10x＋25 (2) 4a2＋36ab＋81b2
＝x2＋2×x×5＋52 ＝(2a)2－2×2a×9b＋(9b)2
＝(x＋5)2 ＝(2a－9b)2
说明 本题是基础题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，使学生体会用完全平方公式如何分解因式，以及解题格式，学生尝试去做，教师在对不同意见作比较，评价、培养学生的解题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )能力.
练一练(及时训练，巩固新知)
1. 下列能直接用完全平方公式分解的是( )
A．x2＋2xy－y2 B．－x2＋2xy＋y2 C．x2＋xy＋y2 D．x2－xy＋y2
2. 分解因式：－a2＋2ab－b2＝
分解因式：－a2－2ab－b2＝
3. 分解因式(板演)
(1)a2－4a＋4 (2)a2－12ab＋36b2 (3)25x2＋10xy＋y2
探索活动二：公式中的a、b可表示什么？学生讨论易知a、b可以为任意的数、字母或多项式.
如：a2－4a＋4
↓把a换成(m＋n)
(m＋n)2－4(m＋n)＋4 怎么分解呢？请看例2
例2把下列各式分解因式
(1)16a4＋8a2＋1 (2)(m＋n)2－4(m＋n)＋4
分析：许多情况下，不一定能直接使用公式，需要经过适当的组合，变形成公式的形式.
解：(1)16a4＋8a2＋1 (2) (m＋n)2－4(m＋n)＋4
＝(4a2)2＋2×4a2＋1 ＝(m＋n)2－2×2(m＋n)＋22
＝(4a2＋1)2 ＝[(m＋n)－2]2＝(m＋n－2)2
变式训练 若把16a4＋8a2＋1变形为16a4－8a2＋1会怎么样呢？学生讨论作答
16a4－8a2＋1
＝(4a2)2－2×4a2＋1
＝(4a2－1)2 (这里4a2－1可继续分解)
＝[(2a＋1)(2a－1)]2＝(2a＋1)2(2a－1)2
例3 (1)简便计算20042-4008×2005+20052
(2)已知a2-2a+b2+4b+5=0，求(a+b)2005的值.
解：(1) 20042-4008×2005+20052=20042-2×2004×2005+20052=(2004-2005)2=1
(2) a2-2a+b2+4b+5=0变形为
(a-1)2+(b+2)2=0 ∴a-1=0,b+2=0 ∴a=1,b=-2
(a+b)2005=[1+(-2)]2005=-1
说明 用完全平方公式解决两道有用的实际问题使学生享受到运用所学知识的乐趣和心理满足，激励他们的求知欲望.
练一练：
1、把下列各式分解因式
(1)16a4＋24a2b2＋9b4 (2)(x＋y)2－10(x＋y)＋25
2、创新：a2＋6a＋9误写为a2＋6a＋9－1即a2＋6a＋8如何分解？
学生讨论方法一：
a2＋6a＋8＝a2＋6a＋8＋1－1
＝a2＋6a＋9－1＝(a＋3)2－1
＝(a＋3＋1)(a＋3－1)＝(a＋4)(a＋2)
法二：就是我们下节课要补充的新的解法
说明：有的电视剧冗长却吸引人，当然与故事情节跌宕起伏分不开，但是每集结束前设置悬念吸引观众，是功不可没的，此处设置悬念，从而激发了学生继续学习的热情，探索新知识的心理，提高课堂教学效益.
(四)小结
1、学生自己总结本节课的收获，体会.
2、将乘法公式反过来就得到多项式因式分解的公式，运用这些公式把一个多项式分解因式的方法叫运用公式法.
3、如何选用平方差公式，或完全平方公式.
4、拓展：由于a2±2ab＋b2可写成(a±b)2的形式，把类似a2±2ab＋b2 的式子叫完全平方式.
说明：教师提供空间和机会让学生自己发言，即复习了本节内容，又促使学生重视知识结构，抓住了问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )特征.
(五)作业
必做：
课本习题
选做：
1、若x2＋mx＋4是完全平方式，则m＝ .
2、简便计算：9.92－9.9×0.2＋0.01
3、若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC的形状.9．5多项式的因式分解
课时编号 8
备课时间
课 题 9．5多项式的因式分解
教学目标 1、使学生了解运用公式来分解因式的意义。2、使学生理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点；使学生知道把乘法公式反过来就可以得到相应的因式分解。3、掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式（直接用公式不超过两次）
教学重点 运用平方差公式分解因式
教学难点 灵活运用平方差公式分解因式
教 学 过 程
教学内容 教师活动 学生活动
我们容易看出992-1=（99+1）（99-1），,这种方法利用了我们刚学过的哪一个乘法公式 首先我们来做下面两题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )：1.计算下列各式:(1)(a+2)(a-2)= ;(2) (a+b)( a-b)= ;(3) (3 a+2b)(3 a-2b)= .2．下面请你根据上面的算式填空:(1) a2-4= ;(2) a2-b2= ;(3) 9a2-4b2= ;例题1：把下列各式分解因式；(1) 36–25x2 ; (2) 16a2–9b2 ;(3) 9(a+b)2–4(a–b)2 .例题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2：如图，求圆环形绿化区的面积练习:课本练习 A组题：1．填空：81x2- =(9x+y)(9x-y); = 利用因式分解计算：= 。2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） （A） （B） （C） （D）3. 把下列各式分解因式(1) 1-16 a2 (2) 9a2 x2-b2y2(3).49(a-b)2-16(a+b)2 同学们，你能很快知道992-1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？平方差公式(1): a2-4(2): a2-b2(3): 9 a2-4b2(a+2)(a-2)(a+b)( a-b)(3 a+2b)(3 a-2b)(a+b)( a-b)=a2-b2请同学们对比以上两题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，你发现什么呢？反过来就得到a2-b2=(a+b)(a-b)让学生弄清平方差公式的形式和特点并会运用（1）36–25x2=62–(5x)2=（6+5x）（6–5x）（2）16a2–9b2=(4a)2–(3b)2=（4a+3b）（4a–3b）（3）9(a+b)2–4(a–b)2=[3(a+b)]2–[2(a–b)]2=[3(a+b)+2(a–b)][3(a+b)–2(a–b)]=（5a+b）（a+5b）解：352π–152π=π（352–152）=（35+15）（35–15）π=50×20π=1000π （m2）这个绿化区的面积是1000πm2B组题：1分解因式81 a 4-b4= 2若a+b=1, a2+b2=1 , 则ab= ;3若26+28+2n是一个完全平方数，则n= . 由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充．学生回答1：992-1=99×99-1=9801-1=9800学生回答2：992-1就是（99+1）（99-1）即100×98学生回答:(1): a2-4(2): a2-b2(3): 9 a2-4b2学生轻松口答(a+2)(a-2)(a+b)( a-b)(3 a+2b)(3 a-2b)学生回答:把乘法公式学生上台板演：
板书设计 情境创设1、2、 例1：……………… 例2：……………… 习题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ………………
作业布置
课后随笔
课时编号 99.5多项式的因式分解
一、教学目标
1. 进一步熟悉提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式.
2. 学生能根据不同题目的特点选择较合理的分解因式的方法.
3. 知道因式分解的方法步骤：有公因式先提公因式，以及因式分解最终结果的要求：必须分解到多项式的每个因式不能再分解为止.
4. 通过综合运用提公因式法、运用公式法分解因式，使学生具有基本的因式分解能力.
5. 综合运用所学的因式分解的知识和技能，感悟整体代换等数学思想.
6. 进一步体会整式乘法和因式分解的对立统一的关系，体会“两分法”看问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的世界观.
说明 以前这部分内容是渗透到用平方差公式和完全平方公式因式分解的两节中，现在是作为独立的一课时，也就是综合运用提公因式法，运用公式法进行多项式的因式分解，对这部分内容的教学，要根据不同的题目，进行具体分析，灵活地运用各种方法来分解因式.教学时，让学生在观察、练习的过程中，主动归纳因式分解的方法步骤，探求并发现因式分解的最终结果的形式，使学生在主动探索的情境中，学会具体问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )具体分析的方法，体会到成功的喜悦.
二、教学重点、难点
知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式.
三、教具、学具
投影仪，条件较好的用实物投影仪或多媒体演示
四、教学过程
(一)设置情境
情境1 比一比，看谁算得快(投影)
(1)65.52－34.52 (2)1012－2×101×1＋1
(3)482＋48×24＋122 (4)5×552－5×452
说明 学生已学过平方差公式、完全平方差公式及提公因式法分解因式.要求学生利用因式分解进行计算，其目的是复习提公因式法及公式法.
思考 (1)在计算过程中，你用到了哪些因式分解的方法？
(2)能用平方差公式、完全平方公式分解因式的多项式有什么特征？
(3)计算中(3)和(4)能直接用公式吗？((3)需变形为482＋2×48×12＋122，(4)需先提公因式，再用平方差公式)
情境2 分解因式①4a4－100(两名学生板演，也可以投影部分学生的答案)
②a4－2a2b2＋b4
说明 由于已学过平方差公式和完全平方公式的分解因式，学生不难想到用公式法分解因式，但很可有会出现分解不完全的情况.
如：4a4－100=(2a2＋100)(2a2－100)，a4－2a2b2＋b4=(a2－b2)2，教师正好借此引入本节课课题.
思考 (1)在解答这两题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的过程中，你用到了哪些公式？
(2)你认为(2a2＋10)(2a2－10)和(a2－b2)2这两个结果是因式分解的最终结果吗？如果不是，你认为还可以怎样分解？
(3)怎样避免出现上述分解不完全的情况呢？(学生可交流)
情境3 把下列各式分解因式(练习)
(1)ab2－2a2b－ab (2)a2－1 (3)a2b2－4ab＋4 (4)a3－a
说明 练习的目的是回顾因式分解的方法，第(4)题学生在解答时可能有困难，教师可给予适当点拨.
思考 (1)你是怎样确定一个多项式的公因式的？具体方法由学生简述，教师补充说明.
(2)请写出平方差公式和完全平方公式.
(3)对于(4)a3－a提公因式a后，你认为a(a2－1)分解完全了吗？
情境4 (1)师生共同回顾前面所学过的因式分解的方法.
提取公因式法、运用公式法，并说明公因式的确定方法及公式的特征.
(2)整理知识结构图
提公因式法： 关键是确定公因式
因式分解 运用公式法 平方差公式：a2－b2=(a＋b)(a－b)
完全平方公式：a2±2ab＋b2=(a±b)2
说明 公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的单项式和多项式.
结论 多项式的因式分解，要根据多项式的特点，选择使用恰当的方法去分解，对于有些多项式，有时需同时用到几种不同的方法，才有分解完全.
(二)探索综合使用提公因式法、运用公式法分解因式的方法步骤：
1. 先提取公因式后利用公式
例1 把下列各式分解因式(课本P93例5)
(1)18a2－50 (2)2x2y－8xy＋8y (3)a2(x－y)－b2(x－y)
分析 ①先观察18a2－50，发现含有公因式2，因此可以先提公因式，再继续观察另一个因式9a2－25，能否再继续分解.
②注意(3)的公因式是(x－y)
解：(1)18a2－50=2(9a2－25) (2) 2x2y－8xy＋8y
=2(3a＋5)(3a－5) =2y(x2－4x＋4)=2y(x－2)2
(3) a2(x－y)－b2(x－y)=(x－y)(a2－b2)=(x－y)(a＋b)(a－b) (2) (3)可由学生口述，教师板书
说明 (1)本题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )要先给学生时间观察，教师不要先说有没有公因式可提，而让学生通过观察，然后说明所采用的方法，公因式提出后，仍然由学生继续观察另一个因式，能否继续分解.
(2)当学生尝试将上述多项式分解因式后，教师再引导学生对解题过程进行回顾和总结，培养学生良好的学习惯.
(3)归纳：将一个多项式分解因式时，首先要观察被分解的多项式是否有公因式，若有，就要先提公因式，再观察另一个因式特点，进而发现其能否用公式法继续分解.
2. 两个公式先后套用
例2 (课本P94例6)把下列各式分解因式
(1)a4－16 (2)81x4－72x2y2＋16y4
解：(1)a4－16=(a2＋4)(a2－4)=(a2＋4)(a＋2)(a－2)
(2)81x4－72x2y2＋16y4
=(9x2)2－2·9x2·4y2＋(4y2)2 先化成完全平方的形式，认准谁是公式的a，谁是b
=(9x2－4y2)2
=[(3x＋2y)2(3x－2y)]2 ←注意这不是结果
=(3x＋2y)2(3x－2y)2
说明：(1)本题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )还是由学生口述分解因式，在第一次用公式法因式分解后，得到的一个因式还可以用平方差公式，这一点在教学中，要让学生自己观察出来，而不是老师直接说，这样在因式分解中，学生才能更深刻地感悟出：分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止.
例3 (供选择)分解因式
(1)(a2＋b2)－4a2b2
(2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1
解：(1)(a2＋b2)－4a2b2 (2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1
=(a2＋b2)2－(2ab)2 =[(x2－2x)＋1]
=[(a2＋b2)＋2ab][(a2＋b2)－2ab] =(x2－2x＋1)2
=(a2＋b2＋2ab)(a2＋b2－2ab) =[(x－1)2]2
=(a＋b)2(a－b)2 =(x－1)4
说明 (1)本题(1)中把a2＋b2，2ab看作一个整体，先用平方差，再用完全平方公式.
(2)把x2－2x看作一个整体，先用完全平方公式，再用完全平方公式，从本题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的解题过程，让学生体会数学中“换元”的思想.
(3)本例还可以适当增加：(x2－6)(x2－2)＋4这种先变形后用公式的题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型，体会数学中的化归思想.
(三)因式分解的应用
例4 阅读下列材料，然后回答文后问题
已知2x＋y=b，x－3y=1 求14y(x－3y)2－4(3y－x)3的值.
分析：先将14y(x－3y)2－4(3y－x)3进行因式分解，再将2x＋y=6和x－3y=1整体代入.
解：14y(x－3y)2－4(3y－x)3=14y(x－3y)2＋4(x－3y)3
=2(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]
=2(x－3y)2(2x＋y)
当2x＋y=6.x－3y=1时，原式=2×12×6=12，回答下列问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )：(1)上述问题体现了 思想，这种思想在求值问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中经常用到.
(2)已知a＋b=5，ab=3，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值.(由学生完成).
说明：本题目的是让学生通过阅读体会整体代换思想和因式分解在求值问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中的应用.
例5 已知，如图，4个圆的半径都为a，用代数式表示其中阴影部分的面积，并求当a=10，π取3.14时，阴影部分的面积.
解： 用代数式表示阴影部分的面积为：
(2a)2－πa2 即4a2－πa2
当a=10, π取3.14时，
4a2－πa2=a2(4－π)=102×(4－3.14)=100×0.86=86
(四)练习
1、辨析 分解因式 a4－8a2＋16
a4－8a2＋16=(a2－4)2=(a＋2)2(a－2)2=(a2＋2a＋4)(a2－2a＋4)
这种解法对吗？如果不对，指出错误原因.
说明：本题考查学生因式分解与整式乘法的意义，错因是混淆了二者的区别，走了“回头路”
2. 选择题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )：
多项式①16x5－x ②(x－1)2－4(x－1)＋4 ③(x＋1)4－4x(x＋1)2＋4x2 ④－4x2－1＋4x分解因式后，结果含有相同因式的是( )
A、①② B、③④ C、①④ D、②③
3. 填空：
请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式法来分解因式，你编的三项式是 ，分解因式的结果是 .
本题设计说明：学生不仅要学会课本上的例题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )和习题，而且要懂得借助课本内容的思想方法去编拟习题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，这是创新教育的一种表现形式.
4. 把下列各式分解因式
(1)3ax2－3ay4 (2)－2xy－x2－y2 (3)3ax2＋6axy＋3ay2
(4)x4－81 (5)(x2－2y)2－(1－2y)2
(6)x4－2x2＋1 (7)x4－8x2y2＋16y4
分两组板演：(1)~(3)一组，(4)~(7)为另一组，也可以投影部分学生的解答过程进行点评.
五、小结
学生通过例题的学习及练习自己总结在综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意的问题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )和解题步骤，可由1个或几个学生回答，互相补充，教师归纳(投影)
(1)如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解.
(2)分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止.
(3)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.
即：“一提”、“二套”、“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.
六、作业：
必做：课本习题 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
选做：
1. 分解因式
(1)80a2(a＋b)－45b2(a＋b) (2)(x2－2xy)＋2y2(x2－2xy)＋y4
(3)(x＋y)2－4(x2－y2)＋4(x－y)2
2. 已知x＋y=4 xy=2 求2x3y＋4x2y2＋2xy3的值
3. 利用图形面积因式分解
①a2＋3ab＋2b2
②a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
