【新课标】24.5三角形的内切圆 课件（共34张PPT）
文档属性
| 名称 | 【新课标】24.5三角形的内切圆 课件（共34张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-08 09:26:27 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
24.5三角形的内切圆
沪科版 九年级下
教学内容分析
前面学习了圆的切线的性质和判定，本节在此基础上，研究了三角形内切圆的问题，首先理解三角形的内切圆、三角形的内心等概念；还学习了作出一个三角形的内切圆，并利用内心的概念来求角、边等综合问题。
教学目标
1.理解三角形的内切圆概念；
2.作出三角形的内切圆，理解三角形的内切圆的步骤；（重点）
3.能根据三角形的内切圆求与内切圆相关的问题。（难点）
核心素养分析
本节重点研究了三角形的内切圆，学会作出一个三角形的内切圆，锻炼了学生的动手操作能力，还有利用内切圆求角、边等综合问题，培养了学生的计算能力和推理能力。
新知导入
切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长；过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。
什么是圆的切线长？切线长定理是什么？
新知讲解
有一块三角形材料,如何从中剪下一个面积最大的圆
(1）如果最大圆存在,它与三角形的各边应有怎样的位置关系
探究
图24-50
新知讲解
2．如图24-50,⊙O按其位置与三角形的边是否相切分四种情形:
(1)
(2)
(3)
(4)
⊙O与三边都不相切
⊙O只与一边相切
⊙O与两边相切
⊙O与三边都相切
新知讲解
由上图可知，哪种情况下，使剪下的圆面积最大？
这个圆应与三角形的三边都相切
新知讲解
三角形的三条角平分线交于一点,这一点与三角形的三边距离相等。
.
Ⅰ
C
A
B
如图，三条角平分线交于一点I，IA=IB=IC
新知讲解
(2)求作一个圆,使它和已知三角形的各边都相切。
如图24-51 ,如果半径为r的⊙I与△ABC的三边都相切,那么其圆心I应与△ABC的三边距离相等,都等于半径 r,所以圆心Ⅰ应是三角形的三条角平分线的交点.
图24-51
.
Ⅰ
r
r
r
新知讲解
作法
1.如图,作△ABC的∠B、∠C平分线BE,CF ,设它们交于点I.
A
B
C
Ⅰ
E
F
新知讲解
2.过点I作 ID⊥BC于点D.
3.以点I为圆心、ID为半径作⊙I.
则⊙I即为所作.
Ⅰ
E
F
A
B
C
D
新知讲解
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,
内切圆的圆心叫做三角形的内心。
A
B
C
三角形的内切圆
.
三角形的内心
新知讲解
这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形内心的性质：三角形的内心到三角形的三边距离相等.
三角形的内心在三角形的角平分线上.
A
B
C
圆的外切三角形
.
r
r
r
类 别
三角形的内切圆
三角形的外接圆
⊙O的名称
△ABC的名称
圆心O的名称
圆心O的确定
内心与外心的性质
△ABC的内切圆
△ABC的外接圆
⊙O的外切三角形
⊙O的内接三角形
△ABC的内心
△ABC的外心
作两角的角平分线
作两边的中垂线
内心O到三角形三边的距离相等
外心O到三个顶点的距离相等
A
B
C
O
A
B
C
O
外心不一定在三角形内部，内心一定在三角形内部.
新知讲解
新知讲解
如图，边长为 的等边△ABC的内切圆的半径为( )
A. 1 B. C. 2 D.
A
新知讲解
解：设△ABC的内心为O，连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠BCA，AO平分∠BAC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=60°，CH⊥AB，
∴∠OAH=30°，AH=BH= AB= ，
新知讲解
设OH=x，则AO=2x，
在Rt△AOH中，
由勾股定理得：
∴x=1，
∴OH=1，
即△ABC内切圆的半径为1．
故选：A．
新知讲解
例 如图 ,在△ABC中,∠B=43°,∠C =61°,点I是△ABC的内心,求∠BIC的度数.
A
B
C
.I
分析：根据内心是角平分线的交点，在△BIC中，求出∠IBC+∠ICB与∠B+∠C的关系，即可求出∠BIC的度数。
新知讲解
解：连接IB,IC.
因为点I是△ABC的内心,所以 IB,IC分别是∠B、∠C的平分线
在△IBC中,有
∠BIC = 180°-(∠IBC+∠ICB)
=180°- (∠B +∠C)
=180°- (43°+61°)
=128°.
A
B
C
.I
课堂练习
1.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6)，(-3,3)，(7,-2)，则△ABC内心的坐标为______．
(2,3)
课堂练习
解：如图，点I即为△ABC的内心．
I为三角形三个内角平分线的交点，
如图易得点I的纵坐标为3，
∠ACB的平分线经过(5,0)和(4,1)
所以该角平分线所在的直线为：y=-x+5，
当y=3时，解得x=2
所以△ABC内心I的坐标为(2,3)．
故答案为：(2,3)．
2.如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=5，⊙O是 ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为 ( )
A. 30-4π B. C. 60-16π D. 30-16π
课堂练习
A
解：如图，记三个切点分别为D、E、F，
连接OD、OE、OF，
则∠ODC=∠OEC=∠OFA=90°，OD=OE=OF=2，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CE=CD=2，
课堂练习
课堂练习
∵⊙O是 ABC的内切圆，
∴AE=AF=5-2=3，BD=BF，
设BD=BF=x，
则BC=x+2，AB=x+3，
在Rt ABC中，
AC2+BC2=AB2，
课堂练习
即52+(x+2)2=(x+3)2，
∴x=10，
∴BC=12，
∴S阴影部分=S ABC-S⊙O
= ×5×12-π×22=30-4π．
故选A．
课堂练习
3.如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点为E，F，G.∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1.求⊙O的半径r．
课堂练习
解：连结OE、OF，如图，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
而∠C=90°，
∴四边形OECF为正方形，
课堂练习
∴OE=CE=r，
∵OE//AC，
∴△DOE∽△DAC，
∴ ，即 ，
∴ ．
名称 外心 内心
确定方法
图形
性质
三角形三边垂直平分线的交点
三角形三条角平分线的交点
Ⅰ
E
F
A
B
C
D
A
B
O
C
OA=OB=OC
I到三角形的三边距离相等
课堂总结
板书设计
24.5 三角形的内切圆
1.作出内切圆
2.内切圆概念
3.例题
作业布置
必做题:课本P44的第2~3题
选做题:练习册本课时的习题
谢谢
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24.5三角形的内切圆
沪科版 九年级下
教学内容分析
前面学习了圆的切线的性质和判定，本节在此基础上，研究了三角形内切圆的问题，首先理解三角形的内切圆、三角形的内心等概念；还学习了作出一个三角形的内切圆，并利用内心的概念来求角、边等综合问题。
教学目标
1.理解三角形的内切圆概念；
2.作出三角形的内切圆，理解三角形的内切圆的步骤；（重点）
3.能根据三角形的内切圆求与内切圆相关的问题。（难点）
核心素养分析
本节重点研究了三角形的内切圆，学会作出一个三角形的内切圆，锻炼了学生的动手操作能力，还有利用内切圆求角、边等综合问题，培养了学生的计算能力和推理能力。
新知导入
切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长；过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。
什么是圆的切线长？切线长定理是什么？
新知讲解
有一块三角形材料,如何从中剪下一个面积最大的圆
(1）如果最大圆存在,它与三角形的各边应有怎样的位置关系
探究
图24-50
新知讲解
2．如图24-50,⊙O按其位置与三角形的边是否相切分四种情形:
(1)
(2)
(3)
(4)
⊙O与三边都不相切
⊙O只与一边相切
⊙O与两边相切
⊙O与三边都相切
新知讲解
由上图可知，哪种情况下，使剪下的圆面积最大？
这个圆应与三角形的三边都相切
新知讲解
三角形的三条角平分线交于一点,这一点与三角形的三边距离相等。
.
Ⅰ
C
A
B
如图，三条角平分线交于一点I，IA=IB=IC
新知讲解
(2)求作一个圆,使它和已知三角形的各边都相切。
如图24-51 ,如果半径为r的⊙I与△ABC的三边都相切,那么其圆心I应与△ABC的三边距离相等,都等于半径 r,所以圆心Ⅰ应是三角形的三条角平分线的交点.
图24-51
.
Ⅰ
r
r
r
新知讲解
作法
1.如图,作△ABC的∠B、∠C平分线BE,CF ,设它们交于点I.
A
B
C
Ⅰ
E
F
新知讲解
2.过点I作 ID⊥BC于点D.
3.以点I为圆心、ID为半径作⊙I.
则⊙I即为所作.
Ⅰ
E
F
A
B
C
D
新知讲解
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,
内切圆的圆心叫做三角形的内心。
A
B
C
三角形的内切圆
.
三角形的内心
新知讲解
这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形内心的性质：三角形的内心到三角形的三边距离相等.
三角形的内心在三角形的角平分线上.
A
B
C
圆的外切三角形
.
r
r
r
类 别
三角形的内切圆
三角形的外接圆
⊙O的名称
△ABC的名称
圆心O的名称
圆心O的确定
内心与外心的性质
△ABC的内切圆
△ABC的外接圆
⊙O的外切三角形
⊙O的内接三角形
△ABC的内心
△ABC的外心
作两角的角平分线
作两边的中垂线
内心O到三角形三边的距离相等
外心O到三个顶点的距离相等
A
B
C
O
A
B
C
O
外心不一定在三角形内部，内心一定在三角形内部.
新知讲解
新知讲解
如图，边长为 的等边△ABC的内切圆的半径为( )
A. 1 B. C. 2 D.
A
新知讲解
解：设△ABC的内心为O，连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠BCA，AO平分∠BAC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=60°，CH⊥AB，
∴∠OAH=30°，AH=BH= AB= ，
新知讲解
设OH=x，则AO=2x，
在Rt△AOH中，
由勾股定理得：
∴x=1，
∴OH=1，
即△ABC内切圆的半径为1．
故选：A．
新知讲解
例 如图 ,在△ABC中,∠B=43°,∠C =61°,点I是△ABC的内心,求∠BIC的度数.
A
B
C
.I
分析：根据内心是角平分线的交点，在△BIC中，求出∠IBC+∠ICB与∠B+∠C的关系，即可求出∠BIC的度数。
新知讲解
解：连接IB,IC.
因为点I是△ABC的内心,所以 IB,IC分别是∠B、∠C的平分线
在△IBC中,有
∠BIC = 180°-(∠IBC+∠ICB)
=180°- (∠B +∠C)
=180°- (43°+61°)
=128°.
A
B
C
.I
课堂练习
1.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6)，(-3,3)，(7,-2)，则△ABC内心的坐标为______．
(2,3)
课堂练习
解：如图，点I即为△ABC的内心．
I为三角形三个内角平分线的交点，
如图易得点I的纵坐标为3，
∠ACB的平分线经过(5,0)和(4,1)
所以该角平分线所在的直线为：y=-x+5，
当y=3时，解得x=2
所以△ABC内心I的坐标为(2,3)．
故答案为：(2,3)．
2.如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=5，⊙O是 ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为 ( )
A. 30-4π B. C. 60-16π D. 30-16π
课堂练习
A
解：如图，记三个切点分别为D、E、F，
连接OD、OE、OF，
则∠ODC=∠OEC=∠OFA=90°，OD=OE=OF=2，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CE=CD=2，
课堂练习
课堂练习
∵⊙O是 ABC的内切圆，
∴AE=AF=5-2=3，BD=BF，
设BD=BF=x，
则BC=x+2，AB=x+3，
在Rt ABC中，
AC2+BC2=AB2，
课堂练习
即52+(x+2)2=(x+3)2，
∴x=10，
∴BC=12，
∴S阴影部分=S ABC-S⊙O
= ×5×12-π×22=30-4π．
故选A．
课堂练习
3.如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点为E，F，G.∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1.求⊙O的半径r．
课堂练习
解：连结OE、OF，如图，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
而∠C=90°，
∴四边形OECF为正方形，
课堂练习
∴OE=CE=r，
∵OE//AC，
∴△DOE∽△DAC，
∴ ，即 ，
∴ ．
名称 外心 内心
确定方法
图形
性质
三角形三边垂直平分线的交点
三角形三条角平分线的交点
Ⅰ
E
F
A
B
C
D
A
B
O
C
OA=OB=OC
I到三角形的三边距离相等
课堂总结
板书设计
24.5 三角形的内切圆
1.作出内切圆
2.内切圆概念
3.例题
作业布置
必做题:课本P44的第2~3题
选做题:练习册本课时的习题
谢谢
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