【新课标】2.3 垂径定理 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
2.3 垂径定理
湘教版 九年级下
教学内容分析
学完前面3节，重点学习了圆的概念，圆周角圆心角的概念，圆周角定理及其推论，本节课重点学习一下，垂直于弦的直径的性质。
教学目标
1.证明和理解垂径定理（重点）
2.运用垂径定理，解决圆与三角形、四边形综合知识解答问题（难点）
核心素养分析
本节内容主要研究垂径定理，定理的条件是垂直于弦的直径，结论有直径平分这条弦，直径平分这条弦所对的两条弧。在证明的过程中，培养了学生几何直观的观念，也提高了学生的计算能力。
新知导入
直径所对的圆周角是_______；
90°的圆周角所对的弦是_______.
圆内接四边形的对角_______.
直角
直径
互补
新知讲解
在图2-27的⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为E.
试问：AE与BE， 与 ， 与 分别相等吗？
动脑筋
⌒
BC
⌒
AC
⌒
AD
⌒
BD
图2-27
新知讲解
因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折，如图2-28，我们发现AE与BE重合， ， 分别与 ， 重合，即AE=BE， = ， = .
⌒
AC
⌒
AD
⌒
BC
⌒
BD
⌒
AC
⌒
BC
⌒
AD
⌒
BD
图2-28
D
C
O
E
B(A)
解：连接OA，OB.
∵ OA=OB，
∴ △OAB是等腰三角形.
∵OE⊥AB，
∴AE=BE，∠AOD=∠BOD.
从而∠AOC=∠BOC.
∴ = , = .
新知讲解
⌒
AC
⌒
BC
⌒
AD
⌒
BD
------
------
以两条半径及所夹的弦构成的等腰三角形
新知讲解
由此得到垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
------
------
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
新知讲解
变式1 如图，AB是⊙Ｏ的弦，点C、D在弦AB上，且OC= OD. 求证:AC= BD.
新知讲解
证明:过点O作OH⊥AB，垂足为H,
∴ AH=BH,
∵OC=OD，且OH⊥CD,
∴CH=DH,
∴AH-CH=BH-DH,
∴AC=BD.
新知讲解
例1 如图2-29，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长.
图2-29
新知讲解
解 连接OA.
设OA=rcm， 则OE＝r-2（cm）.
∵CD⊥AB，
由垂径定理得 AE=AB÷2＝4（cm）.
在Rt△AEO中，
由勾股定理得OA2＝ OE2+AE2.
即r2＝（r-2）2+42.
解得r＝5 .
∴CD=2r=10（cm）
图2-29
------
过圆心作弦的垂线构成直角三角形
新知讲解
例2 证明： 圆的两条平行弦所夹的弧相等．
根据命题画图；
写出已知求证；
写出证明过程.
新知讲解
已知：如图2-30， 在⊙Ｏ中，弦ＡＢ与弦ＣＤ平行．
求证： = ．
⌒
AC
⌒
BD
图2-30
新知讲解
证明 作直径ＥＦ⊥ＡＢ，
∴ = .
又 ∵ ＡＢ//ＣＤ，ＥＦ⊥ＡＢ，
∴EF⊥CD．
∴ ＝ ．
因此 ，
即 ．
⌒
CE
⌒
DE
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
AE- CE= ＢＥ-ＤＥ
⌒ ⌒
AC=BD
-------------
E
F
⌒
AE
⌒
BE
新知讲解
变式2：如图，⊙Ｏ的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙Ｏ于点E，连结EC.若AB=8，OC =3，则EC的长为( )
A.6 B.8 C.7 D.
解:连接BE，
∵AE为⊙Ｏ直径，
∴∠ABE =90°，
∵OD⊥AB，OD过点O，
∴AC=BC= AB=2×8=4
新知讲解
连接直径所对的弧上的点与直径端点，构成直角三角形
新知讲解
∵AO = OE，
∴BE =2OC，
∵OC = 3，
∴BE= 6，
在Rt △ CBE中，
故选:D.
根据以上题目，在圆中添加辅助线构成的三角形的常用方法：
新知讲解
------
------
连接AO，OB，构成等腰三角形AOB
------
连接AO，构成直角三角形AOE
连接EB，构成直角三角形AEB
1.如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，则下列结论不一定正确的是 ( )
A. B. AF=BF C. OF=CF D.
课堂练习
C
⌒ ⌒
AD= BD
⌒ ⌒
AC= BC
课堂练习
解：∵DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，
且AF=BF，
故选项A，B，D一定正确;
无法证明OF=CF，
故选C．
课堂练习
2．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA =8，AB=12，∠A =∠B =60°，则BC的长为( )
A.16 B.20 C.18 D.22
课堂练习
解:延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E.
∵∠A=∠B=60，
∴ADB =60°;
∴△ADB为等边三角形;
∴BD=AD =AB =12;
∴OD = 4，
课堂练习
∴OD= 4，
又∵∠ADB =60°，
∴DE= OD = 2;
∴BE=10;
∴BC=2BE = 20;
故选:B.
课堂练习
3.已知⊙O的半径为10，弦AB//CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为______________．
14或2
课堂练习
分两种情况：
①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1，
过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，连接OD、OB，
∵AB//CD，
∴EF⊥AB，
∴ED= CD，BF= AB，
课堂练习
∵AB=12，CD=16，
∴ED=8，BF=6，
由勾股定理得：
OE2=OD2-ED2 =102-82 =62，
OF2=OB2-BF2 =102-62=82，
∴EF=OE+OF=6+8=14
课堂练习
②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2，
同理得：
EF=OF-OE=8-6=2，
综上所述，AB和CD的距离为14或2．
课堂总结
1、什么是垂径定理？
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2、怎样在圆中添加辅助线构成的三角形？
连接AO，OB，构成等腰三角形AOB
连接AO，构成直角三角形AOE
连接EB，构成直角三角形AEB
板书设计
2.3 垂径定理
1.垂径定理
2.例1
例2
作业布置
必做题:课本60页的练习第1，2题
选做题:练习册本课时的习题
谢谢
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