广东省揭阳市普宁国贤学校2022-2023学年高三下学期开学第二次考试数学试卷（Word版含答案）

普宁国贤学校2022-2023学年高三下学期开学第二次考试 数学试卷
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．已知曲线的方程为（），若曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或5 D．
4．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（ ）
A． B．7 C．13 D．26
5．如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．给出以下四个命题：
①在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；
②回归模型中离差是实际值与估计值的差，离差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；
③在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为；
④对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大.
其中，真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
7．现有5张卡片，其中有2张印有“立”字，其余3张分别印有“德”、“树”、“人”．将这5张卡片随机排成一行，则恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆锥的底面圆半径为，圆锥内部放有半径为1的球，球与圆锥的侧面和底面都相切，若，则圆锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列推理正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若a，，则
10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递减数列 B．
C．是数列中的最大项 D．
11．如图，、是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是、在第一象限的公共点，设的方程为，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．的内切圆与轴相切于点
C．若，则的离心率为
D．若，则椭圆方程为
12．定义在上的函数满足：，，则下列说法正确的是（ ）．
A．在处取得极小值，极小值为 B．只有一个零点
C．若在上恒成立，则 D．
三、填空题
13．已知平面向量满足，则__________．
14．直线与圆相交于两点，且．若，则直线的斜率为_________．
15．在中， 内角的对边分别为，且满足，则的取值范围____________
16．若存在直线与曲线，都相切，则的范围是__________.
四、解答题
17．记的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若AD是角A的平分线且，求的最小值.
18．已知正项数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求.
19．如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面.(1)证明：；
(2)已知，，平面与平面的交线为.在上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为 若存在，求线段的长度；若不存在，试说明理由.
20．某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的400家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：
支持 不支持 合计
中型企业 60 20 80
小型企业 180 140 320
合计 240 160 400
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关；
(2)从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业中随机选出9家进行奖励，中型企业每家奖励60万元，小型企业每家奖励20万元．设为所发奖励的总金额（单位：万元），求的分布列和均值．
附：，．
21．已知椭圆的一个顶点为，离心率为．过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，，与轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点）．
(1)求椭圆的标准方程并求弦的长；
(2)证明直线过定点．
22．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式恒成立，求实数k的取值范围.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1--8．BCDC DBBA 9.BC 10．AC 11．ABD 12．BCD
13． 14． 15． 16．
17．（1）由题意，得，由正弦定理，得.由余弦定理，得.又，所以.
（2）因为与的面积之和等于的面积，且AD为角A的平分线，
由（1）知，，所以，所以.
又，当且仅当，即时取等号，所以，即，所以，所以的最小值为4.
18．（1）将等式右边分解得，因为已知，所以，
所以，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，即.所以数列的通项公式为
（2）结合（1）知，
所以当为偶数时，.
当为奇数时，.
所以数列的前项和
19．（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，平面，所以，
因为四边形是菱形，所以，又因为，、平面，所以平面，因为平面，所以．
（2）解：取中点，连接，
因为四边形为菱形，则，又因为，则为等边三角形，
由菱形的几何性质可知，，则也为等边三角形，
因为为的中点，则，，，
由（1）知，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、
、、，，
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面平面，平面，所以，由（1）知平面，
设，则，．设平面的法向量，则，取，可得，因为直线与平面所成角的正弦值为，则，解得，
因此，存在点，线段的长为．
20．（1）零假设为：“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”无关
根据列联表中的数据，计算得到，
．根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关联，此推断犯错误的概率不大于．
（2）由（1）可知支持节能降耗技术改造的企业中，中型企业与小型企业的数量比为．
所以按分层随机抽样的方法抽出的12家企业中有3家中型企业，9家小型企业．
选出的9家企业的样本点是，，，（前者为中型企业家数，后者为小型企业家数）．故的所有可能取值为180，220，260，300．
，，，
，故的分布列为
180 220 260 300
的均值为．
21．（1）因为为椭圆的一个顶点，则，由离心率为得，
，则有，椭圆方程为，其右焦点为，
直线，，由消去y得：，
设，则，
，
所以椭圆的标准方程为，弦的长为.
（2）由（1）知弦的中点，直线斜率，而，
则直线的斜率为，在中，令得点，因此直线的方程为，显然直线：过定点，所以直线过定点.
22．（1），定义域为，则，
当时，恒成立，故，所以的单调递增区间为，无递减区间；当时，令，当，即时，恒成立，故，所以的单调递增区间为，无递减区间；
当，即时，此时设的两根为，，两根均大于0，且，令得：或，令得：，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上：当时，的单调递增区间为，无递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由于的定义域为，可只需考虑时，不等式恒成立，即，化简得：，
令，，
则，
令，，在上恒成立，
故在上单调递减，因为，，
故存在，使得，即，
设，，则在上恒成立，
故在上单调递增，所以，即，，
当时，，，当时，，，
故时，单调递增，时，单调递减，
故在时取得极大值，也是最大值，故，故，所以实数k的取值范围是