南通市重点中学2022-2023学年高一下学期开学考试
数学 2023.2.4
班级___________ 姓名___________
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知某扇形的面积为，若该扇形的半径，弧长满足，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）
A． B． C． D．或
【答案】D
据题意，得解得或所以或.故选D.
2．将函数f(x)＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的(ω＞0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的最小正周期为6π，则( )
A．ω＝ B．ω＝6 C．ω＝ D．ω＝3
【答案】A 由题意可知g(x)＝sin ωx，由＝6π，解得ω＝.
3．已知函数（）的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
令，，且当时，，
令，得或．
由可知，当时，，结合的图像（图略），
当时，，∴，∴．故选D．
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B 因为，并且，
所以.
因为，所以，
故选B.
5．设函数f(x)＝cos (－2x)，则f(x)在上的单调递减区间是( )
【答案】D 由已知f(x)＝cos (－2x)，令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈，∴减区间为.
6．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D 由图象可知．因为，所以．
又，可得，由，所以，解得，结合选项可知，因此，故选D．
7．已知函数的最小正周期为，若在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，求得，
令，求得，
由，求得，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以实数的取值范围是，故选B．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由诱导公式可知，
又得：，
所以，
.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知曲线，，则下面结论正确的是（ ）
A．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线
B．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线
C．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【答案】AD ，
所以将曲线向左平移个单位长度，得，
再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得到曲线；或将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，
再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到．
10．函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最小值为
D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位
【答案】AD
由函数的最大值为，可得，，因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以函数的最小正周期满足，
所以，，
又的图象关于点对称，所以，即，
所以，，
当时，，
所以函数在上单调递增，故A正确；
当时，，
所以直线不是函数图象的对称轴，故B错误；
当时，，，故C错误；
将的图象向右平移个单位可得的函数为：
，
故D正确，
故选AD．
11．已知函数在上是单调函数，且
．则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB 对于A，，若，
，
可取，则，在上单减，故A正确；
对于B，，若，
，
此时可以取，使得函数在单减，故B正确；
对于C，，若，
即，
，故C错误；
对于D，，若，，
，故D错误，
故选AB．
12．设函数，是上的奇函数，若在区间，上单调递减，则的取值可能为
A．6 B．4 C． D．
【答案】
【解答】解：函数，是上的奇函数，
，函数．
若在区间，上单调递减，则在区间，上单调递增，
则，且，，令，可得；
令，可得，
故选：．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知，则与角终边相同的最小正角为_______，最大负角为________.
【答案】
14．设是第一象限角，且，则是第 象限角
【答案】二
【详解】∵是第一象限角，∴，，
∴，，
∴为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴线角，
∵，∴，∴是第二象限角.
15．写出一个图象关于直线x＝2对称且在[0,2]上单调递增的偶函数f(x)＝________.
解析：如f(x)＝cos－x，f(－x)＝＝－cosx＝f(x)，即f(x)为偶函数；由x＝kπ，k∈Z，得x＝2k，k∈Z，当k＝1时，f(x)＝－cosx关于直线x＝2对称；由x∈[0,2]得x∈[0，π]，则由余弦函数的性质可知，函数f(x)＝－cosx在[0,2]上单调递增．故答案为f(x)＝－cosx.
【答案】－cosx(答案不唯一)
16．已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为____________________．
【答案】 ，k∈Z
解析：函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.所以f(x)＝sin＋.
则f＝sin ＋＝.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知角α的终边经过点．
（1）求sinα的值；（2）求的值．
【答案】（1）∵|OP|＝1，∴点P在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－．
（2）原式＝＝，
由余弦函数的定义得cos α＝．故所求式子的值为．
18．（本小题满分12分）已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求的值.
【答案】（1）.
(2) ，因为，所以，可得，结合，，所以.
（3）由（2）得即为，联立，解得，所以.
19. （本小题满分12分）已知函数
（1）求函数的对称轴，对称中心以及单调减区间；
（2）求在上的最值及对应的的值.
【答案】
（1）对称轴：
对称中心：
减区间：
（2）时，取最大值1；
时，取最小值
20. （本小题满分12分）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.
(1)根据条件具体写出关于的函数表达式；
(2)在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？
【答案】
（1）中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即，，，最低点到地面距离为10 m，
所以，，又，则，
所以所求表达式为；
（2），，
取一个周期内，有，，．
所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过85m．
21．（本小题满分12分）函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图像.
（1）当时，求的值域
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值
【答案】
（1）根据图象可知
代入得，，
把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数
，设，则，
此时，所以值域为.
（2）由（1）可知
对任意都有恒成立
令，，是关于的二次函数，开口向上
则恒成立而的最大值，在或时取到最大值
则，，解得
所以，则的最大值为.
22．（本小题满分12分）已知,，函数，
（1）若，，求的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围。
【解析】
(1)依题意得，
，即
，即
由，，得，
（2）即不等式对任意恒成立，
即
下求函数的最小值
令则且
令
1°当上单调递增，
2°当，即时，
3°当
4°当
，所以当时，；当或0<时,南通市重点中学2022-2023学年高一下学期开学考试
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知某扇形的面积为，若该扇形的半径，弧长满足，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）
A． B． C． D．或
2．将函数f(x)＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的(ω＞0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的最小正周期为6π，则( )
A．ω＝ B．ω＝6 C．ω＝ D．ω＝3
3．已知函数（）的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数f(x)＝cos (－2x)，则f(x)在上的单调递减区间是( )
6．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的最小正周期为，若在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知曲线，，则下面结论正确的是（ ）
A．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线
B．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线
C．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
10．函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最小值为
D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位
11．已知函数在上是单调函数，且
．则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
12．设函数，是上的奇函数，若在区间，上单调递减，则的取值可能为
A．6 B．4 C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知，则与角终边相同的最小正角为_______，最大负角为________.
14．设是第一象限角，且，则是第 象限角
15．写出一个图象关于直线x＝2对称且在[0,2]上单调递增的偶函数f(x)＝________.
16．已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为____________________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知角α的终边经过点．
（1）求sinα的值；（2）求的值．
18．（本小题满分12分）已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求的值.
19. （本小题满分12分）已知函数
（1）求函数的对称轴，对称中心以及单调减区间；
（2）求在上的最值及对应的的值.
20. （本小题满分12分）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.
(1)根据条件具体写出关于的函数表达式；
(2)在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？
21．（本小题满分12分）函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图像.
（1）当时，求的值域
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值
22．（本小题满分12分）已知,，函数，
（1）若，，求的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围。
