四川省宜宾市部分中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学（理）试题（Word版含答案）

宜宾市部分中学2022-2023学年高二下学期开学考试
理科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“存在，”的否定是
A．不存在， B．存在，
C．对任意的， D．对任意的，
2．抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
3．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是
A．甲乙两班同学身高的极差相等 B．甲乙两班同学身高的平均值相等
C．甲乙两班同学身高的中位数相等 D．乙班同学身高在以上的人数较多
4．若直线与直线平行，则实数a的值为
A． B． C．2 D．1
5．在区间[－2,2]内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为
A． B． C． D．
6．已知命题，使得；，使得．以下命题为真命题的为
A． B． C． D．
7．圆与圆的位置关系为
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
8．“”是“直线与直线垂直”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9．直线与圆交两点.若，则的面积为
A． B． C． D．
10．在三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的体积为
A． B． C． D．
11．已知抛物线）的焦点为，准线为l，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则p=
A．1 B． C．2 D．3
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列结论正确的有（ ）个．
①；②为定值；③双曲线的离心率；
④当点异于顶点时，△的内切圆的圆心总在直线上．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知空间向量，若，则实数的值为__________.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为A.若为正三角形，则该椭圆的离心率为______.
15．已知实数a，b，c满足，则的最小值是______.
16．已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为___．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准吨，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照,,分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中的值；
(2)设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，并说明理由．
18．（12分）已知圆的圆心在直线上，经过点，且与直线相切.
（1）求的标准方程；
（2）直线与相交于两点，求的面积.
19．（12分）某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数与年份代号之间的关系统计表.
年份代号 1 2 3 4 5
高考人数（千人） 35 33 28 29 25
（其中2018年代号为1，2019年代号为2，…2022年代号为5）
(1)求关于的线性回归方程；
(2)根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数；
(3)试分析该市参加高考人数逐年减少的原因.
（参考公式：）
20．（12分）如图，在五面体中，，，，，P， O分别为CD，AP的中点，二面角的大小为．
(1)证明：平面；
(2)求平面ADF平面BCE成二面角的正弦值．
21．（12分）已知平面上动点P到定点的距离比P到直线的距离大1.记动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点的直线交曲线C于A、B两点，点A关于x轴的对称点是D，证明：直线恒过点F.
22．（12分）已知椭圆的右焦点为，点为椭圆上的点，直线过坐标原点，直线的斜率分别为，且
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若且直线与椭圆的另一个交点为Q，问是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.
宜宾市部分中学2022-2023学年高二下学期开学考试
理科数学参考答案：
1．D 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．D 11．D 12．C
13． 14． 15． 16．
17．（1），；
（2）由图可得月均用水量不低于吨的频率为：，
由，得全市居民中月均用水量不低于吨的人数约为万；
（3）由图可得月均用水量低于吨的频率为：；
月均用水量低于吨的频率为：；
则吨．
18．解：（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为;,由题可得，解得，则圆的标准方程为；
（2）如图，可求出圆心到直线的距离，
则半弦长，，
19．（1）设回归方程为，由表中数据知，，.
所以，
所以，所以关于的回归方程.
（2）由（1）得关于的回归方程.
令，（千人），
所以预测该市2023年参加高考的人数为22.8千人.
（3）①该市经济发展速度慢；②该市人口数量减少；③到省会城市求学人数增多.
20．（1）∵，，为的中点，为平行四边形，∴且
∵，∴，则．
又∵，∴，
∴为二面角的平面角，∴
又∵，∴为等边三角形，∵为的中点，则，
又∵，，平面，，∴平面，
∵平面，∴，
平面，，∴平面.
（2）设的中点为，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，，， ，，.

设平面的一个法向量为 ，则
，令，则， ．
设平面的一个法向量为 ，则
，令，则， .
∴ ∴所求二面角的正弦值为 .
21．解：（1）不难发现，点P在直线的右侧，
∴P到的距离等于P到直线的距离.
∴P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为.
（2）设直线的方程为，
联立，得，，解得或.
∴，.
又点A关于x轴的对称点为D，
则直线的方程为
即
令，得.
∴直线恒过定点，而点.
22．解：(1)设 ，则，
由，可得， 即，
又直线的斜率分别为，且，
所以，所以 ，
又， 所以， 故椭圆的方程为；
(2)设直线的方程为，则直线的方程为，
由 可得，
设， 则，
，
所以
，
由 可得，
所以，
故 为常数．