四川省宜宾市部分中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学（文）试题（Word版含答案）

宜宾市部分中学2022-2023学年高二下学期开学考试
文科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“存在，”的否定是
A．不存在， B．存在，
C．对任意的， D．对任意的，
2．抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
3．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是
A．甲乙两班同学身高的极差相等 B．甲乙两班同学身高的平均值相等
C．甲乙两班同学身高的中位数相等 D．乙班同学身高在以上的人数较多
4．若直线与直线平行，则实数a的值为
A． B． C．2 D．1
5．在区间[－2,2]内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为
A． B． C． D．
6．已知命题，使得；，使得．以下命题为真命题的为
A． B． C． D．
7．圆与圆的位置关系为
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
8．“”是“直线与直线垂直”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9．直线与圆交两点.若，则的面积为
A． B． C． D．
10．若，，，则的最小值为
A． B． C．6 D．
11．在三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的体积为
A． B． C． D．
12．是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若实数，满足约束条件则的最小值为___________.
14．双曲线的焦距为______．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为A.若为正三角形，则该椭圆的离心率为______.
16．已知圆，直线与圆相交于点，且，则弦的长度为____
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准吨，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照,,分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中的值；
(2)设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，并说明理由．
18．（12分）已知圆的圆心在直线上，经过点，且与直线相切.
（1）求的标准方程；
（2）直线与相交于两点，求的面积.
19．（12分）某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数与年份代号之间的关系统计表.
年份代号 1 2 3 4 5
高考人数（千人） 35 33 28 29 25
（其中2018年代号为1，2019年代号为2，…2022年代号为5）
(1)求关于的线性回归方程；
(2)根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数；
(3)试分析该市参加高考人数逐年减少的原因.
（参考公式：）
20．（12分）如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体和.
(1)求证：；
(2)若，求四面体的体积.
21．（12分）已知平面上动点P到定点的距离比P到直线的距离大1.记动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点的直线交曲线C于A、B两点，点A关于x轴的对称点是D，证明：直线恒过点F.
22．（12分）椭圆的左顶点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程.
宜宾市部分中学2022-2023学年高二下学期开学考试
文科数学参考答案：
1．D 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．B 11．D 12．D
13． 14． 15． 16．
17．（1），；
（2）由图可得月均用水量不低于吨的频率为：，
由，得全市居民中月均用水量不低于吨的人数约为万；
（3）由图可得月均用水量低于吨的频率为：；
月均用水量低于吨的频率为：；
则吨．
18．解：（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为;,由题可得，解得，则圆的标准方程为；
（2）如图，可求出圆心到直线的距离，
则半弦长，，
19．解（1）设回归方程为，由表中数据知，
，.
所以，
所以，
所以关于的回归方程.
（2）由（1）得关于的回归方程.
令，（千人），
所以预测该市2023年参加高考的人数为22.8千人.
（3）①该市经济发展速度慢；②该市人口数量减少；③到省会城市求学人数增多.
20．（1）证明：因为与共面，所以连接与相交于点，
因为和是相同的正四面体，所以四边形为菱形，则为的中点，
连接，，因为，，所以，
又因为，所以平面，所以；
（2）解：在四边形中，过点分别作，垂足分别为，
如图所示，可得分别为等边和等边的中心，
因为，在等边中，可得，则，，
在直角中，可得，
同理可得，所以，
由（1）知，平面，可得平面，
所以.
21．解：（1）不难发现，点P在直线的右侧，
∴P到的距离等于P到直线的距离.
∴P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，∴曲线C的方程为.
（2）设直线的方程为，
联立，得，，解得或.
∴，.
又点A关于x轴的对称点为D，则直线的方程为
即
令，得.∴直线恒过定点，而点.
22．(1)由题意知：，则，故椭圆的方程为；
(2)设，又，故，又直线经过点，故的方程为，
联立椭圆方程可得，显然，，
则，
又，由，可得，
解得或，
故直线的方程为或.