22-23学年宿松县中高一（上）期末数学试卷
一．单选题（共8小题）
1．单位圆上一点P从（0，1）出发，逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B． C． D．120
3．已知实数x＞0＞y，且，则x﹣y的最小值是（ ）
A．21 B．25 C．29 D．33
4．已知函数f（x）＝lg[x2﹣2（a﹣1）x+5]在区间（1，+∞）上有最小值，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．函数y的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的图象关于点对称
C．是偶函数
D．f（x）在区间上单调递增
7．已知函数f（x）＝x，g（x）＝2x+a，若， x2∈[2，3]，使得f（x1）≤g（x2），则实
数a的取值范围是（ ）
A． B． C．[﹣3，+∞） D．[1，+∞）
8．设函数f（x），若f（x）﹣b＝0有三个不等实数根，则b的取值范围是（ ）
A．（0，10] B．（，10] C．（1，+∞） D．（1，10]
二．多选题（共4小题）
（多选）9．下列说法正确的是（ ）
A．若sinα cosα＞0，则α为第一象限角
B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是﹣30°
C．终边经过点（a，a）（a≠0）的角的集合是
D．在一个半径为3cm的圆上画一个圆心角为30°的扇形，则该扇形面积为
（多选）10．已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足0．若a，b∈R，且f（a）+f（b）的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A．a+b＞0，ab＜0 B．a+b＜0，ab＞0 C．a+b＜0，ab＜0 D．以上都可能
（多选）11．下列说法中正确的是（ ）
A．已知函数y＝loga（2﹣ax）（a＞0且a≠1）在（0，1）上是减函数，则a的取值范围是（1，2）
B．在同一直角坐标系中，函数y＝log2x与y＝logx的图像关于y轴对称
C．在同一直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称
D．已知定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）内有1010个零点，则函数f（x）的零点个数为2021
（多选）12．已知正数x，y满足x+y＝2，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是4 B．最小值为﹣1
C．x2+y2的最小值是2 D．x（y+1）的最大值是
三．填空题（共4小题）
13．已知函数是定义在（0，+∞）上的增函数，则a的取值范围是 ．
14．函数y＝tan（2x）+1的图象的对称中心的坐标为 ．
15．若函数f（x）＝loga（2x﹣ax2）在区间上为减函数，则a的取值范围是 ．
16．关于函数有下列命题，其中正确的是 ．（填序号）
①y＝f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；
②y＝f（x）的图象关于直线x对称；
③y＝f（x）的图象关于点对称；
④y＝f（x）的表达式可改写为．
四．解答题（共6小题）
17．已知集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣a+1）≤0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}．
（1）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（2）设命题p： x∈B，x2+（2m+1）x+m2﹣m＞8，若命题p为假命题，求实数m的取值范围．
18．已知α是第四象限角．
（1）若cosα，求的值；
（2）若5sin2α+5sinαcosα+1＝0，求tanα的值．
19．已知函数f（x）＝2sin（x）．
（1）求f（x）的最小正周期及其单调递增区间；
（2）若x∈[﹣π，π]，求f（x）的值域．
20．已知函数．
（1）证明函数f（x）为奇函数；
（2）解关于t的不等式：f（3t﹣1）+f（2﹣t）＜0．
21．某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）与k（p＞0，k＞0）可供选择．
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
（2）求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．
22．已知函数f（x）＝log2 log2．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若f（x1）＝f（x2）＝m，且x2＞4x1＞0，求实数m的取值范围．22-23学年宿松县中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】点P从点（0，1）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx＝150°（O为坐标原点），
所以Q点坐标为（cos150°，sin150°），即为（，）．
故选：D．
2．【解答】解：圆心角α．
故选：A．
3．【解答】解：∵x＞0＞y，∴x+2＞0，1﹣y＞0，
∴x﹣y＝（x+2）+（1﹣y）﹣3＝6（）[（x+2）+（1﹣y）]﹣3＝6（2）﹣321，当且仅当，即x＝10，y＝﹣11时，等号成立，
∴x﹣y的最小值是21．
故选：A．
4．【解答】解：令t（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+5，为开口向上的抛物线，对称轴为x＝a﹣1，
函数f（x）＝lg[x2﹣2（a﹣1）x+5]在区间（1，+∞）上有最小值，
则t（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+5在区间（1，+∞）上先减后增，
所以，解得2＜a1，
即a的取值范围是（2，1）．
故选：A．
5．【解答】解：函数的定义域为R，
∵f（﹣x）f（x），
∴函数y＝f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD，
当x→+∞时，y＝f（x）→0，故排除B．
故选：A．
6．【解答】解：∵，
∴f（）＝cos（）＝0≠±1，
∴f（x）的图象不关于直线对称，A错误；
又f（）＝cos0＝1，
∴f（x）的图象不关于点对称，B错误；
又f（x）＝cos[2（x）]＝cos2x为偶函数，C正确；
∵当x∈时，2x∈[，]，
∴在区间上不单调，D错误；
故选：C．
7．【解答】解：依题意，f（x1）min≤g（x2）max，
而函数f（x）在上单调递减，则f（x1）min＝f（1）＝5，
函数g（x）在[2，3]上单调递增，则，
所以8+a≥5，解得a≥﹣3，
所以实数a的取值范围为[﹣3，+∞）．
故选：C．
8．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
f（x）﹣b＝0有三个不等实数根，即函数y＝f（x）的图象与y＝b有3个不同交点，
由图可知，b的取值范围是（1，10]．
故选：D．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：A．若sinα cosα＞0，则α为第一象限角或第三象限角，错误；
B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是﹣30°，正确；
C．终边经过点（a，a）（a≠0）的角的终边再直线y＝x上，故角的集合是{α|αkπ，k∈Z}，正确；
D．弧长l3，扇形面积为，故错误；
故选：BC．
10．【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，
∴m2﹣m﹣1＝1，
解得m＝﹣1或m＝2，
若m＝﹣1，则f（x）＝x﹣3，
不符合题意；
若m＝2，则f（x）＝x3，
符合题意；
故f（x）＝x3，
则f（x）在R上是增函数，且是奇函数；
对于选项A，∵a+b＞0，
∴a＞﹣b，
∴f（a）+f（b）＝f（a）﹣f（﹣b）＞0，
故不符合题意；
对于选项B，当a＝b＝﹣1时，
a+b＜0，ab＞0，
且f（a）+f（b）＝﹣2＜0，
当a＝﹣2，b＝1时，
a+b＜0，ab＜0，
且f（a）+f（b）＝﹣8+1＝﹣7＜0，
故符合题意；
对于选项C，当a＝﹣2，b＝1时，
a+b＜0，ab＜0，
且f（a）+f（b）＝﹣8+1＝﹣7＜0，
故符合题意；
对于选项D，显然不符合题意；
故选：BC．
11．【解答】解：∵a＞0，∴t＝2﹣ax单调递减，
要使函数y＝loga（2﹣ax）（a＞0且a≠1）在（0，1）上是减函数，
则，得1＜a≤2，∴a的取值范围是（1，2]，故A错误；
∵y＝logx＝﹣log2x，∴在同一直角坐标系中，函数y＝log2x与y＝logx的图像关于x轴对称，故B错误；
∵函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，∴在同一直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，故C正确；
已知定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）内有1010个零点，则函数f（x）在（0，+∞）内有1010个零点，
又f（0）＝0，则函数f（x）的零点个数为2021，故D正确．
故选：CD．
12．【解答】解：对于A，∵x＞0，y＞0，且x+y＝2，
∴（x+y）（）（2）2，当且仅当，即x＝y＝1时，等号成立，
∴的最小值为2，故A错误，
对于B，∵x＞0，y＞0，且x+y＝2，
∴y＝2﹣x，
∴x﹣23＝﹣1，当且仅当，即x＝0时，等号成立，
显然x＝0不成立，所以y的最小值取不到﹣1，故B错误，
对于C，由得，x2+y2≥2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，
即x2+y2的最小值是2，故C正确，
对于D，x（y+1），当且仅当x＝y+1且x+y＝2，即x，y时，等号成立，
即x（y+1）的最大值是，故D正确，
故选：CD．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：因为函数是定义在（0，+∞）上的增函数，
所以，解得2≤a＜3，
即a的取值范围是[2，3）．
故答案为：[2，3）．
14．【解答】解：令，解得x，k∈Z，
故函数的对称中心为，k∈Z．
故答案为：，k∈Z．
15．【解答】解：由题意可得a＞0且a≠1，
令2x﹣ax2＝0，可得x1＝0，x2，
所以函数的定义域为（0，），
由二次函数的性质可知：t＝2x﹣ax2在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，
又因为当a＞1时，y＝logat在定义域上单调递增，此时f（x）＝loga（2x﹣ax2）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，
所以，1≤a，所以1＜a；
又因为当0＜a＜1时，y＝logat在定义域上单调递减，此时f（x）＝loga（2x﹣ax2）在（0，）上单调递减，在（，）上单调递增，
所以，解得a，所以0＜a；
综上所述，a的取值范围为：（0，]∪（1，）．
故答案为：（0，]∪（1，）．
16．【解答】解：由于f（x）＝4sin（2x）＝4sin[（2x）]＝4cos（2x），故④正确；
故最小正周期为π，①错误；
当x时，2，故②错误，
当x时，2×（）0，故③正确
故答案为：③④．
四．解答题（共7小题）
17．【解答】解：（1）A＝{x|（x﹣a）（x﹣a+1）≤0}＝{x|a﹣1≤x≤a}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，
∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，∴，解得a∈（﹣1，1）；
（2）由题知：￢p： x∈B，x2+（2m+1）x+m2﹣m≤8为真命题，
设g（x）＝x2+（2m+1）x+m2﹣m﹣8，则，解得，
∴m∈[﹣1，2]．
18．【解答】解：（1）α是第四象限角．sinα，
∴tanα2，则原式；
（2）∵5sin2α+5sinαcosα+1＝0，∴sin2α+sinαcosα，
∴，∴tanα或tanα．
19．【解答】解：（1）∵f（x）＝2sin（x），
∴f（x）的最小正周期T．
由2kπ，得，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z；
（2）∵﹣π≤x≤π，∴，则，
∴，
∴．
即．
∴f（x）的值域为[]．
20．【解答】解：（1）证明：因为函数，则f（﹣x）f（x），
则函数为奇函数，
（2）由1，得函数f（x）为定义域上的增函数，
又f（3t﹣1）+f（2﹣t）＜0，即f（3t﹣1）＜﹣f（2﹣t），即f（3t﹣1）＜f（t﹣2），
则3t﹣1＜t﹣2，得t，
故不等式的解集为（）．
21．【解答】解：（1）由题意知，x＝2时，y＝24；x＝3时，y＝36，
若选择函数模型y＝kax（k＞0，a＞1），则，解得a，k，
所以y （）x；
若选择函数模型k（p＞0，k＞0），则，解得k＝﹣120，与k＞0相矛盾，舍去，
综上所述，
选择函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）更合适，该函数模型为y （）x，x∈[1，12]，且x∈N*．
（2）当x＝0时，y，
令y （）x＞10 ，则（）x＞10，即x105.88，
因为x∈N*，所以x≥6，
故治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是6月份．
22．【解答】解：（1）易知f（x）的定义域为x∈（0，+∞），设log2x＝t∈R，
则f（x）＝log2 log2（log2x﹣1）（log2x﹣2）＝（t﹣1）（t﹣2）＝（t）2，
∴f（x）的值域为[，+∞）；
（2）设log2x1＝t1，log2x2＝t2，因为x2＞4x1＞0，所以log2x2＞log2x1+2，即t2＞t1+2，
则g（t）＝（t﹣1）（t﹣2）＝m的两根为t1，t2，整理得t2﹣3t﹣m+2＝0，
Δ＝9﹣4（2﹣m）＞0，解得m，
∴t1+t2＝3，t1 t2＝2﹣m，
∴t2＝3﹣t1＞t1+2，
∴t1，
t1 t2＝t1 （3﹣t1）＝﹣t12+3t1＝﹣（t1）22﹣m，
解得m∈（，+∞），
∴实数m的取值范围为（，+∞）．
