湖北省襄阳市襄州区第一高级中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题（Word版含答案）

襄州区第一高级中学2022-2023学年高三下学期开学考试 数学试题
一、单选题
1.在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知函数，则的图象（ ）
A.关于直线对称 B.关于点对称
C.关于直线对称 D.关于原点对称
4.斐波那契数列因数学家莱昂纳多·斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义:：数列满足，，若从该数列前10项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知正数满足，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，已知四面体中，分别是的中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（ ）
A.1 B. C.2
二、多选题
9.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件为“恰有两名同学所报项目相同”，事件为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）
A.四名同学的报名情况共有34种
B. “每个项目都有人报名”的报名情况共有72种
C. “四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D.
10.己知直线与圆相交于，两点，则（ ）
A.直线恒过点 B.当时，圆关于直线对称
C.的取值范围为 D.若，则
11.如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筺宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线
的右支与直线围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线与坐标轴交于，则（ ）
A.双曲线的方程为
B.双曲线与双曲线共渐近线
C.存在一点，使过该点的任意直线与双曲线有两个交点
D.存在无数个点，使它与，两点的连线的斜率之积为3
12.已知函数，是的导数，下列说法正确的是（ ）
A.曲线在处的切线方程为
B.在上单调递增，在上单调递减
C.对于任意的总满足
D.直线与在上有一个交点且横坐标取值范围为
三、填空题
13.直线与直线的夹角大小为______.
14.方程在区间上的解为______
15.柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体.柏拉图视“四古典元素”中的火元素为正四面体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为正六面体.如图，在一个棱长为的正八面体（正八面体是每个面都是正三角形的八面体）内有一个内切圆柱（圆桂的底面与构成正八面体的两个正四棱雉的底面平行），则这个圆柱的体积的最大值为_______.
16.若定义在上的函数满足，且恰有个根，，则数列的前项和______.
四、解答题
17.在中，分别为角的对边，.
（1）求A；
（2）若角的平分线交于，且，，求.
18.在数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
19.如图，四棱雉中，平面平面为正三角形，底面为等腰梯形，，.
（1）求证:平面;
（2）若点为线段上靠近点的三等分点，求二面角的大小.
20.如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格，抛掷一个质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机在原地不动;若抛出的点数为3，4，飞机向前移一格；若抛出的点数为5，6，飞机向前移两格.记抛掷骰子一次后，飞机到达1号格为事件A.记抛掷骰子两次后，飞机到达2号格为事件.
0 1 2 3 4 5 …
（1）求；
（2）判断事件是否独立，并说明理由；
（3）抛掷骰子2次后，记飞机所在格子的号为，求随机变量的分布列和数学期望.
21.已知抛物线上一点到准线的距离为4，焦点为，坐标原点为，直线与抛物线交于两点（与点均不重合）.
（1）求抛物线的方程；
（2）若以为直径的圆过原点，求与的面积之和的最小值.
22.已知函数
（1）证明：
（2）若，求实数的取值范围.
数学试题参考答案
BBAD CCBA 9. 10. 11. 12.
13. 14.或 15. 16.
17.（1）.（2）因为角的平分线交于，且，
由角平分线定理得：，又，
即，
所以，即，所以，，
由余弦定理得，，所以.
18.（1）解：因为，（1）则当时，，即，
当时，，②①-②得，所以，
也满足，故对任意的，.
（2）证明：
，
所以
.
19.（1）取中点，连接，
根据梯形性质和可知，，且，
于是四边形为平行四边形，故，
则为等边三角形，故，
在中，由余弦定理，
，故，注意到
，由勾股定理，，即，
由平面平面，平面平面，平面，
根据面面垂直的性质定理可得，平面.
（2）过作，垂足为，连接，
由平面平面，平面平面，平面，
根据面面垂直的性质定理，平面，为正三角形，，故（三线合一），由和中位线性质，，由（1）知，平面，故平面，于是两两垂直，故以为原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知，平面，
又轴，故可取为平面的法向量，
又，，根据题意，，
设，则，解得，
又，，
设平面的法向量，由，即，
于是为平面面的法向量，故的范围是，
结合图形可知是锐二面角，故二面角的大小为.
20.（1）由题意，因为飞机每前移一格的概率为，故；
（2）由题意，A事件抛掷 子一次后，飞机到达1号格，只能是前移了1格；
B事件抛狟骰子两次后，飞机到达2号格可能前移了两次一格，或一次前移两格一次原地不动.
故，，
因此，所以事件，相互独立.
（3）随机变量的可能取值为，
，，
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
所以.
21.（1）解：.
（2）解：若直线垂直于轴，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
不妨设直线的方程为，设点、，
联立可得，则，
由韦达定理可得，，
所以，
∵，解得，
所以，直线的方程为，直鈛过定点，则，
不妨设，则，则，，
所以，
当且仅当时，即当吋，等号成立，因此面积之和的最小值为.
22.（1）由题意在中在中，
，当吋，解得
∴函数在即时，单调递减，在即时，单调递增，
∴函数在处取最小值，为：
∴.
（2）由愿意及（1）得，在中，，
即
化筒得：在中
在中，
∴函数在定义域上单调递增
在中，∵
，
∴使得
∴当时，，函数単调递减，
当时，，函数单调遙增，
在中，
，
在中，
当时解得
当即时，函数单调递增
当即时，函数单调递减
∴函数在上单调増加
∴即
∴，
∴函数在处取最小值，为：
∴，
∴实数的取值范围为.