高中数学北师大（2019）必修第二册限时训练——1.2任意角2（含解析）

一、单选题
1．已知α为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
2．已知点在第一象限，则在内的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．角是第二象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第三、四象限
6．在区间范围内，与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列表述正确的是（ ）
A．命题：，的否定是：，
B．是命题：，为真命题的充分必要条件
C．图象连续的函数在区间内有零点，则必有
D．若是第二象限角，则为第一或第三象限角
8．如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
三、解答题
9．（1）如果角的终边在第二象限，讨论的终边所在的位置；
（2）由此可否得出在其他几个象限的结论？请画出的终边在第一 二 三 四象限时，的终边所在的位置；
（3）类似地讨论的位置(可设在第一象限，讨论终边的位置，并写出其他几个象限的情形).
10．已知角β的终边在直线x－y＝0上.
①写出角β的集合S；
②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素.
11．若是第一象限角，问，，是第几象限角？
12．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限．
【详解】由已知为第三象限角，则
则
当时
，此时在第二象限.
当时,
，此时在第四象限.
故选： D
2．B
【解析】由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质求解，结合，求出角的取值范围．
【详解】由已知点在第一象限得：
，，即，，
当，可得，．
当，可得或，．
或，．
当时，或．
，
或．
故选：B．
【点睛】本题的考点是利用三角函数性质求三角函数的不等式，需要根据题意列出三角函数的不等式，再由三角函数的性质求出解集，结合已知的范围再求出交集，属于中档题．
3．D
【分析】考虑中角的终边的位置，再考虑中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.
【详解】. 表示终边在直线上的角，
表示终边在直线上的角，
而 表示终边在四条射线上的角，
四条射线分别是射线 ，
它们构成直线、直线，故.
故选：D.
【点睛】本题考查终边相同的角，注意的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题.
4．A
【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.
【详解】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．
故选：A
5．A
【分析】表示出在第二象限的集合，再求所在象限的集合即可
【详解】由题可知，故，
当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第三象限.
故所在象限是第一或第三象限.
故选：A
【点睛】思路点睛：本题考查所在象限的判断，常规思路为：先表示出所在象限集合，再求对应集合，结合具体值综合分析
6．D
【分析】对变形，然后利用终边相同的定义可判断.
【详解】因为，
所以与终边相同，
故选：D.
7．ABD
【分析】对于A，根据含有一个量词的命题的否定方法求解即可；
对于B，利用二次函数恒成立的解法求解即可；
对于C，举反例排除即可；
对于D，利用任意角的定义，分类讨论与即可判断.
【详解】对于A，特称命题的否定步骤为：改量词，否结论，
所以命题：，的否定是：，，故A正确；
对于B，先证命题：，为真命题：
因为，
所以当时，可化为，显然恒成立；
当时，，所以开口向下，与轴没有交点，即恒成立；
所以命题：，为真命题；
再证命题：，为真命题：
因为命题：，为真命题，
当时，可化为，显然恒成立，满足题意；
当时，，即，解得，
综上：，
所以是命题：，为真命题的充分必要条件，故B正确；
对于C，令，易知在区间内有零点，但，故C错误；
对于D，因为是第二象限角，所以，则，
当时，，则是第一象限角；
当时，，则是第三象限角；
所以为第一或第三象限角，故D正确.
故选：ABD.
8．ACD
【分析】先写出角的范围，再除以，从而求出角的范围，分析即得解
【详解】是第三象限的角，则，，
所以，；
当，，在第一象限；
当，，在第三象限；
当，，在第四象限；
所以可以是第一、第三、或第四象限角．
故选：ACD
9．（1）第一象限或第三象限；（2）可得出，图像见解析；（3）的终边在第一象限，的终边在第一或第二或第三象限；的终边在第二象限，的终边在第一或第二或第四象限；的终边在第三象限，的终边在第一或第三或第四象限；的终边在第四象限，的终边在第二或第三或第四象限；
【分析】（1）当角的终边在第二象限，得，则，分k是奇数和是偶数进行讨论；
（2）确定的终边在第一、二、三、四象限时，得出的范围，进而确定的终边所在的位置，结合象限，画出图形即可；
（3）同理（1）（2），讨论的终边位置.
【详解】（1）由角的终边在第二象限，得，则，
当k为奇数时，的终边在第三象限，当k为偶数时，的终边在第一象限.
（2）由（1）可得，当的终边在第一、二、三、四象限时，的终边分别在第一或第三、第一或第三、第二或第四、第二第四象限，如图：
终边在第一象限 终边在第二象限 终边在第三象限 终边在第四象限
（3）当的终边在第一象限时，即，，则，
当时，的终边在第一象限；
当时，的终边在第二象限；
当时，的终边在第三象限；
的终边在第一或第二或第三象限，
推广可知：当的终边在第二象限时，的终边在第一或第二或第四象限；
当的终边在第三象限时，的终边在第一或第三或第四象限；
当的终边在第四象限时，的终边在第二或第三或第四象限
【点睛】方法点睛：本题考查已知，推导象限角的方法，常规解法为：写出已知角的范围表达式，再求出对应范围表达式，讨论取1、2、3、4、…时终边对应象限角的分布情况，然后总结出一般规律.
10．①{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}；②-300°，－120°，60°240°，420°，600°.
【分析】①直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，表示出角β的集合即可；②由①中β的集合S，结合－360°≤β<720°，可得到答案．
【详解】①如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.
②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，
解得，n∈Z，所以n可取－2、－1、0、1、2、3.
所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；
60°－0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°.
【点睛】本题考查了终边相同的角的表示，考查了直线的倾斜角，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于基础题．
11．是第四象限角；是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；是第一、二或第三象限角．
【分析】根据已知写出角的取值集合，再分别求出，，集合即可得到答案．
【详解】因为是第一象限角，所以，
所以，
所以所在区域与范围相同，故是第四象限角；
，
所以所在区域与范围相同，故是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；
．
当时，，所以是第一象限角；
当时，，所以是第二象限角；
当时，，所以是第三象限角．
综上可知：是第一、二或第三象限角．
【点睛】方法点睛：若已知角是第几象限角，判断等是第几象限角，主要方法是解不等式并对进行分类讨论，考察角的终边的位置．
12．(1)；(2).
【详解】试题分析：
(1)与330°角的终边相同的角的弧度制为，且，据此可得终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为；
(2)由题意可知：，则终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
试题解析：
(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，而75°＝75×＝，
所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
(2)如题图②，因为30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，
因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，
又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，
从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
点睛：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合： .即任何一个与角的终边相同的角都可以表示为角与周角的整数倍的和.
答案第1页，共2页
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