高中数学北师大（2019）必修第二册限时训练——1.3弧度制1（含解析）

一、单选题
1．已知扇形的周长为7，面积为3，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
2．给出下列四个命题:
①-75°是第四象限角；
②小于的角是锐角；
③第二象限角比第一象限角大；
④一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度.
其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
4．二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知边长为的等边的外接圆圆心为O，则所对的劣弧长为（ ）
A． B． C． D．
6．我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．若且与角的终边垂直，则是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法错误的是（ ）
A．与735°终边相同的角是15°
B．若一扇形的圆心角为15°，半径为3cm，则扇形面积为
C．设是锐角，则角为第一或第二象限角
D．设是第一象限，则为第一或第三象限角
三、填空题
9．折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l，扇形所在的圆的半径为r，当l与r的比值约为2.4时，折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______．
10．若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是___________
11．“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为，墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.
12．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点)开始计时，则点P第一次到达最高点需要___________秒.
四、解答题
13．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.
(1)若，，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值.
14．写出终边在第一、第三象限角平分线上的角的集合．
15．在半径为的圆中，一个扇形的周长等于半圆的弧长．求此扇形的圆心角的大小及扇形的面积．
16．已知．
(1)把表示成的形式，其中，；
(2)求，使与的终边相同，且．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】由已知，设出扇形的半径和弧长，然后根据扇形周长和面积列出方程组，解出半径和弧长，然后直接计算圆心角的弧度数即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，由题意得，解得或，
故扇形的圆心角的弧度数或 ．
故选：B.
2．A
【分析】利用反例可判断②③的正误，根据1弧度的定义可判断④的正误，根据范围可判断①的正误.
【详解】对于①，因为，故为第四象限角，
对于②③，，故为第二象限角，
但且为第一象限角，故②③错误，
对于④，因为1弧度的圆心角所对的弧长为半径，此时对应的弦长小于半径，故④错误，
故选：A.
3．B
【分析】把圆心角化为弧度，然后由面积公式计算．
【详解】．．
故选：B．
4．B
【分析】根据条件得到运行度数为6×15°，化为弧度即可得解.
【详解】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，
故从立冬到立春相应于地球在黄道上逆时针运行了，
所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为.
故选：B
5．D
【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据弧长公式求解即可
【详解】因为边长为的等边的外接圆圆心为O，则O为等边的中心，故，且，故所对的劣弧长为
故选：D
6．A
【分析】依题意分别求得，，进而由扇形的面积减去扇形的面积可得结果.
【详解】根据题意，则，，则，
所以扇面的面积.
故选：.
7．AD
【分析】首先求出与角共终边的角，再根据已知条件即可求解.
【详解】由题意，易知，，
∵与角的终边垂直，
∴，即，或，，
对于选项A：，，故A正确；
对于选项B：，可知，；
，可知，，故B错；
对于选项C： ，可知，；
，可知，，故C错；
对于选项D：，可知，，故D正确.
故选：AD.
8．ABC
【分析】令终边相同的角的关系可判断A，利用角的范围或特例可判断CD的正误，利用公式计算扇形的面积后可判断B.
【详解】对于A，，故与终边也相同，故A错误.
对于B，扇形面积为，故B错误.
对于C，如果，则，此时为轴线角，故C错误.
对于D，因为是第一象限，故，
故，故为第一或第三象限角，故D正确.
故选：ABC.
9．1080
【分析】首先求出弧长，再根据扇形面积公式计算可得；
【详解】解：依题意，，所以，所以；
故答案为：
10．
【分析】根据所给弦长，圆心角求出所在圆的半径，利用扇形面积公式求解.
【详解】由弦长为2，圆心角为2可知扇形所在圆的半径，
故，
故答案为：
11．##
【分析】计算，再利用扇形的面积公式求解.
【详解】由题意可知，圆的半径为，即，
又，所以为正三角形，∴，
所以扇形的面积是.
故答案为：
12．20
【分析】根据题意，计算弧占圆周的比例即可得答案.
【详解】如图，根据题意得，
所以在中，，
所以，故弧的长为三分之一的圆周长，
又因为水轮每60秒逆时针转动一圈，
所以当水轮上点P从水中浮现时(图中点P)开始计时，则点P第一次到达最高点需要20秒.
故答案为：20
13．(1)；
(2)当时，扇形面积最大值.
【分析】（1）利用扇形弧长公式直接求解即可；
（2）根据扇形周长可得，代入扇形面积公式，由二次函数最值可确定结果.
【详解】（1），扇形的弧长；
（2）扇形的周长，，
扇形面积，
则当，，
即当时，扇形面积最大值.
14．
【分析】当角的终边在第一象限的平分线上时，则，，当角的终边在第三象限的平分线上时，则，，问题得以解决．
【详解】终边在第一象限角平分线上的角表示为，终边在第三象限角平分线上的角表示为．因为，，所以终边在第一、第三象限角平分线上的角的集合为
15．圆心角的大小，扇形的面积.
【分析】设扇形圆心角的弧度数为，根据已知条件可得出关于的等式，求出的值，利用扇形的面积公式可求得结果.
【详解】设扇形圆心角的弧度数为，则，可得，
故该扇形的面积为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）将直接表示为的形式，其中，；
（2）设，由可求得的值，即可得解.
（1）
解：.
（2）
解：，设，
由可得，解得，
，则，故.
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