高中数学北师大（2019）必修第二册限时训练——1.3弧度制2（含解析）

一、单选题
1．已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．若扇形的周长为定值，圆心角为，则当扇形的面积取得最大值时，该扇形的圆心角的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知平面上的线段l及点P，任取l上的一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作，若曲线C是边长为4的等边三角形，则点集所表示的图形面积为（ ）
A． B．
C． D．
4．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆中作出两个扇形和，用扇环形（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形的面积为，扇形的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形的半径与半圆的半径之比为

A． B． C． D．
5．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形，转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为4，则该“莱洛三角形”的面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，，以为圆心，为半径作圆弧交于点，若弧等分的面积，且弧度，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．函数在定义域内为单调递减函数
B．函数与函数的图象关于直线对称
C．已知是第一象限角，那么是第一、三象限的角
D．已知扇形的周长为定值，面积为S，则扇形面积S最大时，扇形的弧所对圆心角为
8．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）
A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B．经过 s后，扇形AOB的弧长为
C．经过s后，扇形AOB的面积为
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
三、填空题
9．某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.是一个以点O为圆心 长为直径的半圆，.的圆心为P，.与所围的灰色区域即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________.
10．我国古代数学著作《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢）.如图所示的弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有一圆弧所对圆心角为，弧长为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是______.
11．已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.
12．已知扇形的圆心角为，弧长为，则其面积为___________.
四、解答题
13．已知一个扇形的周长为，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.
14．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大 并求出最大值．
15．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
（1） ；
（2）
16．已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min，小轮的半径为10cm，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据周长建立弧长与半径间的关系，由扇形面积公式可得,利用二次函数求最值,并求出S最大时对应的圆心角即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，
所以，
扇形面积，
当时，有最大值，此时圆心角，
故选：D
2．B
【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，将面积写成关于的表达式，再利用二次函数性质即可求得结果.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，
因此，
扇形的面积，
由二次函数性质可知，当时，扇形面积取到最大值；
此时，.
故选：B
3．B
【分析】根据条件可画出满足题意的点集所表示的图形，分别求解区域各个构成部分的面积，进而即得.
【详解】由题意，点集D所表示的图形如图，是边长为4的正三角形，
其中，，，，，
，，
所以扇形的面积为，
，，
，
所以的面积为，
又，
所以四边形的面积为，
又四边形的面积为，
点集所表示的图形面积为：
.
故选：B．
4．B
【解析】扇环形的面积等于扇形的面积减扇形的面积；设半径代入求解.
【详解】设，半圆的半径为，扇形的半径为，
依题意，有，即，
所以，得.
故选：B.
【点睛】本题考查弧度制下扇形面积计算问题.
其解题策思路：
(1)明确弧度制下扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．
5．A
【分析】先根据图形特征求得，从而，再求出扇形ABC的面积，最后根据“莱洛三角形”面积与扇形面积之间的关系求出其面积即可.
【详解】解：由题意可知等边三角形的边长为4，即,
所以扇形ABC的面积等于以A为圆心，为半径的圆的面积的，
故扇形ABC的面积，
又，
该“莱洛三角形”的面积为.
故选：A.
6．B
【分析】分析题意，首先设出扇形的半径，表示出扇形的面积和直角三角形的面积，列方程即可求得.
【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为.
直角三角形POB中，，△POB的面积为.
由题意得，所以.
故选：B
7．BC
【分析】根据单调性判断A选项；根据指数函数与对数函数互为反函数判断B选项；根据角的范围判断C选项；根据扇形面积公式与周长结合二次函数性质求解判断D选项.
【详解】解：对于A选项，函数定义域为，在和上单调递减，在定义域上无单调性，故错误；
对于B选项，指数函数与对数函数互为反函数，图像关于直线对称，故正确；
对于C选项，若是第一象限角，则，故，所以当为偶数时，为第一象限角，为奇数时，为第三象限角，故正确；
对于D选项，由已知，故，所以，故当时，面积最大，此时圆心角，故错误；
故选：BC
8．ABD
【分析】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得.
【详解】经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为，故A正确；
经过 s后，，故扇形AOB的弧长为，故B正确；
经过 s后，，故扇形AOB的面积为，故C不正确；
设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则，解得 (s)，故D正确.
故选：ABD.
9．
【分析】连接，可得，求出，利用割补法即可求出月牙的面积.
【详解】解：连接，可得，
因为，
所以，，
所以月牙的面积为.
故答案为：.
10．
【分析】由条件根据弧长公式求半径，解直角三角形可得弦、矢的值，求出弧田面积.
【详解】如图：
由题意可得，弧的长为，
所以，故，
在中，可得，，，可得矢，
由，可得弦，
所以弧田面积（弦矢矢．
故答案为：.
11．4
【分析】扇形的周长为， ，，转化为同种变量，利用二次函数最值即可求解.
【详解】设扇形半径为cm，弧长为 cm，则，，所以当时， (cm2).
故答案为：4.
12．
【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．
【详解】扇形的圆心角为，弧长为，
则扇形的半径为r，
面积为．
故答案为：．
13．当扇形的圆心角为时，扇形的面积最大，最大值为.
【分析】设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，面积为，可得，由，，可得的范围，根据二次函数的性质求得面积的最大值，再由可得面积取得最大值时的圆心角.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，面积为.
由已知，可得，
所以扇形的面积，
因为，，所以，
所以当时，，此时， 所以，
故当扇形的圆心角为时，扇形的面积最大，最大值为.
14．(1)；
(2)当时，y的值最大，最大值为．
【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式；
(2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值．
【详解】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，
，
．
（2）依据题意，可知，
化简得：，，
当，．
∴当时，y的值最大，且最大值为．
15．（1）；
（2）或.
【分析】由图①可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，由此可求出阴影部分内的角的集合；
由图②可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，由阴影部分内的角的集合为.
【详解】如题图①，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，
所以阴影部分内的角的集合为
；
如题图②，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1=，M2=.
所以阴影部分内的角的集合为
或.
16．小轮转动的角是，弧度，小轮圆周上的点每秒转过的弧长为 cm
【分析】通过相互咬合的两个齿轮转动的齿数相同，得到小轮转动的角度，再通过大轮的转速，得到小轮的转速
【详解】由题意得，相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，
所以当大轮旋转一周时，大轮转了48个齿，小轮转了20齿，
所以小轮转动了周，即，，
所以当大轮的转速为150r/min时，小轮的转速为r/min，
所以小轮圆周上的点每秒转过的弧度数为
，
因为小轮的半径为10cm，
所以小轮圆周上的点每秒转过的弧长
cm
答案第1页，共2页
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