高中数学北师大（2019）必修第二册限时训练——1.5正弦函数与余弦函数图像及性质再认识2（含解析）

一、单选题
1．若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
2．将函数的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0）所得图象关于y轴对称，则a的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数在区间内单调递减.则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．函数（，）的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数，，则下列结论错误的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数
C．不是周期函数 D．不是单调函数
6．已知函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．在区间上单调递增
D．若，则
8．设函数，若在[0，2π]有且仅有5个零点，则（ ）
A．在（0，2π）有且仅有3个极大值点 B．在（0，2π）有且仅有2个极小值点
C．在（0，）单调递增 D．的取值范围是[，）
三、填空题
9．定义在R上的函数满足以下两个性质：①，②，满足①②的一个函数是______.
10．已知函数，当时函数能取得最小值，当时函数能取得最大值，且在区间上单调，则当取最大值时的值为__________.
11．若函数的值域为，则实数的取值范围是________．
12．函数()的值域有6个实数组成，则非零整数的值是_________.
四、解答题
13．设定义域为R的函数（其中意指的正弦值） .
（1）请指出该函数的零点、最大（小）值；
（2）类比“五点作图法”作出该函数在区间上的大致图像；
（3）请指出该函数的奇偶性、单调区间和周期性（不必证明）.
14．已知函数的部分图象如图．
(1)求的解析式及单调减区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
15．已知函数图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）求函数在，上的单调递减区间.
16．已知函数，其中常数.
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图像向左平移个单位，得到函数的图像，且过，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据给定条件，求出的关系式，再求出函数含有数0的单调区间即可判断作答.
【详解】因直线是曲线的一条对称轴，则，即，
由得，则函数在上单调递增，
而函数在区间上不单调，则，解得，
所以的最小值为11.
故选：C
2．C
【分析】由辅助角公式，整理函数解析式，根据平移变换，结合对称性，可得答案.
【详解】函数，
将函数的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），
得到的函数：，∵所得图象关于y轴对称，
∴，解得，
∴a的最小值是．
故选：C．
3．C
【分析】根据已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得解.
【详解】
当且时，，
因为余弦函数的单调递减区间为，
所以，，
所以，，解得，
由，可得，
且，，.
因此，的最大值为.
故选：C
4．A
【分析】由题知，进而得，再根据周期性求解即可.
【详解】由图可得，，所以，即，
所以，
所以，，
所以，
而 ，
所以
故选：A
5．C
【分析】求出函数的值域，判断函数的奇偶性，函数的周期性，以及函数的单调性，即可得到选项．
【详解】解：因为函数，，所以函数的值域为，，A正确．
因为，所以函数是偶函数，B正确．
因为，所以函数是周期函数，C不正确．
因为，不具有单调性，D正确．
故选：C．
6．D
【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再判断在上值的符号作答.
【详解】函数的定义域为R，，即函数是R上的奇函数，B不满足；
而当时，，，选项A，C不满足，选项D符合题意.
故选：D
7．AD
【分析】由图知即可求；根据且求；代入验证并结合正弦函数的单调性判断在上单调性；由代入解析式，利用诱导公式转化函数式判断是否成立.
【详解】由图知：，而，可得，A正确；
∴，又且，有，，又，
∴，即，B错误；
综上，，
∴，则，显然在上不单调，C错误；
若，则，故，D正确.
故选：AD
8．AD
【分析】由求得的范围，结合正弦函数性质得的范围，判断D，利用正弦函数的极大值、极小值判断ABC．
【详解】，时，，
在[0，2π]有且仅有5个零点，则，，D正确；
此时，，时，取得极大值，A正确；
，，即时，时，均取得极小值，B错；
时，，，则，因此在上不递增，C错．
故选：AD．
9．（答案不唯一）
【分析】由性质①易知其奇偶性，再由性质②可知其对称性，由此构造满足的函数.
【详解】因为，所以是在R上的偶函数，由此可联想到余弦型函数；
又因为，所以关于点对称，
而由得，故关于点对称，
令，可得，故满足题意，
所以.
故答案为：（答案不唯一）.
10．
【分析】由题意，函数取最大值与最小值对应自变量之间的距离，可得周期的取值，进而表示出，根据余弦函数在区间上的单调性，表示出的取值范围，由大到小，逐个进行检验，可得答案.
【详解】因为当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，所以可得，
即，解得，即为正偶数，
在上单调，，即，解得，
当时，，且当时，，由，可得，
此时由，即，则在不单调，不满足题意；
当时，，且当时，，由，解得，
此时由，即，则在单调，满足题意；
故的最大值为，此时的值为.
故答案为：.
11．
【分析】由题设知有，要使在上的值域为，则上讨论、判断的值域，进而求参数的范围.
【详解】由解析式知：时，，而函数在上的值域为，
∴在上，
若，则，不合题意；
若，则，即，可得.
∴的范围为.
故答案为：
12．，
【分析】由题设可得最小正周期为，又且值域有6个实数组成，即上一定存在6个整数点，讨论为奇数或偶数，求值即可.
【详解】由题设知：的最小正周期为，又，
∴为非零整数，在上的值域有6个实数组成，即的图象在以上区间内为6个离散点，且各点横坐标为整数，
∴当为偶数，有，即；
当为奇数，有，即；
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的性质可求最小正周期为，结合已知有内有6个整数点，讨论的奇偶性求值.
13．（1），，，；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【分析】(1)根据正弦函数的图像性质，即可求解；
(2) 类比“五点作图法”，列出表格，描点作图即可；
(3)根据(2)中的图象，结合正弦函数图象判断即可.
【详解】(1)当时，，故，.
令，则，，所以，.
(2)列表：
0
0 1 0 -1 0
大致图像为：
.
(3)该函数为偶函数，不是周期函数.
单调增区间：
、、；
单调减区间：
、、.
14．(1)，减区间为
(2)函数在上的最大值为2，最小值为
【分析】（1）利用已知条件求出函数的关系式，从而可求单调减区间；
（2）由（1）得函数，根据的范围，结合余弦函数性质得最值.
【详解】（1）解：由图可知，且，
所以，
所以，
将点代入解析式可得，得
即，又，所以
则
所以的单调减区间满足
解得：
则的单调减区间为：
（2）解：由（1）得：
因为，所以
故当时，；当时，
所以函数在上的最大值为2，最小值为.
15．（1），；（2）单调递减区间为，.
【分析】（1）由最高点坐标求得，由周期求得；
（2）利用正弦函数的单调性求减区间．
【详解】解：（1）函数图象上最高点的纵坐标为2，
，.
且图象上相邻两个最高点的距离为，，.
（2）对于，令，
求得，故函数的单调减区间为，，，
再结合，，
可得函数在，上的单调递减区间为，.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）根据正弦型函数的性质，可得在ω＞0时，区间是函数y＝2sinωx+1的一个单调递增区间，结合已知条件列出一个关于ω的不等式组，解不等式组，即可求出实数ω的取值范围．
（2）由函数的图像变换得，且g（x）的图像过，可解得ω＝2k，k∈Z，结合范围0＜w＜4，可得g（x）的解析式．结合，得，令，参变分离得在恒成立，求出的取值范围即可.
【详解】（1）由题意得，又，得的最小正周期为，
由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值，
∴是函数的一个单调递增区间，
又因为函数()在上单调递增，则，解得.
（2）由（1）得，将函数图像向左平移个单位，得到函数的图像，
即，∵的图像过，∴，
得：，即：，，∴，，∵，∴，
得，，，，
令，参变分离得在恒成立，令，
则函数在上递增，当时，..
【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式．
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或）的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
答案第1页，共2页
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