人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.2.3向量的数乘运算(共18张PPT)

(共18张PPT)
6.2.3向量的数乘运算
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相接，首尾连
特点:同一起点,对角线
B
A
O
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
2.向量加法平行四边形法则:
3.向量减法三角形法则:
回顾旧知
探究新知
思考题1:已知向量 如何作出 和
O
A
B
C
N
M
Q
P
记:
即:
同理可得:
思考题2: 向量 与向量 有什么关系 向量
与向量 有什么关系
(1)向量 的方向与 的方向相同, 向量 的长度是 的3倍,即
(2)向量 的方向与 的方向相反, 向量 的长度是 的3倍,即
1.数乘向量的定义
实数 和向量 的乘积是一个向量，记作 ．
(1) ；
向量 ( ≠ ， ≠0)的长度与方向规定为：
(2) 当 ＞0 时， 与 的方向相同；
当 ＜0 时， 与 的方向相反．
当 ＝0 时，0 ＝ ；当 ＝ 时， ＝ ．
2. 数乘向量的几何意义
巩固新知 任作向量 ，再作出向量－3 ， ， ，
把向量 沿着 的方向或反方向长度放大或缩小．
并说出它们的几何意义．
探究新知
3. 数乘向量运算律： 设 、 R，有
请观察数乘向量运算律与实数乘法运算律有什么相似之处？
向量的加法、减法和向量的数乘运算称为向量的线性运算
探究新知
　　对于任意的向量 a,b 以及任意实数 λ,μ ,
恒有 λ(μ1a±μ2b)=
λμ1a±λμ2b
共线(平行)向量基本定理
给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb.
注解
1.向量共线的条件:当向量b=0时,b与任一向量a共线.当b≠0,对于向量a,如果存在一个实数λ,使a=λb,那么由实数与向量积的定义知,a与b共线.反之,已知向量a与b共线,b≠0,且向量a的长度是向量b的长度的λ倍,即|a|=λ|b|,则当a与b同方向时,a=λb;当a与b反方向时,有a=-λb.
2.已知三点A,B,C共线,O是平面内任意一点,则有 ,其中λ+μ=1.
3.如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=0.
问题1：根据共线向量定理,对于非零向量a,b,如何确定实数λ,使得a=λb
答案(1)确定符号.b与a同向时,λ为正;b与a反向时,λ为负.
(2)确定λ的绝对值.
问题2：共线向量定理中为什么要规定b≠0
提示(1)若将条件b≠0去掉,即当b=0时,显然a与b共线;
(2)若a≠0,则不存在实数λ,使a=λb;
(3)若a=0,则对任意实数λ,都有a=λb.
例5 计算下列各式：
解：
巩固新知
例6 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 =a， =b，试用a,b表示向量 、 、 、 .
M
D C
a
b
M
A B
D C
b
M
D C
b
直线的向量表示
数乘向量的定义及几何意义
例7(1)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(　　)
A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a
(2)点C是线段AB靠近点A的一个三等分点,则下列不正确的是(　　)
答案(1)C　(2)B
共线向量定理及其应用
角度1　向量共线的判定
例8判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).
(1)a=5e1,b=-10e1;
(2)a=e1+e2,b=3e1-3e2.
解(1)因为b=-2a,
所以a与b共线.
(2) 设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),
所以(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.
因为e1与e2是两个非零不共线向量,
所以1-3λ=0,1+3λ=0.
这样的λ不存在,因此a与b不共线.
反思感悟 向量共线的判定一般是用其判定定理,即给定一个非零向量b,若存在唯一一个实数λ,使得a=λb,则任意向量a与非零向量b共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.
角度2　用已知向量表示未知向量
答案C
例9
角度3　证明三点共线问题
例10
反思感悟 1.证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线.两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据.
2.若A,B,C三点共线,则向量 在同一直线上,因此必定存在实数,使得其中两个向量之间存在线性关系,而向量共线定理是实现线性关系的依据.
角度4　求参问题
答案A
例11
向量线性运算的综合应用
角度1　求解三角形的面积比
例12