《名题学典·数学》人教版八年级下册17.2勾股定理的逆定理学案

《名题学典·数学》人教版八年级系列第十七章
第4课时 17.2勾股定理的逆定理

1.画一画：画一个三边长分别为2.4cm，3.2cm，4cm的三角形.
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2.命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是
.
3.互逆命题：我们把 正好相反的两个命题称为 .如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的
.
4.求证：命题2为真命题.
书上证法：（写）已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且满足a2+b2=c2.在Rt△A'B'C'中，∠C=90°，B'C'=a，A'C'=b，求证：△ABC是直角三角形.
5.通过对命题2的证明，可发现命题2是真命题，所以我们把命题2称为 .它是判定 的一个依据：
6.逆定理的概念：一般地，如果一个定理的 经过验证是 ，那么它是一个 ，称这两个定理 .
7.说说逆定理与逆命题的区别？
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8.请写出一组勾股数： .
写逆命题、判断逆命题真假
【例1】（1）写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立：
①全等三角形的对应边相等；②等边三角形是锐角三角形；③两个图形关于轴对称，则两个图形是全等形；④如果a、b都是无理数，那么ab也是无理数．
（2）请你写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请写出已知、求证、证明；若是假命题，则请举反例证明．
分析：（1）先找到原命题的题设和结论，把题设和条件调换位置，即可写出逆命题，再判断它的正确性；（2）因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”；再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题；再利用全等三角形的判定得出命题的正确性．
解：（1）①的逆命题：对应边相等的两个三角形全等；根据全等三角形判定定理SSS，即可判断其为真命题；
②的逆命题：锐角三角形是等边三角形；不是所用锐角三角形是等边三角形，假命题；
③的逆命题：若两个图形是全等形，则它们关于轴对称；这还跟这两个图形的位置有关，假命题；
④的逆命题：直如果ab是无理数，那么a、b都是无理数；如=，假命题.
（2）原命题的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．
已知：△ABC中，∠B=∠C，
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：过点A作AH⊥BC于点H，
则∠AHB=∠AHC=90°，
在△ABH和△ACH中，
∴△ABH≌△ACH（AAS），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
练习1
（1）下列正确叙述的个数是（ ）
①每个命题都有逆命题
②真命题的逆命题是真命题
③假命题的逆命题是真命题
④每个定理都有逆定理
⑤每个定理一定有逆命题
⑥命题“若a=b，那么a3=b3”的逆命题是假命题．
A．1 B．2 C．3 D．4
写出命题“若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，则直线AC必平分对角线BD”的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？
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勾股定理的逆定理的应用：判定直角三角形
【例2】（1）用下列的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6
C．6，8，12 D．1，1，
若△ABC三边满足下列条件，判断△ABC是不是直角三角形，并说明哪个角是直角：
①BC＝，AB＝，AC＝1；
②a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n＞1）．
分析：（1）（2）都是根据勾股定理的逆定理来做题的，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：（1）D 【解析】A.∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
B.∵42+52=41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
C.∵62+82=100≠122，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
D.∵12+12=2=()2，∴能构成直角三角形，故本选项正确．
（2）①∵()2+12=()2，
∴△ABC是直角三角形，∠C是直角；
②∵(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2，
∴△ABC是直角三角形，∠C是直角．
练习2
小王想做一个直角三角形支架，现有8cm、9cm、10cm、15cm、20cm、17cm六根料子，请你选出三根 ．
（2）若△ABC的三边长为a，b，c，根据下列条件判断△ABC的形状．
①a2+b2+c2+200=12a+16b+20c
②a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0．
平面展开最短路径
【例3】（2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　）
A.5 B.25
C. D.35

分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
如下左图，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：
AB=25；

（2）如上右图，BC=5，AC=20+10=30，
由勾股定理得，
AB=5.
由于25＜5，故选B．
练习3
（2010?杭州市拱墅区一模）如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm．
（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少cm？
（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要
cm．（直接填空）
【例4】
（1）如下左图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，则甲巡逻艇的航向为北偏东 度．
（2）如下右图，三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB=5km，BC=12km，AC=13km．要从B修一条公路BD直达AC．已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？

分析：（1）先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；（2）首先得出BC2+AB2=122+52=169，AC2=132=169，然后利用其逆定理得到∠ABC=90°确定最短距离，然后利用面积相等求得BD的长，最终求得最低造价．
解：（1）∵AC=120×=12（海里），BC=50×=5（海里），
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA=50°，
∴∠CAB=40°，
∴甲的航向为北偏东50°．
（2）∵BC2+AB2=122+52=169，
AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2，
∴∠ABC=90°，
当BD⊥AC时BD最短，造价最低
∵S△ABC=AB?BC=AC?BD，
∴BD=km，
×26000=120000元．
答：最低造价为120000元．
练习4
（1）如图所示，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
（2）如图，△ABC的三边BC、AC、AB的长分别为6cm、8cm、10cm，把△ABC沿最长边AB翻转成△ABC′，求CC′的长．
勾股数
【例5】满足方程x2+y2=z2的正整数x、y、z，我们称它们为勾股数．
（1）已知x=m2 -n2，y=2mn，z=m2+n2，请证明x、y、z是一组勾股数；
（2）求有一个数是16的一组勾股数．
分析：（1）欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方；
设x2+y2=z2中的y=16，结合勾股数的特征，求出x，z的值，即可得到有一个数是16的一组勾股数．注意答案不唯一．
解：（1）∵x2+y2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4 -
2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，
z2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4，
∴x2+y2=z2，
∴x、y、z是一组勾股数．
（2）设y=16，则y=16=2×8×1．取m=8，n=1，
则x=82-1=63，z=82+1=65．
∴有一个数是16的一组勾股数是63，16，65．
练习5
观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c
根据你发现的规律，请写出
（1）当a=19时，求b、c的值；
（2）当a=2n+1时，求b、c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
1.（2012?广西）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（　　）
A．② B．①②
C．①③ D．②③
（2011?广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）

A. B.5cm
C. D.7cm
（2008?沈阳）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有
个．
4.（2012?巴中）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式+
|a -b|=0，则△ABC的形状为 ．
5.（2013?贵阳）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 三角形．
（2）猜想，当a2+b2 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2 c2时，△ABC为钝角三角形．
（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
用时 分数
选择题（每题4分，共32分）
1.四个三角形的边长分别为：①a=b=3，c=6；②a=2，b=3，c=
；③a=2.5，b=6，c=6.5；④a=10.5，b=10，c=14.5．其中直角三角形的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2.已知k＞1，b=2k，a+c=2k2，ac=k4-1，那么以a、b、c为三边的三角形是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．不能确定
3.两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东46°，则乙船的航向为（　　）
A．东偏南46° B．北偏西44°
C．东偏南46°或西偏北46°
D．无法确定
4.在△ABC中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，下列关系成立的是（　　）
A．∠B+∠C＞∠A
B．∠B+∠C=∠A
C．∠B+∠C＜∠A
D．以上都不对
5．下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．如果两个角是直角，那么它们相等
B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C．等边三角形是锐角三角形
D．如果两条直线平行，那么同位角相等
6.如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（　　）
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个

7.如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（　　）
A．3＜h＜4 B．3≤h≤4
C．2≤h≤4 D．h=4

（2004?济宁）如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是（　　）
A. B.3
C.5 D.
二、填空题（每题3分，共18分）
9.若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以的长为边的三条线段能组成直角三角形
其中所有正确结论的序号为　 　．
10.如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，则这块地的面积为　 　m2
11.已知a、b、c分别为△ABC的三边长，a=5，且+(b﹣c+1)2=0，则△ABC的面积为　 　．
12.在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要　 　m．
13.现有两根木棒的长度分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，则所需的木棒长度为　 　．
14.（2011?天门三模）有一只圆柱形茶杯，在茶杯的外侧A处有一只可爱的小蚂蚁，它到杯子口C点的距离为6cm，在茶杯的内侧B处有一块糖果，它到杯子口D点的距离为2cm，C、D两点间的弧线长为6cm，请你帮小蚂蚁算一算，最短要走
　 　cm才能吃到糖．
解答题（共40分）
15.（2004?龙岩）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．
16.如图，已知∠C=90°，BC=3cm，BD=12cm，AD=13cm．△ABC的面积是6cm2．
（1）求AB的长度；
（2）求△ABD的面积．
17.（1）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=，∠BAC=30°，CD=2，AD=2，求∠ACD的度数．
（2）（2012?广元）如图，A、B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？
18.（2006?常德）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．




参考答案
一例一练、活用数学
练习1 （1）B 【解析】把原命题的题设与结论交换得到它的逆命题，所以①正确；
真命题：若a=b，则|a|=|b|，其逆命题为：若|a|=|b|，则a=b，它是假命题，所以②错误；
假命题：若am＞bm，则a＞b，其逆命题：若a＞b，则am＞bm，它是假命题，所以③错误；
真命题的逆命题不一定是真命题，所以④错误；每个定理一定有逆命题，所以⑤正确；
命题“若a=b，那么a3=b3”的逆命题为“若a3=b3，则a=b”，它是真命题，所以⑥错误．
（2）逆命题：若四边形ABCD的对角线AC平分对角线BD，
则AC必将四边形分成两个面积相等的三角形，这个逆命题是正确的．
证明如下：在图中，由于OB=OD，∠BOE=∠DOF，∠BEO=∠DFO=Rt∠，∴△BOE≌△DOF．
∴BE=DF，即两高线相等．∴S△ABC=AC?BE=AC?DF=S△ADC．

练习2 （1）8cm、15cm、17cm
（2）解：①∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，
∴（a2-12a+36）+（b2-16b+64）+（c2-20c+100）=0，
即(a -6)2+(b -8)2+(c -10)2=0
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，即a=6，b=8，c=10，而62+82=100=102，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形．
②（a3 -a2b）+（ab2 -b3）-（ac2 -bc2）=0，a2（a -b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，
∴（a-b）（a2+b2-c2）=0
∴a -b=0或a2+b2-c2=0或（a -b）（a2+b2-c2）=0，
∴此三角形ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
练习3 解：（1）将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB==5cm；
如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是8和3，根据勾股定理可知所用细线最短需要=cm．

全真考题、能力拓展
1.D
2.B 【解析】侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为6cm，∴AC′=3cm，∵PC′=BC′，
∴PC′=×6=4cm，在Rt△ACP中，AP2=AC′2+CP2，∴AP=cm.
3.8 【解析】到直线AB的距离为4的直线有两条．以一条直线为例，当∠A为直角时，可得到一个点；当∠B为直角时，可得到一个点；以AB为直径的圆与这条直线有2个交点，此时，∠C为直角．同理可得到另一直线上有4个点．
4.等腰直角三角形 【解析】∵+|a -b|=0，∴c2 -a2 -b2=0，且a -b=0，
∴c2 =a2 +b2，且a =b，则△ABC为等腰直角三角形．
5. 解：（1）锐角；钝角；（2）＞；＜；
（3）∵c为最长边，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，
①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；
②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；
③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．
课时自测、认清自我
1.B 【解析】①③④是直角三角形.
2.A 【解析】(a+c)2 -4ac=(a -c)2 =4k4 -4k4 +4=4，∴a -c=2，∴，
∵，∴，故为直角三角形.
3.C 【解析】根据题意，OA=40×2=80海里，OB=30×2=60海里，又因为AB=100海里，802+602=1002，所以OB2+OA2=AB2，根据勾股定理逆定理，△AOB为直角三角形．同理，△AOC为直角三角形．所以∠AOB=90，又因为∠1=46°，所以∠2=180°﹣90°﹣46°=44°，∠3=90°﹣44°=46°，根据对顶角相等，∠4=∠3=46°，则乙船的航向为东偏南46°或西偏北46°．
B 【解析】因为122+92=152，所以三角形是直角三角形，则∠B+∠C=∠A．
5.D 【解析】A的逆命题是：如果两个角相等，那么它们都是直角，不成立；B的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么它们相等，不成立；C的逆命题是：锐角三角形是等边三角形，不成立；D的逆命题成立.
6.A 【解析】如图，符合条件的点C一共有9个．
7.B 【解析】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12=4（cm）；②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线直径为5cm，高为12cm，由勾股定理可得杯里面管长为=13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13=3cm；则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．
8.A 【解析】：将正方体展开，连接M、D1，根据两点之间线段最短，MD=MC+CD=1+2=3，
MD1=.
二、9.②③ 【解析】①因为a2+b2=c2，不满足三角形三边的关系，故不能组成一个三角形，故错误；
②直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在，，三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有+>成立，即，即a+b+，（由a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；
③a+b，c+h，h这三个数中c+h一定最大，（a+b）2+h2=a2+b2+2ab+h2，（c+h）2=c2+h2+2ch
三角形．则△ABC的面积为bc=×3×4=6.
12.17 【解析】如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形的长为 =12米，∴地毯的长度为12+5=17米．
13.30米或10米 【解析】∵现有两根木棒的长度分别是40cm和50cm，当斜边为50cm，∴另一边为：30米；当40cm，50cm，都为直角边，∴斜边为：=10米.
14.10 【解析】如图，延长BD，在延长线上取点B'，使BD=B'D=2cm，连接AB'，交CD与点E，连接BE，则最短的路线应该是沿AE、EB爬行即可．因为两点之间线段最短． 在△AB′F中，∠F=90°，AF=CD=6cm，B′F=6+2=8cm，由勾股定理，得AB′=10cm．∵ED⊥BB′，
∴BE=B′E，∴AE+BE=AE+B′E=AB′=10cm，∴小蚂蚁最短要走10cm才能吃到糖．
三、15.解：（1）n2﹣1，2n，n2+1；（2）猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明：∵a=n2﹣1，b=2n；c=n2+1，
∴a2+b2=(n2﹣1)2+(2n)2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2，
而c2=(n2+1)2，∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
16.解：（1）∵∠C=90°，∴S△ABC=×BC×AC=6，∴AC=4（cm）．
∵BC2+AC2=AB2，∴AB==5（cm）．
（2）∵AB2+BD2=52+122=169，AD2=132=169，∴AB2+BD2=AD2．∴∠ABD=90°．
∴S△ABD=×AB×BD=×5×12=30（cm2）．
17.解：（1）∵∠B=90°，∠BAC=30°，∴BC=AC，设BC=x，则AC=2x，又∵AB=，∴(2x)2=x2+()2，∴x=1，∴BC=1，AC=2，又CD=2，AD=2，∴AC2+CD2=8，AD2=8，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD=90°.
（2）过点P作PD⊥AB，垂足为D，由题可得∠APD=30°，∠BPD=45°，设AD=x，在Rt△APD中，PD=x，在Rt△PBD中，BD=PD=x，∴x+x=100，x=50（﹣1），∴PD=x=50（3﹣）≈63.4＞50，∴不会穿过保护区．
18.解：（1）猜想：AP=CQ，证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠QBC．又AB=BC，BP=BQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；
由PA : PB : PC=3 : 4 : 5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，连接PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，∴△PBQ为正三角形．∴PQ=4a．于是在△PQC中，∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2∴△PQC是直角三角形．