湘教版数学八年级下册 1.4 角平分线的性质 (第1课时) 课件(共13张PPT)

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本课内容
本节内容
1.4
角平分线的性质
第1课时
湘教版数学 八年级下册
1、角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
2、什么是角平分线
一条射线将一个角分成为两个相等的角，
这条射线就叫做这个角的角平分线。
如图∠AOB沿射线OC对折，
∠AOC 和∠COB重合。
A
B
O
C
如上图，射线OC是∠AOB的平分线。
∠AOC = ∠COB = ∠AOB
1
2
2.分别以MN为圆心．大于 MN的长为半径作
弧．两弧在∠AOB的内部交于C．
1
2
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
你能证明吗？
3、用尺规作已知角的平分线：
作法：1．以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
3．作射线OC．
射线OC即为所求．
如图：画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，作
PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，试问PD与
PE相等吗？你能得出什么结论？
A
O
B
P
E
D
PDO≌ PEO(AAS)
在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？
将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE重合，即：PD=PE.
已知：OC是∠AOB的平分线，
点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，
垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
∵∠1= ∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE.
交换定理的题设和结论得到的命题为：
A
O
B
P
E
D
1
2
到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。
角平分线的性质
注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。
角的内部到角的两边距离相等的点，在角平分线上。
角平分线的判定定理：
用符号语言表示为：
∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE∴ ∠1= ∠2 .
A
O
B
P
E
D
分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1= ∠2 .
则OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上）
证明：Rt PDO≌Rt PEO(HL)即可
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
1
2
如图：已知P点是∠AOB内一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证： 点P在∠AOB的平分线上。
1、如图，∠BAD= ∠BCD=900 ，∠1= ∠2 .
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上 .
（2）求证：BD是∠ABC的平分线 .
1
2
D
C
A
B
证明：（1） ∵∠1= ∠2 ∴ BA=BC，
∴点B在∠ADC的平分线上
（2）在Rt BAD和Rt BCD中，
∵ BA=BC BD=BD
∴ Rt BAD≌Rt BCD (HL)
∠ABD= ∠CBD
∴ BD是∠ABC的平分线
∵∠BAD= ∠BCD=900， BA ⊥AD，BC ⊥CD
例2、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD是∠AB C的平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，图中相等的线段有哪些？为什么？
∵ ∠C=90° （已知）
∴ DC⊥BC（垂直的定义）
又∵ BD是∠ABC的平分线
∵ DE⊥BA（已知）
∴ DE=DC（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等）
答： (1) DE=DC
(2) BE=BC
角平分线的性质，为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径
A
B
C
D
E
1
2
3
4
做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识
1、填空：
(1) ∵∠1= ∠2，DC⊥AC， DE⊥AB
∴___________
(____________________________________)
(2) ∵DC⊥AC ，DE⊥AB ，DC=DE
∴__________
（ ）
A
C
D
E
B
1
2
∠1= ∠2
DC=DE
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
角平分线上的点到角的两边的距离相等
(3)如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且DB=10，则点D到AB的距离为 。
5
E
D
A
C
B
(3)∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ BD = CD ， （ ）
√
D
C
B
A
（2）∵ 如图，DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ BD = CD，( )
D
C
B
A
2、判断以下所填结论是否正确：
×
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD= CD ( )
A
D
C
B
×
3.如图，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=6，BC=16，DE⊥BC，求△BDC面积。
∴ DE=AD=6（角平分线上的任意点
到角的两边的距离相等）
E
D
B
A
C
解：∵ ∠A=90° （已知）
∴ DA⊥AB（垂直的定义）
又∵ BD是∠ABC的平分线
∵ DE⊥BA DE⊥BC（已知）
S△DBC = BC×DE= ×16×6=48
1
2
1
2
4.已知：如图，∠C=∠D=90° ，AC=AD .
求证:（1） ∠ABC= ∠ABD ；
（2）BC=BD.（要求不用三角形全等的判定）
B
D
A
C
证明： (1)∵∠C= ∠D=90°，
∴ BAD和 BCD均为直角三角形，
又∵AC= AD，AB=AB
∴Rt BAD≌Rt BCD (HL)
∴∠ABC= ∠ABD
（2）由（1）得： ∠CAB= ∠DAB
即：AB是∠CAD的平分线
∵∠C= ∠D=90°，即：BC⊥AC，BD⊥AD
∴ BC=BD
1.角平分线的性质定理：
在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径.
4.通过这节课的学习，觉得自己有什么收获吗？
一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.
作业：p24 练习 p26 A 1、2