湘教版数学八年级下册 1.4 角平分线的性质( 第2课时) 课件(共13张PPT)

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本课内容
本节内容
1.4
角平分线的性质
第2课时
湘教版数学 八年级下册
1、怎样用尺规作角的平分线.
2.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等
A
B
O
M
Ｎ
Ｃ
PD⊥OA，PE⊥OB
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ PD＝PE
用符号语言表述：
O
C
B
1
A
2
P
D
E
3.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
用符号语言表述：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB PD＝PE
∴ ∠1= ∠2
即：OC是∠AOB的平分线
反过来：
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
A
C
B
M
N
P
如图，在△ABC中，作点P，使点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
你能在 ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？
分析：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角的平分线其交点就是所求得P点。
口述作法
能证明作图结论吗？
如图， △ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
D
E
F
A
C
B
M
N
P
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
同理：PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
点P在∠A的平分线上吗？
三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
∴PD=PE( ).
角平分线上的点到角两边距离相等
例1、如图，已知 EF⊥CD, EF⊥AB， MN⊥AC， M是EF的中点，需要添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
(可以添加条件MN=ME或MN=MF)
理由：∵ NE⊥CD, MN⊥CA，
且MN=ME
N
M
F
E
D
C
B
A
∴ M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线
同理：可得AM是∠CAB的平分线。
例2、 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F。试探索BE+PF与PB的大小关系。
A
C
P
B
F
E
D
解：∵AP是∠DAC的平分线。
又 PE⊥DB PF⊥AC
∴ PE=PF
在 EBP中，BE+PE>PB
∴ BE+PF>PB
例3、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的
平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上　　　
A
B
C
D
E
F
F
E
D
C
B
A
D
N
E
B
F
M
C
A
1、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE=CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
提示：Rt△DEB ≌Rt△DFC（HL）
得：DE=DF
由角平分线性质，得出结论。
2、已知 BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD，CE交点F，CF=BF，
求证：点F在∠A的平分线上.
提示：Rt△FEB ≌Rt△FDC（AAS）
得：DE=EF
由角平分线性质，得出结论。
D
C
B
A
变式训练：如图，△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，
BD是∠BAC的平分线，DE⊥BC于E，若BC = 10cm，
则△DCE的周长等于( )
A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm
E
A
3、已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，
AB = AC，BD平分∠ABC． 求证：BC = AB + AD
提示：由角平分线性质，得：AD=DE.
Rt△BAD≌Rt△BED（HL）
得：AB=BE
又可证：△DEC是等腰直角三角形，DE=EC
如图，有两条河流l1，l2 ，两个工厂A，B，现要在这个区域内建一个中转站P，要求P到两工厂的距离相等，同时到两河流的距离也相等，请你在图中标出P点的位置。
解：（1）画AB的垂直平分线MN，
A
B
l1
l2
（2）画∠α的平分线交直线MN于P,
则P点就是中转站的位置。
P
变式：如图，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个超市.使这个超市到三条公路的距离相等,应在何处修建
在确定超市的位置时,一定要画出三个角的平分线吗
你是怎样思考的
你是如何证明的
若把限制条件去掉，修建超市的地址有几处？
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用数学语言表示为：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，
点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
作业：P25 练习 P26 习题 3、5