6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（教案） 高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（教案） 高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 170.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-08 12:09:40 | ||
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文档简介
第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
教学设计
一、教学目标
1. 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；
2. 了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义；
3. 能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
二、教学重难点
1、教学重点
归纳出两个计数原理，能应用它们解决简单的实际问题.
2、教学难点
正确区分“分类加法计数原理”和“分步乘法计数原理”.
三、教学过程
（一）新课导入
教师：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
学生思考并回答：英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
（二）探索新知
探究一：分类加法计数原理
思考：观察上述问题的特征，总结计数过程的基本环节.
首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到号码的总数.
上述计数过程的基本环节是：
（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
（2）分别计算各类号码的个数；
（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.
总结：分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
探究二：分步乘法计数原理
思考：用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
在前一个问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码.但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.用下图所示的方法可以列出所有可能的号码.
由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有种不同的号码.
上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.
总结：分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
探究三：两个计数原理的综合应用
两个原理的区别与联系：
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
关键词 分类 分步
区别 每类方法都能独立完成这件事 各步都完成，才能完成这件事
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题
例1 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名？
解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6=13.
后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.
由分步乘法计数原理，不同名称的个数是13×9×9=1053，即最多可以给1053个程序模块命名.
总结：用两个计数原理解决计数问题时的注意点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步.
分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
（三）课堂练习
1.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有( )
A.60种 B.120种 C.144种 D.300种
答案：B
解析：第一步，要在该时间段只保留其中的2个商业广告，即先从5个中选择2个，有种，第二步，增播一个商业广告，共3个广告，排好有种，
第三步，在2个空中，插入两个不同的公益宣传广告，有种方法，
根据乘法原理，共有种方法.故选B.
2.为帮助某贫困山区的基层村镇完成脱贫任务，某单位要从5名领导和6名科员中选出4名人员去某基层村镇做帮扶工作，要求选出人员中至少要有2名领导，且必须有科员参加，则不同的选法种数是( )
A.210 B.360 C.420 D.720
答案：A
解析：求不同的选法种数可以有两类办法，选出的4人中有2名领导，有种方法；有3名领导，有种方法，
由分类加法计数原理得：，
所以不同的选法种数是210，A正确.故选A.
3.某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为( )
A.8 B.9 C.12 D.24
答案：B
解析：设四个班分别是A、B、C、D，对应的数学老师分别是a、b、c、d.
让a老师先选，可从B、C、D班中选一个，有3种选法，
不妨假设a老师选的是B，则b老师从剩下的三个班级中任选一个，有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法.
由分步乘法计数原理，知共有种不同的安排方法.故选B.
4.旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游.已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线数为( )
A.24 B.18 C.16 D.10
答案：D
解析：小李可选的旅游路线分两种情况：①最后去甲景区旅游，则可选的路线有种；②不最后去甲景区旅游，则可选的路线有种.所以小李可选的旅游路线数为,故选D.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容？
1.分类加法计数原理；
2.分步乘法计数原理；
3.两个计数原理的综合应用.
四、板书设计
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.分类加法计数原理；
2.分步乘法计数原理；
3.两个计数原理的综合应用.
2
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
教学设计
一、教学目标
1. 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；
2. 了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义；
3. 能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
二、教学重难点
1、教学重点
归纳出两个计数原理，能应用它们解决简单的实际问题.
2、教学难点
正确区分“分类加法计数原理”和“分步乘法计数原理”.
三、教学过程
（一）新课导入
教师：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
学生思考并回答：英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
（二）探索新知
探究一：分类加法计数原理
思考：观察上述问题的特征，总结计数过程的基本环节.
首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到号码的总数.
上述计数过程的基本环节是：
（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
（2）分别计算各类号码的个数；
（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.
总结：分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
探究二：分步乘法计数原理
思考：用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
在前一个问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码.但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.用下图所示的方法可以列出所有可能的号码.
由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有种不同的号码.
上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.
总结：分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
探究三：两个计数原理的综合应用
两个原理的区别与联系：
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
关键词 分类 分步
区别 每类方法都能独立完成这件事 各步都完成，才能完成这件事
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题
例1 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名？
解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6=13.
后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.
由分步乘法计数原理，不同名称的个数是13×9×9=1053，即最多可以给1053个程序模块命名.
总结：用两个计数原理解决计数问题时的注意点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步.
分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
（三）课堂练习
1.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有( )
A.60种 B.120种 C.144种 D.300种
答案：B
解析：第一步，要在该时间段只保留其中的2个商业广告，即先从5个中选择2个，有种，第二步，增播一个商业广告，共3个广告，排好有种，
第三步，在2个空中，插入两个不同的公益宣传广告，有种方法，
根据乘法原理，共有种方法.故选B.
2.为帮助某贫困山区的基层村镇完成脱贫任务，某单位要从5名领导和6名科员中选出4名人员去某基层村镇做帮扶工作，要求选出人员中至少要有2名领导，且必须有科员参加，则不同的选法种数是( )
A.210 B.360 C.420 D.720
答案：A
解析：求不同的选法种数可以有两类办法，选出的4人中有2名领导，有种方法；有3名领导，有种方法，
由分类加法计数原理得：，
所以不同的选法种数是210，A正确.故选A.
3.某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为( )
A.8 B.9 C.12 D.24
答案：B
解析：设四个班分别是A、B、C、D，对应的数学老师分别是a、b、c、d.
让a老师先选，可从B、C、D班中选一个，有3种选法，
不妨假设a老师选的是B，则b老师从剩下的三个班级中任选一个，有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法.
由分步乘法计数原理，知共有种不同的安排方法.故选B.
4.旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游.已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线数为( )
A.24 B.18 C.16 D.10
答案：D
解析：小李可选的旅游路线分两种情况：①最后去甲景区旅游，则可选的路线有种；②不最后去甲景区旅游，则可选的路线有种.所以小李可选的旅游路线数为,故选D.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容？
1.分类加法计数原理；
2.分步乘法计数原理；
3.两个计数原理的综合应用.
四、板书设计
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.分类加法计数原理；
2.分步乘法计数原理；
3.两个计数原理的综合应用.
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