6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（学案）高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（学案）高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 88.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-08 12:10:54 | ||
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文档简介
第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学案
一、学习目标
1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；
2.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义；
3.能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
2、 基础梳理
1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
2. 分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
3.两个计数原理解决计数问题时的注意点：
（1）要完成的“一件事”是什么；
（2）需要分类还是需要分步.
分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
三、巩固练习
1.由中华人民共和国商务部和上海市人民政府主办的第三届中国国际进口博览会于2020年11月5日至10日在中国上海国家会展中心举办，本届进口博览会新设了公共卫生防疫、节能环保、智慧出行和体育用品及赛事等四大专区.将甲、乙、丙、丁等5名志愿者分派到新设的四个专区，要求每个新设的专区至少分到一人，则甲被分派到公共卫生防疫专区的分法种数为( )
A.24 B.36 C.60 D.72
2.动点M位于数轴上的原点处，M可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位，且每次至少跳动1个单位.经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为( )
A.7 B.9 C.11 D.13
3.某单位把5个“先进个人奖”分给3个部门，每个部门至少1个名额，那么不同的名额分配方案总数为( )
A.6 B.10 C.15 D.21
4.若一个三位数的各位数字之和等于10，且各位数字允许重复(如235，505等)，则这种三位数的个数是( )
A.54 B.50 C.60 D.58
5.现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A.81 B.64 C.48 D.24
6.从集合中任取两个互不相等的数组成复数，其中虚数有( )
A.30个 B.42个 C.36个 D.35个
7.（多选）某校实行选科走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层班级，该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是( )
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班
生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班
物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班
物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班
政治1班 物理A层3班 政治2班 政洽3班
A.此人有4种不同的选课方式 B.此人有5种不同的选课方式
C.自习课不可能安排在第2节 D.自习课可安排在4节课中的任一节
8.（多选）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间，则下列选项中恰有8种不同站法的是( )
A.甲、乙都不与老师相邻 B.甲、乙都与老师相邻
C.甲与老师不相邻，乙与老师相邻 D.甲、乙相邻
答案以及解析
1.答案：C
解析：若甲被单独分派到公共卫生防疫专区，则有种分法，若甲没有被单独分派到公共卫生防疫专区，则有种分法，根据分类加法计数原理可得，共有种分法.
2.答案：D
解析：根据题意，分4种情况讨论.
①动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次1个单位，2次2个单位，故有-6，-5，-4，-3；
②动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次1个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3；
③动点M向左跳2次，向右跳1次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次1个单位，2次2个单位，故有-3，-2，-1，0；
④动点M向左跳1次，向右跳2次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次1个单位，2次2个单位，故有0，1，2，3.
故M在数轴上的可能位置为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，共有13个.
故选D.
3.答案：A
解析：5个名额分给3个部门，每个部门至少1个名额，存在两类分配方式，即2,2,1和3,1,1.
若分配方式为2,2,1，则只需从3个部门中抽取1个部门分配1个名额即可，有3种可能；
若分配方式为3,1,1，则只需从3个部门中抽取1个部门分配3个名额即可，有3种可能.
综上，共有种方案.
4.答案：A
解析：若百位为1，则十位可从0,1,2，…，9中任选一个数，有10种选法，因为各位数字之和等于10，所以个位只有1种选法，所以有10个满足条件的数；
若百位为2，则十位可从0,1,2，…，8中任选一个数，此时个位只有1种选法，所以有9个满足条件的数；
同理，若百位分别为3,4,5,6,7,8,9，依次可得满足条件的数有8,7,6,5,4,3,2个.
根据分类加法计数原理，共有个.
5.答案：A
解析：每名同学都有3种选择，所以不同选法共有种，故选A.
6.答案：C
解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b，且，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有个虚数，故选C.
7.答案：BD
解析：由于生物在B层班级，所以只能选第2或第3节，故分两类：
若生物选第2节，则地理可安排在第1,3节，有2种选法，其他任意选即可，故有种（此种情况自习课可出现在第1、3、4节中的某节）；
若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选在第2节，故有1种.根据分类加法计数原理可得，共有种不同的选课方式.由以上分析可知，自习课可安排在4节课中的任一节.
8.答案：CD
解析：对于A，甲、乙只能站左、右两端，有2种站法，丙、丁在老师相邻两边，有2种站法，所以有种站法，不符合；
对于B，同A一样，有4种站法，不符合；
对于C，甲站两端，有2种站法，乙与老师相邻，有2种站法，丙、丁站剩下位置，有2种站法，所以有种站法，C符合；
对于D，甲、乙要么都在老师左边，要么都在老师右边，且甲、乙还可以相互交换，有种站法，丙、丁站剩下两个位置，有2种站法，所以共有种站法，D符合
2
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学案
一、学习目标
1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；
2.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义；
3.能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
2、 基础梳理
1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
2. 分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
3.两个计数原理解决计数问题时的注意点：
（1）要完成的“一件事”是什么；
（2）需要分类还是需要分步.
分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
三、巩固练习
1.由中华人民共和国商务部和上海市人民政府主办的第三届中国国际进口博览会于2020年11月5日至10日在中国上海国家会展中心举办，本届进口博览会新设了公共卫生防疫、节能环保、智慧出行和体育用品及赛事等四大专区.将甲、乙、丙、丁等5名志愿者分派到新设的四个专区，要求每个新设的专区至少分到一人，则甲被分派到公共卫生防疫专区的分法种数为( )
A.24 B.36 C.60 D.72
2.动点M位于数轴上的原点处，M可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位，且每次至少跳动1个单位.经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为( )
A.7 B.9 C.11 D.13
3.某单位把5个“先进个人奖”分给3个部门，每个部门至少1个名额，那么不同的名额分配方案总数为( )
A.6 B.10 C.15 D.21
4.若一个三位数的各位数字之和等于10，且各位数字允许重复(如235，505等)，则这种三位数的个数是( )
A.54 B.50 C.60 D.58
5.现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A.81 B.64 C.48 D.24
6.从集合中任取两个互不相等的数组成复数，其中虚数有( )
A.30个 B.42个 C.36个 D.35个
7.（多选）某校实行选科走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层班级，该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是( )
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班
生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班
物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班
物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班
政治1班 物理A层3班 政治2班 政洽3班
A.此人有4种不同的选课方式 B.此人有5种不同的选课方式
C.自习课不可能安排在第2节 D.自习课可安排在4节课中的任一节
8.（多选）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间，则下列选项中恰有8种不同站法的是( )
A.甲、乙都不与老师相邻 B.甲、乙都与老师相邻
C.甲与老师不相邻，乙与老师相邻 D.甲、乙相邻
答案以及解析
1.答案：C
解析：若甲被单独分派到公共卫生防疫专区，则有种分法，若甲没有被单独分派到公共卫生防疫专区，则有种分法，根据分类加法计数原理可得，共有种分法.
2.答案：D
解析：根据题意，分4种情况讨论.
①动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次1个单位，2次2个单位，故有-6，-5，-4，-3；
②动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次1个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3；
③动点M向左跳2次，向右跳1次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次1个单位，2次2个单位，故有-3，-2，-1，0；
④动点M向左跳1次，向右跳2次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次1个单位，2次2个单位，故有0，1，2，3.
故M在数轴上的可能位置为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，共有13个.
故选D.
3.答案：A
解析：5个名额分给3个部门，每个部门至少1个名额，存在两类分配方式，即2,2,1和3,1,1.
若分配方式为2,2,1，则只需从3个部门中抽取1个部门分配1个名额即可，有3种可能；
若分配方式为3,1,1，则只需从3个部门中抽取1个部门分配3个名额即可，有3种可能.
综上，共有种方案.
4.答案：A
解析：若百位为1，则十位可从0,1,2，…，9中任选一个数，有10种选法，因为各位数字之和等于10，所以个位只有1种选法，所以有10个满足条件的数；
若百位为2，则十位可从0,1,2，…，8中任选一个数，此时个位只有1种选法，所以有9个满足条件的数；
同理，若百位分别为3,4,5,6,7,8,9，依次可得满足条件的数有8,7,6,5,4,3,2个.
根据分类加法计数原理，共有个.
5.答案：A
解析：每名同学都有3种选择，所以不同选法共有种，故选A.
6.答案：C
解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b，且，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有个虚数，故选C.
7.答案：BD
解析：由于生物在B层班级，所以只能选第2或第3节，故分两类：
若生物选第2节，则地理可安排在第1,3节，有2种选法，其他任意选即可，故有种（此种情况自习课可出现在第1、3、4节中的某节）；
若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选在第2节，故有1种.根据分类加法计数原理可得，共有种不同的选课方式.由以上分析可知，自习课可安排在4节课中的任一节.
8.答案：CD
解析：对于A，甲、乙只能站左、右两端，有2种站法，丙、丁在老师相邻两边，有2种站法，所以有种站法，不符合；
对于B，同A一样，有4种站法，不符合；
对于C，甲站两端，有2种站法，乙与老师相邻，有2种站法，丙、丁站剩下位置，有2种站法，所以有种站法，C符合；
对于D，甲、乙要么都在老师左边，要么都在老师右边，且甲、乙还可以相互交换，有种站法，丙、丁站剩下两个位置，有2种站法，所以共有种站法，D符合
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