8.3 简单几何体的表面积与体积——2022-2023学年高一数学人教A版2019必修第二册同步课时训练（含答案)

8.3 简单几何体的表面积与体积——2022-2023学年高一数学人教A版2019必修第二册同步课时训练
1.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
2.已知长方体同一顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则长方体的体积与表面积分别为( ).
A.12，32 B.12，24 C.22，12 D.12，11
3.若正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为( ).
A. B. C. D.14
4.已知正三棱台的高为1，上下底边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A.100π B.128π C.144π D.192π
5.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A.π B. C. D.
6.若圆台下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为，则其体积为( )
A. B. C. D.
7.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球O的表面上，底面BCD，，且，，利用张衡的结论可得球O的表面积为( )
A.30 B. C.33 D.
8. （多选）如图在正方体中,E为线段上的动点,则下列结论正确的是( )
A.
B.平面平面
C.线段上必有F点使得平面平面
D.正方体内切球和外接球的半径比为1:2
9. （多选）三棱锥中，平面ABC，，，，PB，PC与以PA为直径的球O的球面分别交于点M，N，则下列结论正确的是( )
A.
B.平面ABC
C.
D.球O的球面上点M，N所在大圆劣弧的长为
10. （多选）如图，已知四棱台的上、下底面均为正方形，其中，，，则下列说法正确的是( )
A.该四棱台的高为 B.
C.该四棱台的表面积为26 D.该四棱台外接球的表面积为
11.如图所示，已知三棱柱的 所有棱长均为1，且底面ABC，则三棱锥的体积为________.
12.过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为，则球的表面积为_________________.
13.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________.
14.如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.
15.如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱上，.若，求四棱锥的体积.
答案以及解析
1.答案：C
解析：设圆锥的内切球的半径为r，则，所以.又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，圆锥的底面半径为，
则圆锥的体积.故选C.
2.答案：A
解析：长方体的体积为，表面积为，故选A.
3.答案：C
解析：.故选C.
4.答案：A
解析：由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为，.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为，，连接，则，其外接球的球心O在直线上.设球O的半径为R，当球心O在线段上时，，解得（舍去）；当球心O不在线段上时，，解得，所以，所以该球的表面积为.
5.答案：B
解析：由圆柱的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，知球的直径为2，因此球的半径.因为圆柱的高，所以圆柱的底面半径为.由圆柱体的体积公式得.故选B.
6.答案：B
解析：圆台下底面半径，上底面半径，母线长，则圆台的高.所以圆台的体积.故选B.
7.答案：B
解析：因为，所以.又底面BCD，所以，球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为.利用张衡的结论，可得，所以球O的表面积为.故选B.
8.答案：ABC
解析：在正方体中,平面平面,所以.因为底面为正方形,所以,,所以平面,因此,故选项A正确;因为平面,所以平面平面,所以平面平面,故选项B正确;当F为的中点,E为的中点时,,因此当F为中点时,平面平面,故选项C正确;正方体的内切球半径为,正方体的外接球半径为,故内切球和外接球的半径比为,故选项D错误,故选ABC.
9.答案：BC
解析：本题考查线面位置关系、三棱锥与球的位置关系.因为平面ABC，所以.球O的半径为2.因为点M是棱PB与球O的球面的交点，所以，连接AM，则.在中，，由等面积法，得，则，故A错误.同理在中，可得，，则有，所以.又因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，故B正确.由得，得，故C正确.因为，得，所以球O的大圆上劣弧所对的圆心角为，所以劣弧的长为，故D错误.故选BC.
10.答案：AD
解析：如图，将该四棱台补形为四棱锥，连接AC，BD相交于点O，连接，相交于点，连接SO，则SO过点，且平面ABCD，为该四棱台的高.，，，，由四边形ABCD为正方形且可得，则，，，，故选项A正确；，，，故选项B不正确；梯形的高为，故该四棱台的表面积为，故选项C不正确；该四棱台的上、下底面都是正方形，因此该四棱台外接球的球心在直线上，连接，在中，由，可得，又，，该四棱台外接球的球心为O，球的半径，外接球的表面积，故选项D正确.故选AD.
11.答案：
解析：因为三棱柱的所有棱 长均为1，所以底面为正三角形，所以，
又因为底面，
所以三棱柱的体积为，
因为三棱锥、三棱锥与三棱柱等底等高，
所以，由此可得三棱锥的体积.
12.答案：
解析：易知截面为一圆面，如图所示，圆O是球的过已知半径的大圆，AB是截面圆的直径，作OC垂直AB于点C，连接OA.
由截面面积为，可得.
设，则，所以，解得.
故球的表面积.
13.答案：
解析：如图，正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，点E，F，G，H分别为线段PA，PB，PC，PD的中点，O为底面中心，，，，故圆柱的高为1.
设EG与OP交于点I，则I为正方形EFGH外接圆的圆心，
，以点O，I为上下底面圆心的圆柱的体积.
14.答案：
解析：如图，设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r.
则，，，.
易知，，即，
，
则圆柱的底面积，
圆柱的侧面积.
.
15.答案：体积为18.
解析：由长方体，
可知平面，平面，
所以，
因为，
所以平面，
所以，
由题设可知，
所以，
所以，
因为在长方体中，平面平面，
所以E到平面的距离即为点A到平面的距离，，
所以四棱锥的体积.
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