8.6 空间直线、平面的垂直——2022-2023学年高一数学人教A版2019必修第二册同步课时训练（含答案)

8.6 空间直线、平面的垂直——2022-2023学年高一数学人教A版2019必修第二册同步课时训练
1.在正四面体中,已知分别是上的点(不含端点),则( )
A.不存在,使得 B.存在,使得
C.存在,使得平面 D.存在,使得平面平面
2.设，，为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则下列条件中一定能得到的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
3.一个几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PB，PC的中点，在此几何体中，下面结论中一定正确的是( )
A.直线AE与直线DF平行 B.直线AE与直线DF异面
C.直线BF和平面PAD相交 D.直线平面PBC
4.设l是直线，，是两个不同的平面( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
5.如图所示，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则下列命题不正确的是( )
A.平面PAB B.平面ABC
C.平面平面PBC D.平面平面ABC
6.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为，则O到平面ABC的距离为( )
A. B. C.1 D.
7.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为，则O到平面的距离为( )
A. B. C.1 D.
8. （多选）如图，正方体的棱长为1，则以下说法正确的是( )
A.直线BC与平面所成的角等于
B.点C到面的距离为
C.两条异面直线和所成的角为
D.三棱柱的外接球的半径为
9. （多选）在正方体中，下列选项中说法正确的是( )
A. B.与BD所成的角为60°
C.二面角的平面角为45° D.与平面ABCD所成的角为45°
10. （多选）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A.如果，，，那么
B.如果，，那么
C.如果，，，那么
D.如果，，，那么
11.已知在四棱锥中，平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面平面PCD.
12.在三棱锥中，，则二面角的大小为_________.
13.如图，平面平面ABD，，，是正三角形，O为AB的中点，则图中直角三角形的个数为_____________.
14.如图，已知正方体.
(1)求证：.
(2)M，N分别为与上的点，且，求证：.
15.如图，在平行六面体中，底面ABCD为菱形，和相交于点O，E为的中点.
（1）求证：平面ABCD；
（2）若平面平面ABCD，求证：.
答案以及解析
1.答案：D
解析：为了方便解题，将正四面体放入正方体中，如图所示.连接，对于选项A，取分别为的中点，则易知，所以选项A不正确；对于选项B，在正方体中，易知平面，因为过点且与平面平行的平面不经过点，所以不存在，使得，故选项B不正确；对于选项C，在正方体中，易证平面，所以不存在，使得平面，故选项C不正确；对于选项D，设与平面的交点为，连接，只要令平面与的交点为即可得平面平面，故选项D正确.
2.答案：C
解析：在A选项中，，，，则和m可能平行或相交，故A错误；在B选项中，，，，则m与相交或或，故B错误；在C选项中，因为，，所以，又，所以，故C正确；在D选项中，由，，不能推出，所以由不能推出，故D错误.故选C.
3.答案：C
解析：根据题意，还原的几何体如图所示，对于A，B选项，连接EF，因为，且，所以四边形AEFD为梯形，AE，DF是梯形的腰，故AE，DF一定相交，故A，B错误；对于C选项，取PD的中点M，连接MF，AM，因为，，所以四边形FMAB为梯形，AM，BF是梯形的腰，故AM，BF一定相交，故BF与平面PAD一定相交，故C正确；对于D选项，若直线平面PBC，可得.又因为在正方形ABCD中，，，所以平面PCD，所以，这不一定成立，故D错误.故选C.
4.答案：B
解析：A选项中，若，，则，可能平行也可能相交，故A错误；B选项中，，，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定定理可知，故B正确；C选项中，若，，则或，故C错误；D选项中，若，，则l与相交、平行或，故D错误.故选B.
5.答案：C
解析：平面平面ABC，平面平面，，平面PAB，故选项A正确；又平面PAB，.又，，平面ABC，故选项B正确；又平面PAC，平面平面ABC，故选项D正确，故选C.
6.答案：C
解析：设球O的半径为R，则，解得：.
设外接圆半径为r，边长为a，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心O到平面ABC的距离.
故选：C.
7.答案：C
解析：由等边三角形ABC的面积为，得，得，则的外接圆半径.设球O的半径为R，则由球的表面积为，得，得，则球心O到平面ABC的距离，故选C.
8.答案：ABD
解析：正方体的棱长为1，对于A，直线BC与平面所成的角为，故A正确；对于B，点C到面的距离为长度的一半，即距离为，故B正确；对于C，连接AC，因为，所以异面直线和所成的角即直线和所成的角，又是等边三角形，所以异面直线和所成的角为，故C错误；对于D，三棱柱的外接球就是正方体的外接球，正方体的外接球半径，故D正确.故选ABD.
9.答案：ABC
解析：对于A，连接AC，则.，，故A正确.对于B，连接，，即为与BD所成的角.为等边三角形，与BD所成的角为60°，故B正确.对于C，平面，平面，.，是二面角的平面角.是等腰直角三角形，，故C正确.对于D，平面ABCD，是与平面ABCD所成的角.，，故D错误.故选ABC.
10.答案：ABC
解析：如果，，，那么由面面垂直的判定定理可得，故A正确；如果，，那么由面面平行的性质及线面平行的判定定理可得，故B正确；如果，，，那么由线面平行的性质定理可得，故C正确；如果，，，那么平面，平行或相交，故D错误.故选ABC.
11.答案：(或)
解析：，，易知，当时，，又，平面MBD，又平面PCD，平面平面PCD.
12.答案：60°
解析：取AB中点M，连接PM，MC，则，
所以就是二面角的平面角.
由已知易求得：，又，所以即为所求.
13.答案：6
解析：，O为AB的中点，.又平面平面ABD，且交线为AB，平面ABD.平面ABD，，为直角三角形.图中的直角三角形有，，，，，，共6个.
14.答案：(1)见解析.
(2)见解析.
解析：(1)连接.
因为平面平面，
所以.
因为四边形是正方形，所以.
又因为，
所以平面.
又因为平面，
所以.
(2)连接.
因为，所以四边形为平行四边形，所以.
因为，所以.
又因为，
所以平面.
由(1)知.
同理可得.
又因为，
所以平面.
所以.
15.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）如图，连接AC.
因为，，
所以，互相平分，所以O为和的中点.
又因为E为的中点，所以OE为的中位线，
所以.又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD.
（2）因为四边形ABCD为菱形，所以.
因为平面平面ABCD，平面与平面ABCD相交于BD，平面ABCD，所以平面.
因为平面，所以.
又因为，所以.
因为，所以.
2