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5.2.2 平行线的判定
夯基训练
知识点1 由“同位角相等”判定两直线平行
1.如图，∠1＝∠2＝55°，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗？说明理由．
2.如图,已知∠1=∠2,则下列结论正确的是( )
A.AD∥BC B.AB∥CD
C.AD∥EF D.EF∥BC
知识点2 由“内错角相等”判定两直线平行
3.如图，已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，AB与CD平行吗？为什么？
知识点3 由“同旁内角互补”判定两直线平行
4.如图，∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC.AD与BC有怎样的位置关系？为什么？
知识点4由“第三直线”判定两直线平行
5.三条直线a,b,c,若a∥c,b∥c,则a与b的位置关系是( )
A.a⊥b B.a∥b
C.a⊥b或a∥b D.无法确定
题型总结
题型1 利用“同位角相等”说明两直线平行
6.如图,点B在DC上,BE平分∠ABD,∠ABE=∠C,试说明:BE∥AC.
解:因为BE平分∠ABD,
所以∠ABE=∠DBE( ).
因为∠ABE=∠C,
所以∠DBE=∠C,
所以BE∥AC( ).
7.如图,已知∠1=68°,∠2=68°,∠3=112°.
(1)因为∠1=68°,∠2=68°(已知),
所以∠1=∠2.
所以 ∥ (同位角相等,两直线平行).
(2)因为∠3+∠4=180°(邻补角的定义),∠3=112°,
所以∠4=68°.
又因为∠2=68°,
所以∠2=∠4,
所以 ∥ (同位角相等,两直线平行).
题型2利用“内错角相等”,说明两直线平行
8.如图,已知AB⊥BC,DC⊥BC,∠1=∠2,可得到BE∥CF,说明过程如下,请填上说明的依据:2·1·c·n·j·y
因为AB⊥BC,DC⊥BC,
所以∠ABC=90°,
∠BCD=90°(______________),
所以∠ABC=∠BCD.
又因为∠1=∠2,
所以∠EBC=∠FCB.
所以BE∥CF(_____________).
题型3利用“同旁内角互补”,说明两直线平行
9.如图,∠1=65°,∠2=65°,∠3=115°.试说明:DE∥BC,DF∥AB.根据图形,完成下面的推理:.21-cn-jy.com
因为∠1=65°,∠2=65°,
所以∠1=∠2.
所以_____________∥_____________ (___________).
因为AB与DE相交,
所以∠1=∠4(___________).
所以∠4=65°.
又因为∠3=115°,
所以∠3+∠4=180°.
所以___________∥ ( ).
题型4利用平行线的判定方法说明两直线平行
10.如图，下列说法错误的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c
D．若∠3＋∠4＝180°，则a∥c
11.如图所示，要想判断AB是否与CD平行，我们可以测量哪些角？请你写出三种方案，并说明理由．
拓展培优
拓展角度1利用平行线、垂线的基本事实说明三点共线
12.在同一平面内,已知A,B,C是直线l同旁的三个点.
(1)若AB∥l,BC∥l,则A,B,C三点在同一条直线上吗 为什么
(2)若AB⊥l,BC⊥l,则A,B,C三点在同一条直线上吗 为什么
拓展角度2利用同位角探究两线段的位置关系
13.如图所示,∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F,
问:CE与DF的位置关系怎样 试说明理由.
拓展角度3利用平行线的判定探究两直线的位置关系
14.如图，有以下四个条件：①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
拓展角度4利用平行公理的推论判定两直线平行(构造法)
15.如图,已知∠A+∠ACD+∠D=360°,试说明:AB∥DE.
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5.2.2 平行线的判定
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 由“同位角相等”判定两直线平行
1.如图，∠1＝∠2＝55°，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗？说明理由．
1.解析：利用对顶角相等得到∠3＝∠2，再由已知∠1＝∠2，等量代换得到同位角相等，利用“同位角相等，两直线平行”即可得到AB与CD平行．
解：∠3＝55°，AB∥CD.理由如下：∵∠3＝∠2，∠1＝∠2＝55°，∴∠1＝∠3＝55°，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
方法总结：准确识别三种角是判断两条直线平行的前提条件，本题中易得到同位角(“F”型)相等，从而可以应用“同位角相等，两直线平行”．
2.如图,已知∠1=∠2,则下列结论正确的是( )
A.AD∥BC B.AB∥CD
C.AD∥EF D.EF∥BC
2.【答案】C
解：找出∠1和∠2是直线AD,EF被直线CD所截而形成的同位角,因此由∠1=∠2可得出AD∥EF.
知识点2 由“内错角相等”判定两直线平行
3.如图，已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，AB与CD平行吗？为什么？
3解析：根据BC平分∠ACD，∠1＝∠2，可得∠2＝∠BCD，然后利用“内错角相等，两直线平行”即可得到AB∥CD.
解：AB∥CD.理由如下：∵BC平分∠ACD，∴∠1＝∠BCD.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCD，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
方法总结：准确识别三种角是判断两条直线平行的前提条件，本题中易得到内错角(“Z”型)相等，从而可以应用“内错角相等，两直线平行”．
知识点3 由“同旁内角互补”判定两直线平行
4.如图，∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC.AD与BC有怎样的位置关系？为什么？
4.解析：先根据∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC得出∠B与∠BAD的关系，进而得出结论．
解：AD∥BC.理由如下：∵∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC，∴∠BAD＝90°＋25°＝115°.∵∠BAD＋∠B＝115°＋65°＝180°，∴AD∥BC.
方法总结：准确识别三种角是判断两条直线平行的前提条件，本题中易得到同旁内角(“U”型)相等，从而可以应用“同旁内角互补，两直线平行”．
知识点4由“第三直线”判定两直线平行
5.三条直线a,b,c,若a∥c,b∥c,则a与b的位置关系是( )
A.a⊥b B.a∥b
C.a⊥b或a∥b D.无法确定
5.【答案】B
解：由平行于同一条直线的两条直线互相平行知选B.
题型总结
题型1 利用“同位角相等”说明两直线平行
6.如图,点B在DC上,BE平分∠ABD,∠ABE=∠C,试说明:BE∥AC.
解:因为BE平分∠ABD,
所以∠ABE=∠DBE( ).
因为∠ABE=∠C,
所以∠DBE=∠C,
所以BE∥AC( ).
6.【答案】角平分线的定义;同位角相等,两直线平行
7.如图,已知∠1=68°,∠2=68°,∠3=112°.
(1)因为∠1=68°,∠2=68°(已知),
所以∠1=∠2.
所以 ∥ (同位角相等,两直线平行).
(2)因为∠3+∠4=180°(邻补角的定义),∠3=112°,
所以∠4=68°.
又因为∠2=68°,
所以∠2=∠4,
所以 ∥ (同位角相等,两直线平行).
7.【答案】(1)a;b (2)b;c
题型2利用“内错角相等”,说明两直线平行
8.如图,已知AB⊥BC,DC⊥BC,∠1=∠2,可得到BE∥CF,说明过程如下,请填上说明的依据:2·1·c·n·j·y
因为AB⊥BC,DC⊥BC,
所以∠ABC=90°,
∠BCD=90°(______________),
所以∠ABC=∠BCD.
又因为∠1=∠2,
所以∠EBC=∠FCB.
所以BE∥CF(_____________).
8.【答案】垂直的定义;内错角相等,两直线平行
题型3利用“同旁内角互补”,说明两直线平行
9.如图,∠1=65°,∠2=65°,∠3=115°.试说明:DE∥BC,DF∥AB.根据图形,完成下面的推理:.21-cn-jy.com
因为∠1=65°,∠2=65°,
所以∠1=∠2.
所以_____________∥_____________ (___________).
因为AB与DE相交,
所以∠1=∠4(___________).
所以∠4=65°.
又因为∠3=115°,
所以∠3+∠4=180°.
所以___________∥ ( ).
9.【答案】DE;BC;同位角相等,两直线平行;对顶角相等;DF;AB;
同旁内角互补,两直线平行
解：∠1与∠2是直线DE,BC被直线AB所截得到的同位角,且∠1=∠2,所以DE∥BC,理由是“同位角相等,两直线平行”.∠1与∠4是两条直线AB与DE相交得到的对顶角,所以∠1=∠4,理由是“对顶角相等”.∠3与∠4是直线DF,AB被直线DE所截得到的同旁内角,且∠3+∠4=180°,所以DF∥AB,理由是“同旁内角互补,两直线平行”.
题型4利用平行线的判定方法说明两直线平行
10.如图，下列说法错误的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c
D．若∠3＋∠4＝180°，则a∥c
10.解析：根据平行线的判定方法进行推理论证．A选项中，若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；B选项中，若∠1＝∠2，则a∥c，利用了“内错角相等，两直线平行”，正确；C选项中，∠3＝∠2，不能判断b∥c，错误；D选项中，若∠3＋∠4＝180°，则a∥c，利用了“同旁内角互补，两直线平行”，正确．故选C.
方法总结：解决此类问题的关键是识别截线和被截线，找准同位角、内错角和同旁内角，从而判断出哪两条直线是平行的．
11.如图所示，要想判断AB是否与CD平行，我们可以测量哪些角？请你写出三种方案，并说明理由．
11.解析：判别两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此答题．
解：(1)可以测量∠EAB与∠D，如果∠EAB＝∠D，那么根据“同位角相等，两直线平行”，得出AB与CD平行；
(2)可以测量∠BAC与∠C，如果∠BAC＝∠C，那么根据“内错角相等，两直线平行”，得出AB与CD平行；
(3)可以测量∠BAD与∠D，如果∠BAD＋∠D＝180°，那么根据“同旁内角互补，两直线平行”，得出AB与CD平行．
拓展培优
拓展角度1利用平行线、垂线的基本事实说明三点共线
12.在同一平面内,已知A,B,C是直线l同旁的三个点.
(1)若AB∥l,BC∥l,则A,B,C三点在同一条直线上吗 为什么
(2)若AB⊥l,BC⊥l,则A,B,C三点在同一条直线上吗 为什么
12.解:(1)在同一条直线上.理由:因为直线AB,BC都经过点B,且都与直线l平行,而过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,所以AB,BC为同一条直线,所以A,B,C三点在同一条直线上.
(2)在同一条直线上.理由:因为直线AB,BC都经过点B,且都与直线l垂直,而在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,所以AB,BC为同一条直线,所以A,B,C三点在同一条直线上.
拓展角度2利用同位角探究两线段的位置关系
13.如图所示,∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F,
问:CE与DF的位置关系怎样 试说明理由.
13.解:CE∥DF.理由如下:
因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
所以∠DBC=∠ABC,∠BCE=∠ACB.
因为∠ABC=∠ACB,所以∠DBC=∠BCE.
因为∠DBF=∠F,所以∠BCE=∠F,
所以CE∥DF.
拓展角度3利用平行线的判定探究两直线的位置关系
14.如图，有以下四个条件：①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14.解析：根据平行线的判定定理即可求得答案．①∵∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD；②∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；④∵∠B＝∠5，∴AB∥CD.∴能得到AB∥CD的条件是①③④.故选C.
方法总结：要判定两直线是否平行，首先要将题目给出的角转化为这两条直线被第三条直线所截得的同位角、内错角或同旁内角，再看这些角是否满足平行线的判定方法．
拓展角度4利用平行公理的推论判定两直线平行(构造法)
15.如图,已知∠A+∠ACD+∠D=360°,试说明:AB∥DE.
15.解:如图,过点C作∠ACF=∠A,
∴AB∥CF.
∵∠A+∠ACD+∠D=360°,
∴∠ACF+∠ACD+∠D=360°.
又∵∠ACF+∠ACD+∠FCD=360°,
∴∠FCD=∠D,∴CF∥DE,∴AB∥DE.
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