6.4生活中的圆周运动（含答案）高一物理课后培优分级练（2019人教版必修第二册）
文档属性
| 名称 | 6.4生活中的圆周运动（含答案）高一物理课后培优分级练（2019人教版必修第二册） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2023-02-07 21:14:02 | ||
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文档简介
6.4生活中的圆周运动
培优第一阶——基础过关练
一、判断哪些力提供向心力(共0分)
1．如图，紫贴圆筒内壁的小物块与圆筒一起绕竖直中心轴旋转。提供小物块在水平面内做匀速圆周运动向心力的是（ ）
A．重力 B．弹力
C．摩擦力 D．弹力与摩擦力的合力
2．如图所示，长为L的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球。在O点的正下方与O点相距的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子A。把球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，在细绳碰到钉子后的瞬间（细绳没有断），下列说法中正确的是（ ）
A．小球的向心加速度突然增大到原来的3倍
B．小球的线速度突然增大到原来的3倍
C．小球的角速度突然增大到原来的1.5倍
D．小球的向心力突然增大到原来的1.5倍
3．如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B．向心力由细线对小球的拉力提供
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D．向心力的大小等于
4．如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力
C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
5．如图所示，半径为L的圆管轨道（圆管内径远小于轨道半径）竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球（小球直径略小于管内径）可沿管转动，已知重力加速度为g，设小球经过最高点P时的速度为v，则（ ）
A．v的最小值为
B．v若增大，球所需的向心力也增大
C．当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小
D．当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也减小
二、绳球模型
6．如图所示，悬线一端系一小球，另一端固定于点，在点正下方的点钉一个钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，下列说法正确的是（ ）
①小球的瞬时速度突然变大 ②小球的加速度突然变大
③小球所需的向心力突然变大 ④悬线所受的拉力突然变大
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
7．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点。当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动。关于小球的运动下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时的最小速度为零
B．小球过最高点时最小速度为2
C．小球开始运动时绳对小球的拉力为
D．小球运动到与圆心等高处时向心力由细绳的拉力提供
8．如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述不正确的是（重力加速度为g）（ ）
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
9．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT-v2图像如图乙所示，则（ ）
A．数据a与小球的质量无关
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为
D．当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等
10．如图所示，质量为m的小球在长为R的轻绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力，转轴离地高度h，重力加速度为g。求：
（1）若小球某次运动中恰好能通过最高点，则最高点处的速度为多大；
（2）若小球某次运动中在最低点时细绳恰好被拉断，则此时的速度为多大；
（3）在第（2）问中，细绳断后小球最终落到水平地面上。若绳长R长短可调整，求小球做平抛运动的水平距离x最大值是多少。
三、杆球模型
11．如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则小球对管内上壁有压力
B．若，则小球对管内下壁有压力
C．若，则小球对管内下壁有压力
D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
12．如图，质量均为m的A、B两个小球固定在长为L的轻杆上，绕杆的端点O在竖直面内做匀速圆周运动，B球固定在杆的中点，A球在杆的另一端，不计小球的大小，当小球A在最高点时，杆对球A的作用力恰好为零，重力加速度为g。当A球运动到最低点时，OB段杆对B球的作用力大小为（ ）
A．2.5mg B．3mg C．3.5mg D．4mg
13．(多选)如图所示，长0.5m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2m/s。取g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是6N
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6N
C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24N
D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54N
14．（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最高点时的最小速度
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
15．如图所示，某电动工具置于水平地面上。该电动工具底座质量为M，半径为R的转动圆盘质量可不计，在圆盘边缘固定有质量为m的物块（可视为质点），重力加速度为g。要使该电动工具底座不离开地面（不考虑底座翻转的情况），允许圆盘转动的最大转速为（ ）
A． B． C． D．
四、拱桥、凹桥模型
16．如图所示，上表面光滑，半径为的半圆柱体放在水平面上，小物块位于半圆柱体顶端，若给小物块一水平速度，重力加速度取，下列说法正确的是（ ）
A．小物块将沿半圆柱体表面滑下来
B．小物块落地时水平位移大小为
C．小物块落地速度大小为
D．小物块落地时速度方向与水平地面成角
17．如图所示，飞机在竖直平面内俯冲又拉起，这一过程可看作匀速圆周运动，飞行员所受重力为G。在最低点时，座椅对飞行员的支持力为F。则（ ）
A．F=G B．F>G C．F=0 D．F18．汽车在过凹凸路面时，都会做减速操作，如图、分别是一段凹凸路面的最高点和最低点，若把汽车视作质点，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车行驶到点时，处于超重状态，如果采取加速操作会使车胎受到更大的压力
B．汽车行驶到点时，处于超重状态，如果采取加速操作会使汽车飞离路面
C．汽车行驶到点时，处于失重状态，如果采取减速操作会增加车胎与路面间的弹力，使得行驶更加稳定安全
D．汽车行驶到点时，处于失重状态，如果采取减速操作会增加车胎与路面间的弹力，使得行驶更加稳定安全
19．如图所示，有一辆质量为m的汽车（可看做质点）驶上半径为R的圆弧拱形桥。
（1）当汽车以一定速度通过拱形桥顶时（汽车与桥面之间始终有相互作用），画出此时汽车在竖直方向受力的示意图；
（2）已知m = 1500kg、R = 50m，重力加速度g取10m/s2，当该汽车以速率v = 5m/s通过拱形桥顶时，汽车对桥的压力是多大？并判断此时汽车是处于超重状态还是失重状态；
（3）汽车通过桥顶时对桥面的压力过小是不安全的。请你通过分析说明：在设计拱形桥时，对于同样的车速，拱形桥圆弧的半径是大些比较安全还是小些比较安全。
20．如图所示，一个可视为质点的小物块从水平平台上的P点以初速度5m/s向右滑动，小物块与水平平台间的动摩擦因数为0.3，小物块运动到A点时以4m/s的速度水平抛出，当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入半径为2.75m的固定圆弧轨道BC，圆弧轨道的圆心角∠BOC＝37°。小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力为25.4N。然后小物块滑到与C端切线平齐的长木板上、已知长木板与地面间的动摩擦因数为0.2，小物块与长木板之间的动摩擦因数为0.6，小物块的质量为1.1kg，长木板的质量为3.9kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，。
（1）求水平平台上P点到A点的距离l；
（2）求小物块运动至B点时的速度大小；
（3）长木板至少为多长时才能保证小物块不滑出长木板？
五、火车转弯模型
21．（多选）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为，则（ ）
A．该弯道的半径
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
22．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作半径为R的圆周运动．设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L，如图所示。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则汽车转弯时的车速应等于（ ）
A． B．
C． D．
23．公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，为了减少交通事故的发生，以下措施可行的是（ ）
A．增大汽车的重量
B．提高汽车转弯时的速度
C．将转弯半径设计小些
D．将路面修成外侧路基比内侧路基高些
24．如图所示，两个完全相同的小球在内壁光滑的倒圆锥内做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．a球受重力、弹力和向心力
B．a、b两球向心力大小相等
C．两小球的角速度大小相等
D．两小球的线速度大小相等
25．如题图所示，两个质量相同的小球A、B用长度不等的细线拴在同一点，并在离地面某一高度的同一水平面内做匀速圆周运动，则小球A、B的（ ）
A．细线对A球的拉力大于对B球的拉力
B．A球的向心加速度等于B球的向心加速度
C．A球的角速度小于B球的角速度
D．A球的线速度小于B球的线速度
26．（多选）如图所示，为一种圆锥筒状转筒，左右各系着一长一短的绳子挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面，当转筒中心轴开始缓慢加速转动，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．角速度慢慢增大，一定是线长的那个球先离开圆锥筒
B．角速度达到一定值的时候两个球一定同时离开圆锥筒
C．两个球都离开圆锥筒后，它们的高度不一定相同
D．两个球都离开圆锥筒后，它们的高度一定相同
在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接小球C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同（连接D球的绳较长），则下列说法正确的是（ ）
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B线速度大小相同
C．小球C、D线速度大小相同
D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
28．如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．a绳与水平方向夹角θ随角速度ω的增大而一直减小
B．a绳所受拉力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>时，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
29．如图所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动．
（1）当时，求细线对小球的拉力大小；
（2）当时，求细线对小球的拉力大小．
七、水平转盘上的物体
30．（多选）如图所示，A、B、C三个材质相同的小物体放在匀速转动的水平圆台上，始终与平台保持相对静止。已知A的半径是，B和C半径均为，A、B、C三个小物体质量之比为，则（ ）
A．小物体A的线速度最大，加速度也最大
B．小物体C的线速度最大，加速度也最大
C．小物体A与B所受摩擦力大小相同，C所受摩擦力最大
D．若三个物体位置不变，则无论三个物体的质量如何变化，当转台转速增大，总是小物体A先发生相对滑动
31．（多选）如图所示，一个被无弹性绳子牵引的小球，在光滑水平板上以速度做匀速圆周运动，A轨道运动半径。现迅速松手使绳子放长20cm后立即拽紧绳子，使小球在更大半径的新轨道B上做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．实现这一过渡所需时间为2.0s
B．小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动的线速度之比为5：3
C．小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动的角速度之比为25：9
D．小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动时绳子拉力之比为5：3
32．如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径。当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上，欲使小木块相对B轮也静止，则小木块距B轮转动轴的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
33．如图所示，两个质量分别为m、2m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴OO′的距离为2l，两木块与圆盘间的最大静摩擦力均为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A．a、b相对圆盘刚开始滑动时的临界角速度大小之比为1 ：2 = ： 1
B．a、b相对圆盘有沿半径向外运动的趋势
C． 是a开始滑动的临界角速度
D．当时，b所受摩擦力的大小为kmg
34．（多选）在如图所示的水平转盘上，沿半径方向放着质量分别为m、2m的两物块A和B（均视为质点），它们用不可伸长的轻质细线相连，与圆心的距离分别为2r、3r，A、B两物块与转盘之间的动摩擦因数分别为、，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。现缓慢加快转盘的转速，当两物块相对转盘将要发生滑动时，保持转盘的转速不变，下列说法正确的是（ ）
A．此时转盘的角速度大小为
B．此时细线中的张力大小为
C．此时烧断细线后的瞬间，B的加速度大小为
D．此时烧断细线后的瞬间，A、B两物块的加速度大小相等
八、离心、向心运动
35．（多选）如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力作用下做匀速圆周运动，若小球到达点时突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是：（ ）
A．突然消失，小球将沿轨迹做离心运动
B．突然变小，小球将沿轨迹做离心运动
C．突然变小，小球将沿轨迹逐渐靠近圆心
D．突然变大，小球将沿轨迹逐渐靠近圆心
36．如图，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘面间的动摩擦因数相同。当匀速转动的圆盘转速恰为两物体刚好未发生滑动时的转速，烧断细线，则两个物体的运动情况将是（ ）
A．两物体均沿切线方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动
37．翻滚过山车是一种非常刺激而有趣的游乐项目。如图甲所示，小刚同学所坐的翻滚过山车正在下行中，如图乙所示，他此时所做的运动及所受合力的可能方向分别是（ ）
A．匀速圆周运动、沿方向 B．匀速圆周运动、沿方向
C．加速圆周运动、沿方向 D．减速圆周运动、沿方向
培优第二阶——拓展培优练
38．如图所示，园林工人正在把一颗枯死的小树苗掰折，已知树苗的长度为L，该工人的两手与树苗的接触位置（树苗被掰折的过程手与树苗接触位置始终不变）距地面高为h，树苗与地面的夹角为α时，该工人手水平向右的速度恰好为v，则树苗转动的角速度为（ ）
A． B． C． D．
39．（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A．当时，A、B相对于转盘会滑动
B．当，绳子一定有弹力
C．ω在范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
40．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L（LA． B．
C． D．
41．如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，其质量为M，有一质量为m的小球以水平速度v0从圆轨道最低点A开始向左运动，小球沿圆轨道运动且始终不脱离圆轨道，在此过程中，铁块始终保持静止，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．地面受到的压力始终大于Mg
B．小球在圆轨道左侧运动的过程中，地面受到的摩擦力可能向右
C．小球经过最低点A时地面受到的压力可能等于Mg+mg
D．小球在圆轨道最高点C时，地面受到的压力可能为0
42．如图所示，竖直杆AB在A、B两点通过光滑铰链连接两等长轻杆AC和BC，AC和BC与竖直方向的夹角均为θ，轻杆长均为L，在C处固定一质量为m的小球，重力加速度为g，在装置绕竖直杆AB转动的角速度ω从0开始逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当ω=0时，AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力
B．AC杆对球的作用力先增大后减小
C．一定时间后，AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定
D．当ω=时，BC杆对球的作用力为0
43．（多选）如图所示为一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径为R=1m，小球可看作质点且其质量为m=1kg，g取10m/s2。则（ ）
A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m
C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N
D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N
44．如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为。设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为，求：
（1）当水平转盘以角速度匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，求的值是多少？
（2）将物块和转轴用细绳相连，物块静止时绳恰好伸直且无拉力，细绳水平，当转盘的角速度时，求细绳的拉力大小；
（3）将物块和转轴用细绳相连，物块静止时绳恰好伸直且无拉力，细绳水平，当转盘的角速度时，求物块对细绳的拉力大小。
6.4生活中的圆周运动
培优第一阶——基础过关练
一、判断哪些力提供向心力(共0分)
1．如图，紫贴圆筒内壁的小物块与圆筒一起绕竖直中心轴旋转。提供小物块在水平面内做匀速圆周运动向心力的是（ ）
A．重力 B．弹力
C．摩擦力 D．弹力与摩擦力的合力
【答案】B
【详解】竖直方向重力与摩擦力平衡，提供小物块在水平面内做匀速圆周运动向心力的是弹力。
故选B。
2．如图所示，长为L的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球。在O点的正下方与O点相距的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子A。把球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，在细绳碰到钉子后的瞬间（细绳没有断），下列说法中正确的是（ ）
A．小球的向心加速度突然增大到原来的3倍
B．小球的线速度突然增大到原来的3倍
C．小球的角速度突然增大到原来的1.5倍
D．小球的向心力突然增大到原来的1.5倍
【答案】A
【详解】B．细绳碰到钉子的瞬间，线速度不变，B错误；A．圆周运动的半径由L变为，由a＝知，a增大到原来的3倍，A正确；C．根据v＝rω知角速度ω增大到原来的3倍，C错误；D．细绳碰到钉子前瞬间小球的向心力F向1＝m碰后瞬间向心力F向2＝m＝3F向1D错误。故选A。
3．如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B．向心力由细线对小球的拉力提供
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D．向心力的大小等于
【答案】C
【详解】ABC．对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图所示，AB错误，C正确；D．向心力的大小
D错误。故选C。
4．如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力
C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
【答案】C
【详解】A．把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；B．物块做匀速圆周运动，向心力F＝mA、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以，两者运动所需的向心力相等，故B错误；C．由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；D．若B相对圆盘先滑动，则即故D错误。故选C。
5．如图所示，半径为L的圆管轨道（圆管内径远小于轨道半径）竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球（小球直径略小于管内径）可沿管转动，已知重力加速度为g，设小球经过最高点P时的速度为v，则（ ）
A．v的最小值为
B．v若增大，球所需的向心力也增大
C．当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小
D．当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也减小
【答案】B
【详解】A．由于小球在圆管中运动，在最高点速度可以是零，A错误；B．根据向心力公式有Fn＝m
v若增大，小球所需的向心力一定增大，B正确；C．小球经过最高点时，因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝时，轨道对小球的弹力是零，因此v由逐渐减小时，即v<，小球的重力大于所需向心力，轨道对小球有向上的弹力，由牛顿第二定律可得随v的减小，轨道对小球的弹力增大，C错误；D．v由逐渐增大时，即v>，重力小于小球所需向心力，此时轨道对小球有向下的弹力，由牛顿第二定律可得随v的增大，轨道对小球的弹力也增大，D错误。故选B。
二、绳球模型
6．如图所示，悬线一端系一小球，另一端固定于点，在点正下方的点钉一个钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，下列说法正确的是（ ）
①小球的瞬时速度突然变大 ②小球的加速度突然变大
③小球所需的向心力突然变大 ④悬线所受的拉力突然变大
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】B
【详解】①速度变化需要一段时间，速度不会突变。故①错误；②小球做圆周运动，在最低点的加速度就是向心加速度半径突然变小，向心加速度变大。故②正确；③向心力为F=maa变大，则向心力会突然变大。故③正确；④绳子的拉力为可知拉力T会突然变大。故④正确。故选B。
7．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点。当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动。关于小球的运动下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时的最小速度为零
B．小球过最高点时最小速度为2
C．小球开始运动时绳对小球的拉力为
D．小球运动到与圆心等高处时向心力由细绳的拉力提供
【答案】D
【详解】AB．根据得小球通过最高点的最小速度故AB错误；C．在最低点，根据牛顿第二定律得解得绳子对小球的拉力故C错误；D．在与圆心等高处，重力竖直向下，小球做圆周运动的向心力指向圆心，由绳子拉力提供，故D正确。故选D。
8．如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述不正确的是（重力加速度为g）（ ）
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
【答案】A
【详解】A．因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，A错误，符合题意；BCD．小球经过圆环内侧最高点时，只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有mg＝m＝ma即v＝a＝gBCD正确，不符合题意。故选A。
9．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT-v2图像如图乙所示，则（ ）
A．数据a与小球的质量无关
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为
D．当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等
【答案】D
【详解】AB．设绳长为R，由牛顿第二定律知小球在最高点满足即由题图乙知a＝mg，b＝gR所以故AB错误；CD．当v2＝c时，有将g和R的值代入得故C错误；D．当v2＝2b时，由可得FT2＝a＝mg即拉力与重力大小相等，故D正确。故选D。
10．如图所示，质量为m的小球在长为R的轻绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力，转轴离地高度h，重力加速度为g。求：
（1）若小球某次运动中恰好能通过最高点，则最高点处的速度为多大；
（2）若小球某次运动中在最低点时细绳恰好被拉断，则此时的速度为多大；
（3）在第（2）问中，细绳断后小球最终落到水平地面上。若绳长R长短可调整，求小球做平抛运动的水平距离x最大值是多少。
【答案】（1）；（2）；（3）（或）
【详解】（1）小球恰好通过最高点，设在最高点A的速度为，根据牛顿第二定律有
解得
（2）设小球在最低点B受到最大拉力时速度为，据牛顿第二定律有
解得
（3）小球离开B点后做平抛运动，竖直方向满足
水平方向满足
联立解得
由数学知识可知，当
时，x有最大值，最大值为
或
三、杆球模型
11．如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则小球对管内上壁有压力
B．若，则小球对管内下壁有压力
C．若，则小球对管内下壁有压力
D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
【答案】C
【详解】A．在最高点，只有重力提供向心力时，有解得此时小球对管内壁无压力，故A错误；B．若则有此时小球受向下的压力，这表明小球对管内上壁有压力，故B错误；CD．若则有此时小球受向上的支持力，表明小球对管内下壁有压力，故C正确，D错误。故选C。
12．如图，质量均为m的A、B两个小球固定在长为L的轻杆上，绕杆的端点O在竖直面内做匀速圆周运动，B球固定在杆的中点，A球在杆的另一端，不计小球的大小，当小球A在最高点时，杆对球A的作用力恰好为零，重力加速度为g。当A球运动到最低点时，OB段杆对B球的作用力大小为（ ）
A．2.5mg B．3mg C．3.5mg D．4mg
【答案】C
【详解】设转动的角速度为，当A球在最高点时当A球运动到最低点时
对于B球解得故选C。
13．(多选)如图所示，长0.5m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2m/s。取g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是6N
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6N
C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24N
D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54N
【答案】BD
【详解】AB．设在最高点杆子表现为拉力，则有代入数据得F=-6N则杆子表现为推力，大小为6N。根据牛顿第三定律可知小球对杆子表现为压力，大小为6N，选项A错误，B正确；CD．在最低点，杆子表现为拉力，有代入数据得F=54N根据牛顿第三定律可知小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54N，选项C错误，D正确。故选BD。【点睛】杆带着在竖直平面内的圆周运动，最高点，杆子可能表现为拉力，也可能表现为推力，取决于速度的大小；在最低点，杆子只能表现为拉力。
14．（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最高点时的最小速度
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】BD
【详解】AB．小球在最高点时，由于管道内侧能提供支持力，其通过的速度可以为零，A错误，B正确；
CD．小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力与小球的重力在背离圆心方向的分力的合力提供向心力，即因此，外侧管壁对球一定有作用力，此时内侧管壁对球一定无作用力，C错误，D正确。故选BD。
15．如图所示，某电动工具置于水平地面上。该电动工具底座质量为M，半径为R的转动圆盘质量可不计，在圆盘边缘固定有质量为m的物块（可视为质点），重力加速度为g。要使该电动工具底座不离开地面（不考虑底座翻转的情况），允许圆盘转动的最大转速为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当物块转动到最高点，物块对圆盘拉力的大小刚好等于电动工具底座的重力时，底座刚要离开地面，此时圆盘的转速即为题求最大转速，则有对物块有解得则转速为故选C。
四、拱桥、凹桥模型
16．如图所示，上表面光滑，半径为的半圆柱体放在水平面上，小物块位于半圆柱体顶端，若给小物块一水平速度，重力加速度取，下列说法正确的是（ ）
A．小物块将沿半圆柱体表面滑下来
B．小物块落地时水平位移大小为
C．小物块落地速度大小为
D．小物块落地时速度方向与水平地面成角
【答案】C
【详解】A．设小物块在半圆柱体顶端做圆周运动的临界速度为，则重力刚好提供向心力时，由牛顿第二定律得解得因为所以小物块将离开半圆柱体做平抛运动，故A错误；B．小物块做平抛运动时竖直方向满足水平位移为联立解得故B错误；C．小物块落地时竖直方向分速度大小为落地时速度的大小为联立解得故C正确；D．由于故落地时速度方向与水平地面成角，满足解得故D错误。故选C。
17．如图所示，飞机在竖直平面内俯冲又拉起，这一过程可看作匀速圆周运动，飞行员所受重力为G。在最低点时，座椅对飞行员的支持力为F。则（ ）
A．F=G B．F>G C．F=0 D．F【答案】B
【详解】最低点时，飞行员的向心力F向=F-G所以F>G故选B。
18．汽车在过凹凸路面时，都会做减速操作，如图、分别是一段凹凸路面的最高点和最低点，若把汽车视作质点，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车行驶到点时，处于超重状态，如果采取加速操作会使车胎受到更大的压力
B．汽车行驶到点时，处于超重状态，如果采取加速操作会使汽车飞离路面
C．汽车行驶到点时，处于失重状态，如果采取减速操作会增加车胎与路面间的弹力，使得行驶更加稳定安全
D．汽车行驶到点时，处于失重状态，如果采取减速操作会增加车胎与路面间的弹力，使得行驶更加稳定安全
【答案】C
【详解】AC．汽车在A点具有向下的加速度，由牛顿定律可知，路面对汽车的支持力小于汽车的重力，此时汽车处于失重状态，如果采取加速操作，会使加速度增大，路面对汽车的支持力减小，汽车会飞离地面，若采取减速操作，加速度减小，路面对汽车的支持力增大，即车胎与路面间的弹力增大，汽车行驶更安全，故A错误，C正确；BD．汽车在B点具有向上的加速度，由牛顿定律可知，路面对汽车的支持力大于汽车的重力，此时汽车处于超重状态，如果采取加速操作，会使加速度增大，路面对汽车的支持力增大，车胎受到的压力增大，汽车更紧贴地面；若采取减速操作，加速度减小，路面对汽车的支持力减小，即车胎与路面间的弹力减小，故BD错误。故选C。
19．如图所示，有一辆质量为m的汽车（可看做质点）驶上半径为R的圆弧拱形桥。
（1）当汽车以一定速度通过拱形桥顶时（汽车与桥面之间始终有相互作用），画出此时汽车在竖直方向受力的示意图；
（2）已知m = 1500kg、R = 50m，重力加速度g取10m/s2，当该汽车以速率v = 5m/s通过拱形桥顶时，汽车对桥的压力是多大？并判断此时汽车是处于超重状态还是失重状态；
（3）汽车通过桥顶时对桥面的压力过小是不安全的。请你通过分析说明：在设计拱形桥时，对于同样的车速，拱形桥圆弧的半径是大些比较安全还是小些比较安全。
【答案】（1）；（2）F′N= 14250N，失重；（3）半径应当大一些
【详解】（1）汽车竖直方向受力如图所示
（2）根据牛顿第二定律和向心加速度公式，有
代入数据有
FN= 14250N
根据牛顿第三定律，可知汽车对桥面的压力大小为
F′N= FN= 14250N
因为
F′N < mg = 15000N
因此汽车处于失重状态。
（3）由（2）可知
即R较大时，F′N就较大，因此拱桥圆弧的半径应当大一些。
20．如图所示，一个可视为质点的小物块从水平平台上的P点以初速度5m/s向右滑动，小物块与水平平台间的动摩擦因数为0.3，小物块运动到A点时以4m/s的速度水平抛出，当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入半径为2.75m的固定圆弧轨道BC，圆弧轨道的圆心角∠BOC＝37°。小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力为25.4N。然后小物块滑到与C端切线平齐的长木板上、已知长木板与地面间的动摩擦因数为0.2，小物块与长木板之间的动摩擦因数为0.6，小物块的质量为1.1kg，长木板的质量为3.9kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，。
（1）求水平平台上P点到A点的距离l；
（2）求小物块运动至B点时的速度大小；
（3）长木板至少为多长时才能保证小物块不滑出长木板？
【答案】（1）l＝1.5m；（2）；（3）3m
【详解】（1）小物块从P点运动到A点是做匀减速运动，加速度大小
根据公式
解得
l＝1.5m
（2）进入圆弧轨道时，小物块的速度方向与水平面的夹角为37°，有
则小物块运动到B点时的速度
（3）小物块运动到C点时，有
解得
长木板与地面间的最大静摩擦力
由题意可知小物块与长木板间的摩擦力
因为，所以小物块在长木板上滑动时，长木板保持静止不动。设小物块在长木板上做匀减速运动，运动至长木板最右端时速度刚好为0，则长木板长度
所以长木板至少为3m时才能保证小物块不滑出长木板。
五、火车转弯模型
21．（多选）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为，则（ ）
A．该弯道的半径
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
【答案】AB
【详解】AB．火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，设转弯处斜面的倾角为，根据牛顿第二定律得解得可知火车规定的行驶速度与质量无关，AB正确；C．当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，C错误；D．当火车速率小于v时，重力和支持力的合力偏大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，D错误。故选AB。
22．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作半径为R的圆周运动．设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L，如图所示。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则汽车转弯时的车速应等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设路面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mgtanθ＝m又由数学知识可知tanθ＝联立解得v＝故选B。
23．公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，为了减少交通事故的发生，以下措施可行的是（ ）
A．增大汽车的重量
B．提高汽车转弯时的速度
C．将转弯半径设计小些
D．将路面修成外侧路基比内侧路基高些
【答案】D
【详解】ABC．汽车转弯时需要向心力，根据公式可知，增大汽车的重量、提高汽车转弯时的速度、或者将转弯半径设计小些，都将导致汽车需要更大的向心力，当路面提供的摩擦力不足以提供向心力时，将导致汽车冲向公路外侧的严重事故，故ABC提供的措施不可行；D．将路面修成外侧路基比内侧路基高些，将使路面的支持力偏向公路内侧；在合适的弯道半径和行驶速度下，汽车所受的重力和支持力将指向公路内侧，恰好提供汽车所需要的向心力，使汽车安全驶过弯道，故D提供的措施可行。故选D。
24．如图所示，两个完全相同的小球在内壁光滑的倒圆锥内做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．a球受重力、弹力和向心力
B．a、b两球向心力大小相等
C．两小球的角速度大小相等
D．两小球的线速度大小相等
【答案】B
【详解】A．a球受重力、弹力作用，向心力为效果力，由重力和弹力的合力提供，故A错误；B．设圆锥面与竖直方向的夹角为θ，则两球质量相等，则向心力相等，故B正确；CD．根据
得两球运动半径不相等，则角速度和线速度不相等，故CD错误。故选B。
六、圆锥摆模型
25．如题图所示，两个质量相同的小球A、B用长度不等的细线拴在同一点，并在离地面某一高度的同一水平面内做匀速圆周运动，则小球A、B的（ ）
A．细线对A球的拉力大于对B球的拉力
B．A球的向心加速度等于B球的向心加速度
C．A球的角速度小于B球的角速度
D．A球的线速度小于B球的线速度
【答案】D
【详解】A．令连接A、B球体的细线与竖直方向夹角为，，对球体分析有
则有，由于小于，可知细线对A球的拉力小于对B球的拉力，A错误；B．根据受力分析有，解得，由于小于，可知A球的向心加速度小于B球的向心加速度，B错误；C．根据受力分析有，
解得可知A球的角速等于B球的角速度，C错误；D．根据受力分析有，解得，由于小于，可知A球的线速度小于B球的线速度，D正确。故选D。
26．（多选）如图所示，为一种圆锥筒状转筒，左右各系着一长一短的绳子挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面，当转筒中心轴开始缓慢加速转动，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．角速度慢慢增大，一定是线长的那个球先离开圆锥筒
B．角速度达到一定值的时候两个球一定同时离开圆锥筒
C．两个球都离开圆锥筒后，它们的高度不一定相同
D．两个球都离开圆锥筒后，它们的高度一定相同
【答案】AD
【详解】AB．设绳子与竖直方向的夹角为，小球恰好离开圆锥筒时，圆锥筒的支持力为0，有解得由上述式子可知，对于小球来说，绳子的长度越长，小球离开圆锥筒的临界角速度越小，即越容易离开圆锥筒，故A正确，B错误；CD．当两个球都离开圆锥筒时，此时绳子与竖直方向夹角为，小球只受重力和绳子的拉力，有整理有因为两个小球绕同一轴转动，所以两小球的角速度相同，即两小球高度相同，故C错误，D正确。故选AD。
27．（多选）四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接小球C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同（连接D球的绳较长），则下列说法正确的是（ ）
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B线速度大小相同
C．小球C、D线速度大小相同
D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
【答案】AD
【详解】AB．对题图甲，A、B两小球分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，小球的质量为m，小球A、B到悬点的竖直高度为h，如图所示，则有
解得可知小球A、B的角速度相同，由可知，小球A、B的线度大小不同，A正确，B错误； C．对题图乙，C、D两小球分析，设绳与竖直方向的夹角为α，小球的质量为m，绳长为L，又由可知小球C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同，绳长不同，因此小球C、D线速度大小不同，C错误；D．设绳上的拉力为T，水平方向则有竖直方向则有
联立解得则有可知小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等，D正确。
故选AD。
28．如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．a绳与水平方向夹角θ随角速度ω的增大而一直减小
B．a绳所受拉力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>时，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【答案】C
【详解】A．当b绳绷紧后，角速度ω增大，a绳与水平方向夹角不变，故A错误；B．当b绳绷紧后，对小球受力分析，竖直方向根据平衡条件可得解得a绳所受拉力不变，故B错误；C．当b绳刚要绷紧时，水平方向根据牛顿第二定律联立解得ω=若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，故C正确；D．由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误。故选C。
29．如图所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动．
（1）当时，求细线对小球的拉力大小；
（2）当时，求细线对小球的拉力大小．
【答案】（1）；（2）
【详解】小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力
如图甲所示
设此时小球的线速度为，则
解得
（1）因
对小球受力分析，如图乙所示
分解得
解得
（2）因为
小球离开圆锥面，对小球受力分析，如图丙所示
有
解得
七、水平转盘上的物体
30．（多选）如图所示，A、B、C三个材质相同的小物体放在匀速转动的水平圆台上，始终与平台保持相对静止。已知A的半径是，B和C半径均为，A、B、C三个小物体质量之比为，则（ ）
A．小物体A的线速度最大，加速度也最大
B．小物体C的线速度最大，加速度也最大
C．小物体A与B所受摩擦力大小相同，C所受摩擦力最大
D．若三个物体位置不变，则无论三个物体的质量如何变化，当转台转速增大，总是小物体A先发生相对滑动
【答案】ACD
【详解】AB．由题意，根据，三个小物体随水平圆台一起转动角速度相同，则转动的半径越大，线速度越大，加速度也最大，所以A的线速度最大，加速度也最大，故A正确，B错误；C．小物体随水平圆台一起转动所需向心力与静摩擦力来提供，设A、B、C三个小物体质量分别为，，；则有，，可知A与B所受摩擦力大小相同，C所受摩擦力最大，故C正确；D．当转台转速逐渐增大，物块受到的摩擦力达到最大静摩擦力时，对A有解得A发生相对滑动的临界角速度为对B有解得B发生相对滑动的临界角速度为对C有解得C发生相对滑动的临界角速度为可知A发生相对滑动的临界角速度最小，若三个物体位置不变，则无论三个物体的质量如何变化，当转台转速增大，总是小物体A先发生相对滑动，故D正确。故选ACD。
31．（多选）如图所示，一个被无弹性绳子牵引的小球，在光滑水平板上以速度做匀速圆周运动，A轨道运动半径。现迅速松手使绳子放长20cm后立即拽紧绳子，使小球在更大半径的新轨道B上做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．实现这一过渡所需时间为2.0s
B．小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动的线速度之比为5：3
C．小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动的角速度之比为25：9
D．小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动时绳子拉力之比为5：3
【答案】BC
【详解】A．松手后小球沿切线方向做匀速直线运动，过渡时间为A错误；B．小球到达B轨道后，沿绳方向的分速度变为零，垂直绳方向的分速度为B轨道的线速度，即得B正确；C．由得小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动的角速度之比为
C正确；D．绳拉力提供向心力得小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动时绳子拉力之比为D错误。故选BC。
32．如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径。当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上，欲使小木块相对B轮也静止，则小木块距B轮转动轴的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，两轮边缘的线速度大小相等，两轮半径则由解得依题意，小木块恰能相对静止在A轮边缘上，有设小木块距B轮转动轴的最大距离为r，则有
联立，可得故选C。
33．如图所示，两个质量分别为m、2m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴OO′的距离为2l，两木块与圆盘间的最大静摩擦力均为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A．a、b相对圆盘刚开始滑动时的临界角速度大小之比为1 ：2 = ： 1
B．a、b相对圆盘有沿半径向外运动的趋势
C． 是a开始滑动的临界角速度
D．当时，b所受摩擦力的大小为kmg
【答案】A
【详解】A．根据 得，发生相对滑动的临界角速度 a与转轴OO′的距离为l，b与转轴OO′的距离为2l，则a、b相对圆盘刚开始滑动时的临界角速度大小之比为A正确；B．a、b缓慢加速，静摩擦力不指向圆心，物块的运动趋势与静摩擦力方向相反，B错误；C．静摩擦力提供向心力，根据 可知a的临界角速度 C错误；D．当b达到最大静摩擦力时有 解得 当时，大于b的临界角速度，可知b的摩擦力达到最大，则摩擦力大小 D错误；故选A。
34．（多选）在如图所示的水平转盘上，沿半径方向放着质量分别为m、2m的两物块A和B（均视为质点），它们用不可伸长的轻质细线相连，与圆心的距离分别为2r、3r，A、B两物块与转盘之间的动摩擦因数分别为、，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。现缓慢加快转盘的转速，当两物块相对转盘将要发生滑动时，保持转盘的转速不变，下列说法正确的是（ ）
A．此时转盘的角速度大小为
B．此时细线中的张力大小为
C．此时烧断细线后的瞬间，B的加速度大小为
D．此时烧断细线后的瞬间，A、B两物块的加速度大小相等
【答案】AB
【详解】AB．A、B两物体相比，根据向心力公式：，可知B物体所需要的向心力较大，当转速增大时，B先有滑动的趋势，此时B所受的静摩擦力沿半径指向圆心，A所受的静摩擦力沿半径背离圆心；当刚要发生相对滑动时，以B为研究对象，有 以A为研究对象，有
由以上两式得T=2μmg故AB正确；CD．此时烧断细线后的瞬间，A、B都相对圆盘滑动，由牛顿第二定律知二者加速度分别为CD错误。故选AB。
八、离心、向心运动
35．（多选）如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力作用下做匀速圆周运动，若小球到达点时突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是：（ ）
A．突然消失，小球将沿轨迹做离心运动
B．突然变小，小球将沿轨迹做离心运动
C．突然变小，小球将沿轨迹逐渐靠近圆心
D．突然变大，小球将沿轨迹逐渐靠近圆心
【答案】AD
【详解】A．若F突然消失，小球不再受向心力作用，将沿线速度方向，即圆的切线方向飞出，故A正确；
BC．若F突然变小，小球受的合力小于需要的向心力，小球将做离心运动，但由于力F仍然存在，故小球仍做曲线运动，即可能沿Pb方向做离心运动，故BC错误；D．若F突然变大，小球受的合力大于需要的向心力，小球将逐渐向圆心靠近，即小球将沿轨迹逐渐靠近圆心，故D正确。故选AD。
36．如图，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘面间的动摩擦因数相同。当匀速转动的圆盘转速恰为两物体刚好未发生滑动时的转速，烧断细线，则两个物体的运动情况将是（ ）
A．两物体均沿切线方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动
【答案】D
【详解】当两个物体刚好相对圆盘发生滑动时，对A物体有对B物体根据可知转速与角速度成正比，当细绳剪断瞬间，角速度不变，对A物体，可知摩擦力小于此时所需的向心力，做离心运动，所以A物体发生滑动，但不沿切线；对B物体，此时由静摩擦力提供所需的向心力，所以B物体仍然相对圆盘静止。故选D。
37．翻滚过山车是一种非常刺激而有趣的游乐项目。如图甲所示，小刚同学所坐的翻滚过山车正在下行中，如图乙所示，他此时所做的运动及所受合力的可能方向分别是（ ）
A．匀速圆周运动、沿方向 B．匀速圆周运动、沿方向
C．加速圆周运动、沿方向 D．减速圆周运动、沿方向
【答案】C
【详解】翻滚过山车正在下行中，做加速圆周运动，合力方向应该与速度成锐角，即沿方向。故选C。
培优第二阶——拓展培优练
38．如图所示，园林工人正在把一颗枯死的小树苗掰折，已知树苗的长度为L，该工人的两手与树苗的接触位置（树苗被掰折的过程手与树苗接触位置始终不变）距地面高为h，树苗与地面的夹角为α时，该工人手水平向右的速度恰好为v，则树苗转动的角速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】把人的速度分解为垂直于木杆的速度v1和沿杆的速度v2，如图则有v1=vsinα
此时手握旗杆的位置到O点距离为则有故选B。
39．（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A．当时，A、B相对于转盘会滑动
B．当，绳子一定有弹力
C．ω在范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
【答案】ABD
【详解】A．当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有
解得所以，当时，A、B相对于转盘会滑动，故A正确；B．当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即有解得可知当时，绳子有弹力，故B正确；C．当时，B已达到最大静摩擦力，则ω在范围内增大时，B受到的摩擦力不变，故C错误；D．ω在范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，当时，绳上无拉力，则当ω增大时，静摩擦力也增大；当时，B的摩擦力不变，有可知随着ω增大，绳上拉力增大，对A有得
可知随着ω增大，A所受摩擦力也增大，故D正确。故选ABD。
40．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L（LA． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当乙物体以最大角速度转动时，设绳子拉力为F，以甲物体为研究对象，有F=μMg以乙物体为研究对象，有F+μmg=mLω2可得D正确，ABC错误。故选D。
41．如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，其质量为M，有一质量为m的小球以水平速度v0从圆轨道最低点A开始向左运动，小球沿圆轨道运动且始终不脱离圆轨道，在此过程中，铁块始终保持静止，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．地面受到的压力始终大于Mg
B．小球在圆轨道左侧运动的过程中，地面受到的摩擦力可能向右
C．小球经过最低点A时地面受到的压力可能等于Mg+mg
D．小球在圆轨道最高点C时，地面受到的压力可能为0
【答案】D
【详解】A．小球在圆轨道上半部分运动过程中，对铁块的作用力在竖直方向有向上的分力，此时地面受到的压力小于Mg，A错误；B．小球在圆轨道左侧运动的过程中，对轨道的作用力有向左的分力，轨道有向左运动的趋势，所以地面受到的摩擦力方向向左，B错误；C．经过最低点A时，小球的合力方向向上，加速度方向向上，小球处于超重状态，则小球对铁块的压力大于mg，则地面受到的压力大于Mg+mg，C错误；
D．当小球在最高点时有F+mg=m若小球对铁块的压力竖直向上且等于Mg，即F=Mg时，地面受到的压力为0，D正确。故选D。
42．如图所示，竖直杆AB在A、B两点通过光滑铰链连接两等长轻杆AC和BC，AC和BC与竖直方向的夹角均为θ，轻杆长均为L，在C处固定一质量为m的小球，重力加速度为g，在装置绕竖直杆AB转动的角速度ω从0开始逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当ω=0时，AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力
B．AC杆对球的作用力先增大后减小
C．一定时间后，AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定
D．当ω=时，BC杆对球的作用力为0
【答案】C
【详解】A．当ω=0时，小球在水平方向受力平衡，因此AC杆对小球的作用力表现为拉力，BC杆对小球的作用力表现为支持力，且大小相等，A错误；BD．当ω逐渐增大时，AC杆对小球的拉力逐渐增大，BC杆对小球的支持力逐渐减小，当BC杆的作用力为0时，有mgtanθ=mω2Lsinθ解得ω=当ω继续增大时，AC杆对小球的拉力继续增大，BC杆对小球的作用力变为拉力，且逐渐增大，B、D错误；C．一定时间后，AC杆和BC杆对球的作用力都变为拉力，拉力的竖直分力之差等于小球的重力，即FACcosθ-FBCcosθ=mg则FAC-FBC=因此AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定，C正确。故选C。
43．（多选）如图所示为一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径为R=1m，小球可看作质点且其质量为m=1kg，g取10m/s2。则（ ）
A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m
C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N
D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N
【答案】AC
【详解】AB．小球恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰，据速度偏角公式可得解得
小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离为A正确，B错误；CD．小球经过管道的B点时，设受到管道的作用力FNB方向向上，据牛顿第二定律可得解得故管道对小球的作用力大小为1N，方向竖直向上，C正确，D错误。故选AC。
44．如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为。设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为，求：
（1）当水平转盘以角速度匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，求的值是多少？
（2）将物块和转轴用细绳相连，物块静止时绳恰好伸直且无拉力，细绳水平，当转盘的角速度时，求细绳的拉力大小；
（3）将物块和转轴用细绳相连，物块静止时绳恰好伸直且无拉力，细绳水平，当转盘的角速度时，求物块对细绳的拉力大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）刚好相对静止
解得
（2）因为所以
（3）因为，根据牛顿第二定律
由牛顿第三定律知物体对绳的拉力大小
培优第一阶——基础过关练
一、判断哪些力提供向心力(共0分)
1．如图，紫贴圆筒内壁的小物块与圆筒一起绕竖直中心轴旋转。提供小物块在水平面内做匀速圆周运动向心力的是（ ）
A．重力 B．弹力
C．摩擦力 D．弹力与摩擦力的合力
2．如图所示，长为L的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球。在O点的正下方与O点相距的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子A。把球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，在细绳碰到钉子后的瞬间（细绳没有断），下列说法中正确的是（ ）
A．小球的向心加速度突然增大到原来的3倍
B．小球的线速度突然增大到原来的3倍
C．小球的角速度突然增大到原来的1.5倍
D．小球的向心力突然增大到原来的1.5倍
3．如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B．向心力由细线对小球的拉力提供
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D．向心力的大小等于
4．如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力
C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
5．如图所示，半径为L的圆管轨道（圆管内径远小于轨道半径）竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球（小球直径略小于管内径）可沿管转动，已知重力加速度为g，设小球经过最高点P时的速度为v，则（ ）
A．v的最小值为
B．v若增大，球所需的向心力也增大
C．当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小
D．当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也减小
二、绳球模型
6．如图所示，悬线一端系一小球，另一端固定于点，在点正下方的点钉一个钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，下列说法正确的是（ ）
①小球的瞬时速度突然变大 ②小球的加速度突然变大
③小球所需的向心力突然变大 ④悬线所受的拉力突然变大
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
7．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点。当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动。关于小球的运动下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时的最小速度为零
B．小球过最高点时最小速度为2
C．小球开始运动时绳对小球的拉力为
D．小球运动到与圆心等高处时向心力由细绳的拉力提供
8．如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述不正确的是（重力加速度为g）（ ）
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
9．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT-v2图像如图乙所示，则（ ）
A．数据a与小球的质量无关
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为
D．当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等
10．如图所示，质量为m的小球在长为R的轻绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力，转轴离地高度h，重力加速度为g。求：
（1）若小球某次运动中恰好能通过最高点，则最高点处的速度为多大；
（2）若小球某次运动中在最低点时细绳恰好被拉断，则此时的速度为多大；
（3）在第（2）问中，细绳断后小球最终落到水平地面上。若绳长R长短可调整，求小球做平抛运动的水平距离x最大值是多少。
三、杆球模型
11．如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则小球对管内上壁有压力
B．若，则小球对管内下壁有压力
C．若，则小球对管内下壁有压力
D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
12．如图，质量均为m的A、B两个小球固定在长为L的轻杆上，绕杆的端点O在竖直面内做匀速圆周运动，B球固定在杆的中点，A球在杆的另一端，不计小球的大小，当小球A在最高点时，杆对球A的作用力恰好为零，重力加速度为g。当A球运动到最低点时，OB段杆对B球的作用力大小为（ ）
A．2.5mg B．3mg C．3.5mg D．4mg
13．(多选)如图所示，长0.5m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2m/s。取g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是6N
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6N
C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24N
D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54N
14．（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最高点时的最小速度
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
15．如图所示，某电动工具置于水平地面上。该电动工具底座质量为M，半径为R的转动圆盘质量可不计，在圆盘边缘固定有质量为m的物块（可视为质点），重力加速度为g。要使该电动工具底座不离开地面（不考虑底座翻转的情况），允许圆盘转动的最大转速为（ ）
A． B． C． D．
四、拱桥、凹桥模型
16．如图所示，上表面光滑，半径为的半圆柱体放在水平面上，小物块位于半圆柱体顶端，若给小物块一水平速度，重力加速度取，下列说法正确的是（ ）
A．小物块将沿半圆柱体表面滑下来
B．小物块落地时水平位移大小为
C．小物块落地速度大小为
D．小物块落地时速度方向与水平地面成角
17．如图所示，飞机在竖直平面内俯冲又拉起，这一过程可看作匀速圆周运动，飞行员所受重力为G。在最低点时，座椅对飞行员的支持力为F。则（ ）
A．F=G B．F>G C．F=0 D．F
A．汽车行驶到点时，处于超重状态，如果采取加速操作会使车胎受到更大的压力
B．汽车行驶到点时，处于超重状态，如果采取加速操作会使汽车飞离路面
C．汽车行驶到点时，处于失重状态，如果采取减速操作会增加车胎与路面间的弹力，使得行驶更加稳定安全
D．汽车行驶到点时，处于失重状态，如果采取减速操作会增加车胎与路面间的弹力，使得行驶更加稳定安全
19．如图所示，有一辆质量为m的汽车（可看做质点）驶上半径为R的圆弧拱形桥。
（1）当汽车以一定速度通过拱形桥顶时（汽车与桥面之间始终有相互作用），画出此时汽车在竖直方向受力的示意图；
（2）已知m = 1500kg、R = 50m，重力加速度g取10m/s2，当该汽车以速率v = 5m/s通过拱形桥顶时，汽车对桥的压力是多大？并判断此时汽车是处于超重状态还是失重状态；
（3）汽车通过桥顶时对桥面的压力过小是不安全的。请你通过分析说明：在设计拱形桥时，对于同样的车速，拱形桥圆弧的半径是大些比较安全还是小些比较安全。
20．如图所示，一个可视为质点的小物块从水平平台上的P点以初速度5m/s向右滑动，小物块与水平平台间的动摩擦因数为0.3，小物块运动到A点时以4m/s的速度水平抛出，当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入半径为2.75m的固定圆弧轨道BC，圆弧轨道的圆心角∠BOC＝37°。小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力为25.4N。然后小物块滑到与C端切线平齐的长木板上、已知长木板与地面间的动摩擦因数为0.2，小物块与长木板之间的动摩擦因数为0.6，小物块的质量为1.1kg，长木板的质量为3.9kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，。
（1）求水平平台上P点到A点的距离l；
（2）求小物块运动至B点时的速度大小；
（3）长木板至少为多长时才能保证小物块不滑出长木板？
五、火车转弯模型
21．（多选）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为，则（ ）
A．该弯道的半径
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
22．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作半径为R的圆周运动．设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L，如图所示。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则汽车转弯时的车速应等于（ ）
A． B．
C． D．
23．公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，为了减少交通事故的发生，以下措施可行的是（ ）
A．增大汽车的重量
B．提高汽车转弯时的速度
C．将转弯半径设计小些
D．将路面修成外侧路基比内侧路基高些
24．如图所示，两个完全相同的小球在内壁光滑的倒圆锥内做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．a球受重力、弹力和向心力
B．a、b两球向心力大小相等
C．两小球的角速度大小相等
D．两小球的线速度大小相等
25．如题图所示，两个质量相同的小球A、B用长度不等的细线拴在同一点，并在离地面某一高度的同一水平面内做匀速圆周运动，则小球A、B的（ ）
A．细线对A球的拉力大于对B球的拉力
B．A球的向心加速度等于B球的向心加速度
C．A球的角速度小于B球的角速度
D．A球的线速度小于B球的线速度
26．（多选）如图所示，为一种圆锥筒状转筒，左右各系着一长一短的绳子挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面，当转筒中心轴开始缓慢加速转动，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．角速度慢慢增大，一定是线长的那个球先离开圆锥筒
B．角速度达到一定值的时候两个球一定同时离开圆锥筒
C．两个球都离开圆锥筒后，它们的高度不一定相同
D．两个球都离开圆锥筒后，它们的高度一定相同
在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接小球C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同（连接D球的绳较长），则下列说法正确的是（ ）
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B线速度大小相同
C．小球C、D线速度大小相同
D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
28．如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．a绳与水平方向夹角θ随角速度ω的增大而一直减小
B．a绳所受拉力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>时，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
29．如图所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动．
（1）当时，求细线对小球的拉力大小；
（2）当时，求细线对小球的拉力大小．
七、水平转盘上的物体
30．（多选）如图所示，A、B、C三个材质相同的小物体放在匀速转动的水平圆台上，始终与平台保持相对静止。已知A的半径是，B和C半径均为，A、B、C三个小物体质量之比为，则（ ）
A．小物体A的线速度最大，加速度也最大
B．小物体C的线速度最大，加速度也最大
C．小物体A与B所受摩擦力大小相同，C所受摩擦力最大
D．若三个物体位置不变，则无论三个物体的质量如何变化，当转台转速增大，总是小物体A先发生相对滑动
31．（多选）如图所示，一个被无弹性绳子牵引的小球，在光滑水平板上以速度做匀速圆周运动，A轨道运动半径。现迅速松手使绳子放长20cm后立即拽紧绳子，使小球在更大半径的新轨道B上做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．实现这一过渡所需时间为2.0s
B．小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动的线速度之比为5：3
C．小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动的角速度之比为25：9
D．小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动时绳子拉力之比为5：3
32．如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径。当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上，欲使小木块相对B轮也静止，则小木块距B轮转动轴的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
33．如图所示，两个质量分别为m、2m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴OO′的距离为2l，两木块与圆盘间的最大静摩擦力均为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A．a、b相对圆盘刚开始滑动时的临界角速度大小之比为1 ：2 = ： 1
B．a、b相对圆盘有沿半径向外运动的趋势
C． 是a开始滑动的临界角速度
D．当时，b所受摩擦力的大小为kmg
34．（多选）在如图所示的水平转盘上，沿半径方向放着质量分别为m、2m的两物块A和B（均视为质点），它们用不可伸长的轻质细线相连，与圆心的距离分别为2r、3r，A、B两物块与转盘之间的动摩擦因数分别为、，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。现缓慢加快转盘的转速，当两物块相对转盘将要发生滑动时，保持转盘的转速不变，下列说法正确的是（ ）
A．此时转盘的角速度大小为
B．此时细线中的张力大小为
C．此时烧断细线后的瞬间，B的加速度大小为
D．此时烧断细线后的瞬间，A、B两物块的加速度大小相等
八、离心、向心运动
35．（多选）如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力作用下做匀速圆周运动，若小球到达点时突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是：（ ）
A．突然消失，小球将沿轨迹做离心运动
B．突然变小，小球将沿轨迹做离心运动
C．突然变小，小球将沿轨迹逐渐靠近圆心
D．突然变大，小球将沿轨迹逐渐靠近圆心
36．如图，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘面间的动摩擦因数相同。当匀速转动的圆盘转速恰为两物体刚好未发生滑动时的转速，烧断细线，则两个物体的运动情况将是（ ）
A．两物体均沿切线方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动
37．翻滚过山车是一种非常刺激而有趣的游乐项目。如图甲所示，小刚同学所坐的翻滚过山车正在下行中，如图乙所示，他此时所做的运动及所受合力的可能方向分别是（ ）
A．匀速圆周运动、沿方向 B．匀速圆周运动、沿方向
C．加速圆周运动、沿方向 D．减速圆周运动、沿方向
培优第二阶——拓展培优练
38．如图所示，园林工人正在把一颗枯死的小树苗掰折，已知树苗的长度为L，该工人的两手与树苗的接触位置（树苗被掰折的过程手与树苗接触位置始终不变）距地面高为h，树苗与地面的夹角为α时，该工人手水平向右的速度恰好为v，则树苗转动的角速度为（ ）
A． B． C． D．
39．（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A．当时，A、B相对于转盘会滑动
B．当，绳子一定有弹力
C．ω在范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
40．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L（L
C． D．
41．如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，其质量为M，有一质量为m的小球以水平速度v0从圆轨道最低点A开始向左运动，小球沿圆轨道运动且始终不脱离圆轨道，在此过程中，铁块始终保持静止，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．地面受到的压力始终大于Mg
B．小球在圆轨道左侧运动的过程中，地面受到的摩擦力可能向右
C．小球经过最低点A时地面受到的压力可能等于Mg+mg
D．小球在圆轨道最高点C时，地面受到的压力可能为0
42．如图所示，竖直杆AB在A、B两点通过光滑铰链连接两等长轻杆AC和BC，AC和BC与竖直方向的夹角均为θ，轻杆长均为L，在C处固定一质量为m的小球，重力加速度为g，在装置绕竖直杆AB转动的角速度ω从0开始逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当ω=0时，AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力
B．AC杆对球的作用力先增大后减小
C．一定时间后，AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定
D．当ω=时，BC杆对球的作用力为0
43．（多选）如图所示为一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径为R=1m，小球可看作质点且其质量为m=1kg，g取10m/s2。则（ ）
A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m
C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N
D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N
44．如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为。设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为，求：
（1）当水平转盘以角速度匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，求的值是多少？
（2）将物块和转轴用细绳相连，物块静止时绳恰好伸直且无拉力，细绳水平，当转盘的角速度时，求细绳的拉力大小；
（3）将物块和转轴用细绳相连，物块静止时绳恰好伸直且无拉力，细绳水平，当转盘的角速度时，求物块对细绳的拉力大小。
6.4生活中的圆周运动
培优第一阶——基础过关练
一、判断哪些力提供向心力(共0分)
1．如图，紫贴圆筒内壁的小物块与圆筒一起绕竖直中心轴旋转。提供小物块在水平面内做匀速圆周运动向心力的是（ ）
A．重力 B．弹力
C．摩擦力 D．弹力与摩擦力的合力
【答案】B
【详解】竖直方向重力与摩擦力平衡，提供小物块在水平面内做匀速圆周运动向心力的是弹力。
故选B。
2．如图所示，长为L的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球。在O点的正下方与O点相距的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子A。把球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，在细绳碰到钉子后的瞬间（细绳没有断），下列说法中正确的是（ ）
A．小球的向心加速度突然增大到原来的3倍
B．小球的线速度突然增大到原来的3倍
C．小球的角速度突然增大到原来的1.5倍
D．小球的向心力突然增大到原来的1.5倍
【答案】A
【详解】B．细绳碰到钉子的瞬间，线速度不变，B错误；A．圆周运动的半径由L变为，由a＝知，a增大到原来的3倍，A正确；C．根据v＝rω知角速度ω增大到原来的3倍，C错误；D．细绳碰到钉子前瞬间小球的向心力F向1＝m碰后瞬间向心力F向2＝m＝3F向1D错误。故选A。
3．如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B．向心力由细线对小球的拉力提供
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D．向心力的大小等于
【答案】C
【详解】ABC．对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图所示，AB错误，C正确；D．向心力的大小
D错误。故选C。
4．如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力
C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
【答案】C
【详解】A．把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；B．物块做匀速圆周运动，向心力F＝mA、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以，两者运动所需的向心力相等，故B错误；C．由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；D．若B相对圆盘先滑动，则即故D错误。故选C。
5．如图所示，半径为L的圆管轨道（圆管内径远小于轨道半径）竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球（小球直径略小于管内径）可沿管转动，已知重力加速度为g，设小球经过最高点P时的速度为v，则（ ）
A．v的最小值为
B．v若增大，球所需的向心力也增大
C．当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小
D．当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也减小
【答案】B
【详解】A．由于小球在圆管中运动，在最高点速度可以是零，A错误；B．根据向心力公式有Fn＝m
v若增大，小球所需的向心力一定增大，B正确；C．小球经过最高点时，因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝时，轨道对小球的弹力是零，因此v由逐渐减小时，即v<，小球的重力大于所需向心力，轨道对小球有向上的弹力，由牛顿第二定律可得随v的减小，轨道对小球的弹力增大，C错误；D．v由逐渐增大时，即v>，重力小于小球所需向心力，此时轨道对小球有向下的弹力，由牛顿第二定律可得随v的增大，轨道对小球的弹力也增大，D错误。故选B。
二、绳球模型
6．如图所示，悬线一端系一小球，另一端固定于点，在点正下方的点钉一个钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，下列说法正确的是（ ）
①小球的瞬时速度突然变大 ②小球的加速度突然变大
③小球所需的向心力突然变大 ④悬线所受的拉力突然变大
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】B
【详解】①速度变化需要一段时间，速度不会突变。故①错误；②小球做圆周运动，在最低点的加速度就是向心加速度半径突然变小，向心加速度变大。故②正确；③向心力为F=maa变大，则向心力会突然变大。故③正确；④绳子的拉力为可知拉力T会突然变大。故④正确。故选B。
7．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点。当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动。关于小球的运动下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时的最小速度为零
B．小球过最高点时最小速度为2
C．小球开始运动时绳对小球的拉力为
D．小球运动到与圆心等高处时向心力由细绳的拉力提供
【答案】D
【详解】AB．根据得小球通过最高点的最小速度故AB错误；C．在最低点，根据牛顿第二定律得解得绳子对小球的拉力故C错误；D．在与圆心等高处，重力竖直向下，小球做圆周运动的向心力指向圆心，由绳子拉力提供，故D正确。故选D。
8．如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述不正确的是（重力加速度为g）（ ）
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
【答案】A
【详解】A．因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，A错误，符合题意；BCD．小球经过圆环内侧最高点时，只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有mg＝m＝ma即v＝a＝gBCD正确，不符合题意。故选A。
9．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT-v2图像如图乙所示，则（ ）
A．数据a与小球的质量无关
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为
D．当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等
【答案】D
【详解】AB．设绳长为R，由牛顿第二定律知小球在最高点满足即由题图乙知a＝mg，b＝gR所以故AB错误；CD．当v2＝c时，有将g和R的值代入得故C错误；D．当v2＝2b时，由可得FT2＝a＝mg即拉力与重力大小相等，故D正确。故选D。
10．如图所示，质量为m的小球在长为R的轻绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力，转轴离地高度h，重力加速度为g。求：
（1）若小球某次运动中恰好能通过最高点，则最高点处的速度为多大；
（2）若小球某次运动中在最低点时细绳恰好被拉断，则此时的速度为多大；
（3）在第（2）问中，细绳断后小球最终落到水平地面上。若绳长R长短可调整，求小球做平抛运动的水平距离x最大值是多少。
【答案】（1）；（2）；（3）（或）
【详解】（1）小球恰好通过最高点，设在最高点A的速度为，根据牛顿第二定律有
解得
（2）设小球在最低点B受到最大拉力时速度为，据牛顿第二定律有
解得
（3）小球离开B点后做平抛运动，竖直方向满足
水平方向满足
联立解得
由数学知识可知，当
时，x有最大值，最大值为
或
三、杆球模型
11．如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则小球对管内上壁有压力
B．若，则小球对管内下壁有压力
C．若，则小球对管内下壁有压力
D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
【答案】C
【详解】A．在最高点，只有重力提供向心力时，有解得此时小球对管内壁无压力，故A错误；B．若则有此时小球受向下的压力，这表明小球对管内上壁有压力，故B错误；CD．若则有此时小球受向上的支持力，表明小球对管内下壁有压力，故C正确，D错误。故选C。
12．如图，质量均为m的A、B两个小球固定在长为L的轻杆上，绕杆的端点O在竖直面内做匀速圆周运动，B球固定在杆的中点，A球在杆的另一端，不计小球的大小，当小球A在最高点时，杆对球A的作用力恰好为零，重力加速度为g。当A球运动到最低点时，OB段杆对B球的作用力大小为（ ）
A．2.5mg B．3mg C．3.5mg D．4mg
【答案】C
【详解】设转动的角速度为，当A球在最高点时当A球运动到最低点时
对于B球解得故选C。
13．(多选)如图所示，长0.5m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2m/s。取g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是6N
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6N
C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24N
D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54N
【答案】BD
【详解】AB．设在最高点杆子表现为拉力，则有代入数据得F=-6N则杆子表现为推力，大小为6N。根据牛顿第三定律可知小球对杆子表现为压力，大小为6N，选项A错误，B正确；CD．在最低点，杆子表现为拉力，有代入数据得F=54N根据牛顿第三定律可知小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54N，选项C错误，D正确。故选BD。【点睛】杆带着在竖直平面内的圆周运动，最高点，杆子可能表现为拉力，也可能表现为推力，取决于速度的大小；在最低点，杆子只能表现为拉力。
14．（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最高点时的最小速度
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】BD
【详解】AB．小球在最高点时，由于管道内侧能提供支持力，其通过的速度可以为零，A错误，B正确；
CD．小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力与小球的重力在背离圆心方向的分力的合力提供向心力，即因此，外侧管壁对球一定有作用力，此时内侧管壁对球一定无作用力，C错误，D正确。故选BD。
15．如图所示，某电动工具置于水平地面上。该电动工具底座质量为M，半径为R的转动圆盘质量可不计，在圆盘边缘固定有质量为m的物块（可视为质点），重力加速度为g。要使该电动工具底座不离开地面（不考虑底座翻转的情况），允许圆盘转动的最大转速为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当物块转动到最高点，物块对圆盘拉力的大小刚好等于电动工具底座的重力时，底座刚要离开地面，此时圆盘的转速即为题求最大转速，则有对物块有解得则转速为故选C。
四、拱桥、凹桥模型
16．如图所示，上表面光滑，半径为的半圆柱体放在水平面上，小物块位于半圆柱体顶端，若给小物块一水平速度，重力加速度取，下列说法正确的是（ ）
A．小物块将沿半圆柱体表面滑下来
B．小物块落地时水平位移大小为
C．小物块落地速度大小为
D．小物块落地时速度方向与水平地面成角
【答案】C
【详解】A．设小物块在半圆柱体顶端做圆周运动的临界速度为，则重力刚好提供向心力时，由牛顿第二定律得解得因为所以小物块将离开半圆柱体做平抛运动，故A错误；B．小物块做平抛运动时竖直方向满足水平位移为联立解得故B错误；C．小物块落地时竖直方向分速度大小为落地时速度的大小为联立解得故C正确；D．由于故落地时速度方向与水平地面成角，满足解得故D错误。故选C。
17．如图所示，飞机在竖直平面内俯冲又拉起，这一过程可看作匀速圆周运动，飞行员所受重力为G。在最低点时，座椅对飞行员的支持力为F。则（ ）
A．F=G B．F>G C．F=0 D．F
【详解】最低点时，飞行员的向心力F向=F-G所以F>G故选B。
18．汽车在过凹凸路面时，都会做减速操作，如图、分别是一段凹凸路面的最高点和最低点，若把汽车视作质点，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车行驶到点时，处于超重状态，如果采取加速操作会使车胎受到更大的压力
B．汽车行驶到点时，处于超重状态，如果采取加速操作会使汽车飞离路面
C．汽车行驶到点时，处于失重状态，如果采取减速操作会增加车胎与路面间的弹力，使得行驶更加稳定安全
D．汽车行驶到点时，处于失重状态，如果采取减速操作会增加车胎与路面间的弹力，使得行驶更加稳定安全
【答案】C
【详解】AC．汽车在A点具有向下的加速度，由牛顿定律可知，路面对汽车的支持力小于汽车的重力，此时汽车处于失重状态，如果采取加速操作，会使加速度增大，路面对汽车的支持力减小，汽车会飞离地面，若采取减速操作，加速度减小，路面对汽车的支持力增大，即车胎与路面间的弹力增大，汽车行驶更安全，故A错误，C正确；BD．汽车在B点具有向上的加速度，由牛顿定律可知，路面对汽车的支持力大于汽车的重力，此时汽车处于超重状态，如果采取加速操作，会使加速度增大，路面对汽车的支持力增大，车胎受到的压力增大，汽车更紧贴地面；若采取减速操作，加速度减小，路面对汽车的支持力减小，即车胎与路面间的弹力减小，故BD错误。故选C。
19．如图所示，有一辆质量为m的汽车（可看做质点）驶上半径为R的圆弧拱形桥。
（1）当汽车以一定速度通过拱形桥顶时（汽车与桥面之间始终有相互作用），画出此时汽车在竖直方向受力的示意图；
（2）已知m = 1500kg、R = 50m，重力加速度g取10m/s2，当该汽车以速率v = 5m/s通过拱形桥顶时，汽车对桥的压力是多大？并判断此时汽车是处于超重状态还是失重状态；
（3）汽车通过桥顶时对桥面的压力过小是不安全的。请你通过分析说明：在设计拱形桥时，对于同样的车速，拱形桥圆弧的半径是大些比较安全还是小些比较安全。
【答案】（1）；（2）F′N= 14250N，失重；（3）半径应当大一些
【详解】（1）汽车竖直方向受力如图所示
（2）根据牛顿第二定律和向心加速度公式，有
代入数据有
FN= 14250N
根据牛顿第三定律，可知汽车对桥面的压力大小为
F′N= FN= 14250N
因为
F′N < mg = 15000N
因此汽车处于失重状态。
（3）由（2）可知
即R较大时，F′N就较大，因此拱桥圆弧的半径应当大一些。
20．如图所示，一个可视为质点的小物块从水平平台上的P点以初速度5m/s向右滑动，小物块与水平平台间的动摩擦因数为0.3，小物块运动到A点时以4m/s的速度水平抛出，当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入半径为2.75m的固定圆弧轨道BC，圆弧轨道的圆心角∠BOC＝37°。小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力为25.4N。然后小物块滑到与C端切线平齐的长木板上、已知长木板与地面间的动摩擦因数为0.2，小物块与长木板之间的动摩擦因数为0.6，小物块的质量为1.1kg，长木板的质量为3.9kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，。
（1）求水平平台上P点到A点的距离l；
（2）求小物块运动至B点时的速度大小；
（3）长木板至少为多长时才能保证小物块不滑出长木板？
【答案】（1）l＝1.5m；（2）；（3）3m
【详解】（1）小物块从P点运动到A点是做匀减速运动，加速度大小
根据公式
解得
l＝1.5m
（2）进入圆弧轨道时，小物块的速度方向与水平面的夹角为37°，有
则小物块运动到B点时的速度
（3）小物块运动到C点时，有
解得
长木板与地面间的最大静摩擦力
由题意可知小物块与长木板间的摩擦力
因为，所以小物块在长木板上滑动时，长木板保持静止不动。设小物块在长木板上做匀减速运动，运动至长木板最右端时速度刚好为0，则长木板长度
所以长木板至少为3m时才能保证小物块不滑出长木板。
五、火车转弯模型
21．（多选）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为，则（ ）
A．该弯道的半径
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
【答案】AB
【详解】AB．火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，设转弯处斜面的倾角为，根据牛顿第二定律得解得可知火车规定的行驶速度与质量无关，AB正确；C．当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，C错误；D．当火车速率小于v时，重力和支持力的合力偏大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，D错误。故选AB。
22．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作半径为R的圆周运动．设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L，如图所示。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则汽车转弯时的车速应等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设路面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mgtanθ＝m又由数学知识可知tanθ＝联立解得v＝故选B。
23．公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，为了减少交通事故的发生，以下措施可行的是（ ）
A．增大汽车的重量
B．提高汽车转弯时的速度
C．将转弯半径设计小些
D．将路面修成外侧路基比内侧路基高些
【答案】D
【详解】ABC．汽车转弯时需要向心力，根据公式可知，增大汽车的重量、提高汽车转弯时的速度、或者将转弯半径设计小些，都将导致汽车需要更大的向心力，当路面提供的摩擦力不足以提供向心力时，将导致汽车冲向公路外侧的严重事故，故ABC提供的措施不可行；D．将路面修成外侧路基比内侧路基高些，将使路面的支持力偏向公路内侧；在合适的弯道半径和行驶速度下，汽车所受的重力和支持力将指向公路内侧，恰好提供汽车所需要的向心力，使汽车安全驶过弯道，故D提供的措施可行。故选D。
24．如图所示，两个完全相同的小球在内壁光滑的倒圆锥内做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．a球受重力、弹力和向心力
B．a、b两球向心力大小相等
C．两小球的角速度大小相等
D．两小球的线速度大小相等
【答案】B
【详解】A．a球受重力、弹力作用，向心力为效果力，由重力和弹力的合力提供，故A错误；B．设圆锥面与竖直方向的夹角为θ，则两球质量相等，则向心力相等，故B正确；CD．根据
得两球运动半径不相等，则角速度和线速度不相等，故CD错误。故选B。
六、圆锥摆模型
25．如题图所示，两个质量相同的小球A、B用长度不等的细线拴在同一点，并在离地面某一高度的同一水平面内做匀速圆周运动，则小球A、B的（ ）
A．细线对A球的拉力大于对B球的拉力
B．A球的向心加速度等于B球的向心加速度
C．A球的角速度小于B球的角速度
D．A球的线速度小于B球的线速度
【答案】D
【详解】A．令连接A、B球体的细线与竖直方向夹角为，，对球体分析有
则有，由于小于，可知细线对A球的拉力小于对B球的拉力，A错误；B．根据受力分析有，解得，由于小于，可知A球的向心加速度小于B球的向心加速度，B错误；C．根据受力分析有，
解得可知A球的角速等于B球的角速度，C错误；D．根据受力分析有，解得，由于小于，可知A球的线速度小于B球的线速度，D正确。故选D。
26．（多选）如图所示，为一种圆锥筒状转筒，左右各系着一长一短的绳子挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面，当转筒中心轴开始缓慢加速转动，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．角速度慢慢增大，一定是线长的那个球先离开圆锥筒
B．角速度达到一定值的时候两个球一定同时离开圆锥筒
C．两个球都离开圆锥筒后，它们的高度不一定相同
D．两个球都离开圆锥筒后，它们的高度一定相同
【答案】AD
【详解】AB．设绳子与竖直方向的夹角为，小球恰好离开圆锥筒时，圆锥筒的支持力为0，有解得由上述式子可知，对于小球来说，绳子的长度越长，小球离开圆锥筒的临界角速度越小，即越容易离开圆锥筒，故A正确，B错误；CD．当两个球都离开圆锥筒时，此时绳子与竖直方向夹角为，小球只受重力和绳子的拉力，有整理有因为两个小球绕同一轴转动，所以两小球的角速度相同，即两小球高度相同，故C错误，D正确。故选AD。
27．（多选）四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接小球C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同（连接D球的绳较长），则下列说法正确的是（ ）
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B线速度大小相同
C．小球C、D线速度大小相同
D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
【答案】AD
【详解】AB．对题图甲，A、B两小球分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，小球的质量为m，小球A、B到悬点的竖直高度为h，如图所示，则有
解得可知小球A、B的角速度相同，由可知，小球A、B的线度大小不同，A正确，B错误； C．对题图乙，C、D两小球分析，设绳与竖直方向的夹角为α，小球的质量为m，绳长为L，又由可知小球C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同，绳长不同，因此小球C、D线速度大小不同，C错误；D．设绳上的拉力为T，水平方向则有竖直方向则有
联立解得则有可知小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等，D正确。
故选AD。
28．如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．a绳与水平方向夹角θ随角速度ω的增大而一直减小
B．a绳所受拉力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>时，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【答案】C
【详解】A．当b绳绷紧后，角速度ω增大，a绳与水平方向夹角不变，故A错误；B．当b绳绷紧后，对小球受力分析，竖直方向根据平衡条件可得解得a绳所受拉力不变，故B错误；C．当b绳刚要绷紧时，水平方向根据牛顿第二定律联立解得ω=若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，故C正确；D．由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误。故选C。
29．如图所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动．
（1）当时，求细线对小球的拉力大小；
（2）当时，求细线对小球的拉力大小．
【答案】（1）；（2）
【详解】小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力
如图甲所示
设此时小球的线速度为，则
解得
（1）因
对小球受力分析，如图乙所示
分解得
解得
（2）因为
小球离开圆锥面，对小球受力分析，如图丙所示
有
解得
七、水平转盘上的物体
30．（多选）如图所示，A、B、C三个材质相同的小物体放在匀速转动的水平圆台上，始终与平台保持相对静止。已知A的半径是，B和C半径均为，A、B、C三个小物体质量之比为，则（ ）
A．小物体A的线速度最大，加速度也最大
B．小物体C的线速度最大，加速度也最大
C．小物体A与B所受摩擦力大小相同，C所受摩擦力最大
D．若三个物体位置不变，则无论三个物体的质量如何变化，当转台转速增大，总是小物体A先发生相对滑动
【答案】ACD
【详解】AB．由题意，根据，三个小物体随水平圆台一起转动角速度相同，则转动的半径越大，线速度越大，加速度也最大，所以A的线速度最大，加速度也最大，故A正确，B错误；C．小物体随水平圆台一起转动所需向心力与静摩擦力来提供，设A、B、C三个小物体质量分别为，，；则有，，可知A与B所受摩擦力大小相同，C所受摩擦力最大，故C正确；D．当转台转速逐渐增大，物块受到的摩擦力达到最大静摩擦力时，对A有解得A发生相对滑动的临界角速度为对B有解得B发生相对滑动的临界角速度为对C有解得C发生相对滑动的临界角速度为可知A发生相对滑动的临界角速度最小，若三个物体位置不变，则无论三个物体的质量如何变化，当转台转速增大，总是小物体A先发生相对滑动，故D正确。故选ACD。
31．（多选）如图所示，一个被无弹性绳子牵引的小球，在光滑水平板上以速度做匀速圆周运动，A轨道运动半径。现迅速松手使绳子放长20cm后立即拽紧绳子，使小球在更大半径的新轨道B上做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．实现这一过渡所需时间为2.0s
B．小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动的线速度之比为5：3
C．小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动的角速度之比为25：9
D．小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动时绳子拉力之比为5：3
【答案】BC
【详解】A．松手后小球沿切线方向做匀速直线运动，过渡时间为A错误；B．小球到达B轨道后，沿绳方向的分速度变为零，垂直绳方向的分速度为B轨道的线速度，即得B正确；C．由得小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动的角速度之比为
C正确；D．绳拉力提供向心力得小球在A轨道和B轨道做匀速圆周运动时绳子拉力之比为D错误。故选BC。
32．如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径。当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上，欲使小木块相对B轮也静止，则小木块距B轮转动轴的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，两轮边缘的线速度大小相等，两轮半径则由解得依题意，小木块恰能相对静止在A轮边缘上，有设小木块距B轮转动轴的最大距离为r，则有
联立，可得故选C。
33．如图所示，两个质量分别为m、2m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴OO′的距离为2l，两木块与圆盘间的最大静摩擦力均为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A．a、b相对圆盘刚开始滑动时的临界角速度大小之比为1 ：2 = ： 1
B．a、b相对圆盘有沿半径向外运动的趋势
C． 是a开始滑动的临界角速度
D．当时，b所受摩擦力的大小为kmg
【答案】A
【详解】A．根据 得，发生相对滑动的临界角速度 a与转轴OO′的距离为l，b与转轴OO′的距离为2l，则a、b相对圆盘刚开始滑动时的临界角速度大小之比为A正确；B．a、b缓慢加速，静摩擦力不指向圆心，物块的运动趋势与静摩擦力方向相反，B错误；C．静摩擦力提供向心力，根据 可知a的临界角速度 C错误；D．当b达到最大静摩擦力时有 解得 当时，大于b的临界角速度，可知b的摩擦力达到最大，则摩擦力大小 D错误；故选A。
34．（多选）在如图所示的水平转盘上，沿半径方向放着质量分别为m、2m的两物块A和B（均视为质点），它们用不可伸长的轻质细线相连，与圆心的距离分别为2r、3r，A、B两物块与转盘之间的动摩擦因数分别为、，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。现缓慢加快转盘的转速，当两物块相对转盘将要发生滑动时，保持转盘的转速不变，下列说法正确的是（ ）
A．此时转盘的角速度大小为
B．此时细线中的张力大小为
C．此时烧断细线后的瞬间，B的加速度大小为
D．此时烧断细线后的瞬间，A、B两物块的加速度大小相等
【答案】AB
【详解】AB．A、B两物体相比，根据向心力公式：，可知B物体所需要的向心力较大，当转速增大时，B先有滑动的趋势，此时B所受的静摩擦力沿半径指向圆心，A所受的静摩擦力沿半径背离圆心；当刚要发生相对滑动时，以B为研究对象，有 以A为研究对象，有
由以上两式得T=2μmg故AB正确；CD．此时烧断细线后的瞬间，A、B都相对圆盘滑动，由牛顿第二定律知二者加速度分别为CD错误。故选AB。
八、离心、向心运动
35．（多选）如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力作用下做匀速圆周运动，若小球到达点时突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是：（ ）
A．突然消失，小球将沿轨迹做离心运动
B．突然变小，小球将沿轨迹做离心运动
C．突然变小，小球将沿轨迹逐渐靠近圆心
D．突然变大，小球将沿轨迹逐渐靠近圆心
【答案】AD
【详解】A．若F突然消失，小球不再受向心力作用，将沿线速度方向，即圆的切线方向飞出，故A正确；
BC．若F突然变小，小球受的合力小于需要的向心力，小球将做离心运动，但由于力F仍然存在，故小球仍做曲线运动，即可能沿Pb方向做离心运动，故BC错误；D．若F突然变大，小球受的合力大于需要的向心力，小球将逐渐向圆心靠近，即小球将沿轨迹逐渐靠近圆心，故D正确。故选AD。
36．如图，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘面间的动摩擦因数相同。当匀速转动的圆盘转速恰为两物体刚好未发生滑动时的转速，烧断细线，则两个物体的运动情况将是（ ）
A．两物体均沿切线方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动
【答案】D
【详解】当两个物体刚好相对圆盘发生滑动时，对A物体有对B物体根据可知转速与角速度成正比，当细绳剪断瞬间，角速度不变，对A物体，可知摩擦力小于此时所需的向心力，做离心运动，所以A物体发生滑动，但不沿切线；对B物体，此时由静摩擦力提供所需的向心力，所以B物体仍然相对圆盘静止。故选D。
37．翻滚过山车是一种非常刺激而有趣的游乐项目。如图甲所示，小刚同学所坐的翻滚过山车正在下行中，如图乙所示，他此时所做的运动及所受合力的可能方向分别是（ ）
A．匀速圆周运动、沿方向 B．匀速圆周运动、沿方向
C．加速圆周运动、沿方向 D．减速圆周运动、沿方向
【答案】C
【详解】翻滚过山车正在下行中，做加速圆周运动，合力方向应该与速度成锐角，即沿方向。故选C。
培优第二阶——拓展培优练
38．如图所示，园林工人正在把一颗枯死的小树苗掰折，已知树苗的长度为L，该工人的两手与树苗的接触位置（树苗被掰折的过程手与树苗接触位置始终不变）距地面高为h，树苗与地面的夹角为α时，该工人手水平向右的速度恰好为v，则树苗转动的角速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】把人的速度分解为垂直于木杆的速度v1和沿杆的速度v2，如图则有v1=vsinα
此时手握旗杆的位置到O点距离为则有故选B。
39．（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A．当时，A、B相对于转盘会滑动
B．当，绳子一定有弹力
C．ω在范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
【答案】ABD
【详解】A．当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有
解得所以，当时，A、B相对于转盘会滑动，故A正确；B．当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即有解得可知当时，绳子有弹力，故B正确；C．当时，B已达到最大静摩擦力，则ω在范围内增大时，B受到的摩擦力不变，故C错误；D．ω在范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，当时，绳上无拉力，则当ω增大时，静摩擦力也增大；当时，B的摩擦力不变，有可知随着ω增大，绳上拉力增大，对A有得
可知随着ω增大，A所受摩擦力也增大，故D正确。故选ABD。
40．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L（L
C． D．
【答案】D
【详解】当乙物体以最大角速度转动时，设绳子拉力为F，以甲物体为研究对象，有F=μMg以乙物体为研究对象，有F+μmg=mLω2可得D正确，ABC错误。故选D。
41．如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，其质量为M，有一质量为m的小球以水平速度v0从圆轨道最低点A开始向左运动，小球沿圆轨道运动且始终不脱离圆轨道，在此过程中，铁块始终保持静止，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．地面受到的压力始终大于Mg
B．小球在圆轨道左侧运动的过程中，地面受到的摩擦力可能向右
C．小球经过最低点A时地面受到的压力可能等于Mg+mg
D．小球在圆轨道最高点C时，地面受到的压力可能为0
【答案】D
【详解】A．小球在圆轨道上半部分运动过程中，对铁块的作用力在竖直方向有向上的分力，此时地面受到的压力小于Mg，A错误；B．小球在圆轨道左侧运动的过程中，对轨道的作用力有向左的分力，轨道有向左运动的趋势，所以地面受到的摩擦力方向向左，B错误；C．经过最低点A时，小球的合力方向向上，加速度方向向上，小球处于超重状态，则小球对铁块的压力大于mg，则地面受到的压力大于Mg+mg，C错误；
D．当小球在最高点时有F+mg=m若小球对铁块的压力竖直向上且等于Mg，即F=Mg时，地面受到的压力为0，D正确。故选D。
42．如图所示，竖直杆AB在A、B两点通过光滑铰链连接两等长轻杆AC和BC，AC和BC与竖直方向的夹角均为θ，轻杆长均为L，在C处固定一质量为m的小球，重力加速度为g，在装置绕竖直杆AB转动的角速度ω从0开始逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当ω=0时，AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力
B．AC杆对球的作用力先增大后减小
C．一定时间后，AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定
D．当ω=时，BC杆对球的作用力为0
【答案】C
【详解】A．当ω=0时，小球在水平方向受力平衡，因此AC杆对小球的作用力表现为拉力，BC杆对小球的作用力表现为支持力，且大小相等，A错误；BD．当ω逐渐增大时，AC杆对小球的拉力逐渐增大，BC杆对小球的支持力逐渐减小，当BC杆的作用力为0时，有mgtanθ=mω2Lsinθ解得ω=当ω继续增大时，AC杆对小球的拉力继续增大，BC杆对小球的作用力变为拉力，且逐渐增大，B、D错误；C．一定时间后，AC杆和BC杆对球的作用力都变为拉力，拉力的竖直分力之差等于小球的重力，即FACcosθ-FBCcosθ=mg则FAC-FBC=因此AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定，C正确。故选C。
43．（多选）如图所示为一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径为R=1m，小球可看作质点且其质量为m=1kg，g取10m/s2。则（ ）
A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m
C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N
D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N
【答案】AC
【详解】AB．小球恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰，据速度偏角公式可得解得
小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离为A正确，B错误；CD．小球经过管道的B点时，设受到管道的作用力FNB方向向上，据牛顿第二定律可得解得故管道对小球的作用力大小为1N，方向竖直向上，C正确，D错误。故选AC。
44．如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为。设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为，求：
（1）当水平转盘以角速度匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，求的值是多少？
（2）将物块和转轴用细绳相连，物块静止时绳恰好伸直且无拉力，细绳水平，当转盘的角速度时，求细绳的拉力大小；
（3）将物块和转轴用细绳相连，物块静止时绳恰好伸直且无拉力，细绳水平，当转盘的角速度时，求物块对细绳的拉力大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）刚好相对静止
解得
（2）因为所以
（3）因为，根据牛顿第二定律
由牛顿第三定律知物体对绳的拉力大小