《6.6简单几何体的再认识》第3课时课件2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修二(共19张PPT)

(共19张PPT)
6.6 简单几何体的再认识
第3课时
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问题1　从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展成平面图形．
那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长．理论上，只要取得圆内接正多边形的边数越多，圆周率越精确，直到无穷．这种思想就是朴素的极限思想．
运用上述思想能否计算球的表面积和体积？
极限思想可以用来计算球的表面积和体积．
新知探究
问题2　球也是旋转体，它是由什么平面图象旋转得到的？
球心
直径
O
半径
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体．
新知探究
问题3　用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？
可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，
在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．
若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d．
在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2．
A
D
C
B
O
R
r
d
O′
新知探究
问题4　过球外一点作球的切线，有几条？这些切线是什么关系？
过球外一点，有无数条切线，
所有切线的长度相等．
A
C
D
B
O′
·
H
M
F
新知探究
问题5　阅读教材，填写下面的空格．
（1）球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的________．
（2）被不经过球心的平面截得的圆叫作球的________．
（3）设截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，球的半径为R，则r＝___________．
大圆
小圆
1．球的截面
2．球的切线
（1）当直线与球有唯一交点时，称直线与球______，其中它们的交点称为直线与球的切点．
相切
新知探究
问题5　阅读教材，填写下面的空格．
（2）过球外一点，有无数条切线，所有切线的长度相等．这些切点的集合是以O′为圆心的圆，圆面O′及所有切线围成了______．
圆锥
3．球的表面积和体积公式
（1）设球的半径为R，球的表面积为S球面＝______；
（2）设球的半径为R，则球的体积V球＝______．
4πR2
新知探究
问题6　球的表面积和球的大圆的面积之间有什么关系？
球面的面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍
（其中R为球的半径）
初步应用
例1　如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出来吗？（假设冰激凌融化前后体积不变）
解析：因为V半球＝　　　　　　　　　　　≈134（cm3）
由于V半球＜V圆锥，所以冰淇凌融化了，不会溢出杯子．
V圆锥＝　　 　　　　　　　　　　　≈201（cm3）
12
4
初步应用
例2　一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5，求钢球的半径．
解析：设钢球半径为R，由题意得：
所以钢球的半径为1.5cm．
解得：R＝ ＝1.5cm，
8.5
3
8
3
初步应用
例3　如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积．
作轴截面如图所示，
设球的半径为R，则R2＝OC2＋CC′2＝（）2＋（）2＝9，
∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π，V球＝ πR3＝36π．
CC′＝，AC＝＝，
课堂练习
练习：教科书第244页练习第1题，第2题．
归纳小结
（1）求球的体积与表面积的方法是什么？
（2）解决有关球的问题时，常用哪些性质？
问题3　本节课我们学习了球的表面积、体积的计算公式，请你通过下列问题，归纳所
学知识．
（1）求球的体积与表面积的方法：
①要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，
然后代入体积或表面积公式求解．
②半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，
计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
归纳小结
（1）求球的体积与表面积的方法是什么？
（2）解决有关球的问题时，常用哪些性质？
问题3　本节课我们学习了球的表面积、体积的计算公式，请你通过下列问题，归纳所
学知识．
（2）解决有关球的问题时，常用以下性质：
①用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直．
②如果分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径，用d表示球心到截面的距离，
则R2＝r2＋d2．球的有关计算问题，常归结为解直角三角形．
作业布置
作业：教科书第244页A组第1题，第4题．
1
目标检测
C
若以球的球心为圆心，以球的半径为半径的圆的周长为c，则这个球的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．2πc2
解析：设球的半径为R，则2πR＝c，
∴R＝ ，
∴球的表面积S球＝4πR2＝
2
目标检测
A
若以球的球心为圆心，以球的半径为半径的圆的周长为c，则这个球的表面积为（　　）
A．12π
B．
C．8π
D．4π
解析：由于正方体的体积为8，故正方体的棱长a为2．
又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，
即2R＝（R为正方体外接球的半径），
所以R＝，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π．
3
目标检测
圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________cm．
解析：设球的半径为xcm，
由题意得πx2×8＝πx2×6x－ πx3×3，
解得x＝4．
4
4
目标检测
若一个底面边长为 ，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
解析：在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于O，连接BE1，
则BE＝2OE＝2DE＝，
在Rt△BEE1中，BE1＝＝，
所以球的直径2R＝，则R＝，
所以球的体积为V球＝ πR3＝，球的表面积S球＝4πR2＝12π．