四川省绵阳博美实高2022-2023学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版含答案）

绵阳博美实高2022-2023学年高一下学期开学考试
数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟、
注意事项：
1. 答题前, 考生务必在答题卡上将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚, 同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内。
2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上, 如需改动, 用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内, 超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3. 考试结束后将答题卡收回。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是：（ ）
A．终边在轴上的角的集合为
B．第三象限角的集合为
C．第二象限角大于第一象限角
D．角与角是终边相同角
3．函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
4．若角的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．下列各组中两个值大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的图像为（ ）
A．B．C．D．
7．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以直接完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
8．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．下列判断正确的有（ ）
A． B．（其中）
C． D．（其中，）
10．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．直线为其一条对称轴
B．点为其一个对称中心
C．在区间单调递减
D．在区间单调递减
11．若直线与函数，且的图象有两个公共点，则可以是（ ）
A．2 B． C． D．
12．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数关于直线对称
B．4是函数的周期
C．
D．方程恰有4不同的根
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．函数的零点是_________．
14．若幂函数为减函数，则实数的值为______.
15．若正实数、满足，则的最小值为______.
16．已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为__________.
四、解答题（本大题共6小题，满分70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(10分)计算：
(1) (2)．
18．已知
(1)化简.(2)已知，求的值.
19．已知非空集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
20．对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元.
(1)年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？
21．已知函数．
(1)判断函数是否具有奇偶性？并说明理由；
(2)试用函数单调性的定义证明：在（-1，＋∞）上是增函数；
(3)求函数在区间［1，4］上的值域．
22．已知函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设.
（1）求，的值
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，因此，.
故选：B.
2．A
【分析】根据终边相同角的表示可判断A，D；根据象限角的概念与表示可判断B，C．
【详解】对于A，终边在轴上的角的集合为，即，即，故A正确；
对于B，第三象限角的集合为，故B错误；
对于C，是第二象限角，是第一象限角，，故C错误；
对于D，，与终边不同，故D错误．
故选：A．
3．B
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】由已知得，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：B
4．D
【分析】先由三角函数的定义得到，再代入计算即可.
【详解】由三角函数的性质可得，
故选：D.
5．A
【分析】根据三角函数的单调性与诱导公式一一验证即可.
【详解】对于选项A、B：由正切函数的单调性可得，，则A正确，B错误；
对于选项C：，则根据正弦函数的单调性可得，则C错误；
对于选项D：根据余弦函数的单调性可得，则D错误；
故选：A.
6．D
【分析】利用函数的奇偶性和时函数的单调性求解即可.
【详解】因为，
所以为奇函数，排除A，
因为当时，
因为在时单调递增，所以此时单调递增，
排除BC，显然选项D符合题意，
故选：D
7．C
【分析】由图形可知用a、b表示出OF、OC，在中由勾股定理可求CF，根据即可得出结论．
【详解】由图形可知：，．
在中，由勾股定理可得：
．
，
．．
故选：C．
8．A
【分析】先将化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较、、三个数的大小关系，再由函数在区间上的单调性并结合偶函数的性质可得出、、的大小关系.
【详解】，，
即，
由于函数是偶函数，在区间上单调递增，所以在上单调递减，
由于函数为偶函数，则，即，
故选：A.
【点睛】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为上的单调性再比较.
9．BCD
【分析】根据根式的性质判断A，根据分数指数幂的运算性质判断B，C，D.
【详解】对于选项A，，A错误；
对于选项B，因为，所以，B正确；
对于选项C，，C正确；
对于选项D，因为，，所以，D正确；
故选：BCD.
10．ABD
【分析】四个选项都采用代入的方法，结合函数的性质和图象，即可判断选项.
【详解】A.当时，，所以直线为其一条对称轴，故A正确；
B.当时，，所以点为其一个对称中心，故B正确；
C.当时，，当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故C错误；
D.当时，，所以函数单调递减，故D正确.
故选：ABD
11．ABD
【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为是偶函数，
所以，即
所以关于对称，故A正确.
对于B：因为，
所以，
所以，即周期，故B正确
对于C：
所以，故C错误；
对于D：因为，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，根据对称性，可作出上的图象，
又的周期，
作出图象与图象，如下图所示：
所以与有4个交点，故D正确.
故选： ABD
12．CD
【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得．
【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点，
当时，的图象如图（1）所示，
由已知得，；
当时，的图象如图（2）所示，
由已知可得，
，结合可得无解．
综上可知的取值范围为．
故选：．
13．1和3
【分析】直接利用对数函数的性质与零点的定义，令即可求解
【详解】依题意，令，解得：或，
故答案为：1和3.
14．
【分析】先根据函数是幂函数求出的值，再代入验证即可.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，满足在区间上是减函数，
当时，，不满足在区间上是减函数，
故答案为：
15．3
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】解：因为正实数、满足，
所以，
当且仅当，则，即，时取等号，即的最小值为.
故答案为：
16．
【分析】画出的图象，利用换元法，结合二次函数零点分布列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
，由解得.
画出的图象如下图所示，
令，
由图象可知与有两个公共点时，或；
与有一个公共点时，；
与有三个公共点时，.
依题意，的零点个数为4，
对于函数，由于，
的两个零点，全都在区间或区间，或一个在区间一个在区间，
所以或或，
解得或或，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】研究二次型复合函数的零点问题，关键点有两个，一个是内部函数的图象与性质，如本题中的函数的图象与性质.另一个是二次函数零点分布的知识，需要考虑判别式、对称轴以及零点存在性定理.
17．(1)4
(2)5
【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；
（2）根据对数的运算性质求解即可．
【详解】（1）．
（2）．
18．(1)；
(2).
【分析】（1）根据诱导公式直接计算化简即可；
（2）根据齐次式求解即可.
【详解】（1）解：根据诱导公式得：
（2）解：由（1）知，
因为，
所以
19．(1)
(2)
【分析】（1）由交集，补集的概念求解，
（2）转化为集合间关系后列式求解，
【详解】（1）当时，，，则,，
（2）由题意得是的真子集，而是非空集合，
则且与不同时成立，解得，
故a的取值范围是
20．(1)
(2)当年产量为84.1吨时，最大年利润是451.3万元.
【分析】（1）由基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元，列出方程，即可求解；
（2）当，时，求得万元；当，时，结合基本不等式，即可求.
【详解】（1）当基底产出该中药材40吨时，年成本为万元，
利润为，解得，
则.
（2）当，，，对称轴为，
则函数在，上单调递增，故当时，，
当，时，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元.
21．(1)函数不具有奇偶性；理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)［-，1］.
【分析】（1）通过定义域不关于原点对称来判断奇偶性；
（2）任取x1，x2∈（-1，＋∞），且x1＜x2，通过计算 f（x1）-f（x2）的正负来判断单调性；
（3）通过函数在区间［1，4］上的单调性求得最值即可.
【详解】（1）由已知，故
函数定义域为，
因为定义域不关于原点对称，
所以函数不具有奇偶性；
（2）证明： ==，
任取x1，x2∈（-1，＋∞），且x1＜x2
f（x1）-f（x2）＝（2-）-（2-）
＝-=
＝，
又由-1＜x1＜x2，则x1-x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
故f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f(x)在（-1，＋∞）是增函数；
（3）由（2）知，f(x)在［1，4］上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝-，f(x)max＝f（4）＝1，
故f(x)在［1，4］上的值域是［-，1］．
22．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）判断函数在上的单调性，得出最大值和最小值，由此可求得；
（2）设，利用分离参数法，题中问题为在上有解，求出的最大值即可得．
（3）把方程化简，并设，方程化为，结合图象，方程有两个实数解，则有，，或，，利用二次方程根的分布知识求得的范围．
【详解】（1）由题意，又，∴在上单调递增，
∴，解得．
（2）由（1），，
时，，令，则在上有解，
，∵，∴，
，则，∴的最大值为，
∴，即．
∴的取值范围是．
（3）原方程化为，
令，则，有两个实数解，
作出函数的图象，如图
原方程有三个不同的实数解，则，，或，，
记，
则，解得，
或，无解．
综上的取值范围是．
【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式有解，考查根据函数零点求参数范围问题，解题关键是掌握利用零点存在定理构建不等式求解，分离参数后转化为函数函数的最值，涉及到几个零点时，还要老考虑函数图象与直线的交点个数，本题考查了分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力．