浙江省杭州市拱墅区重点中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题（Word版含答案）

拱墅区重点中学2022-2023学年高三下学期开学考试
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知定义在R上的函数满足，，当时，，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
5.某同学连续抛掷一枚硬币若干次，若正面朝上则写下1，反面朝上则写下0，于是得到一组数据.记命题：“这组数据的中位数是”，命题：“这组数据的标准差为”，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ）
A． B． C． D．
8.已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列命题中，正确的命题（ ）
A．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点
B．将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变
C．用相关指数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好
D．若随机变量，且，则
10．欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
11．已知实数a，b，c满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．直线与函数的图象有4个不同的交点，并且从左到右四个交点分别为，它们的横坐标依次是，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在使得点处切线与点处切线垂直
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 已知锐角满足，则______.
14. 在的二项式展开式中的系数为90，则______.
15. 已知是各项为整数的递增数列，且，若，则的最大值为______．
16．已知关于x的不等式恒成立，则的取值范围是_____．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，求面积的最大值.
18. 已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求的值；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
19. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，是否存在，使得恒成立 若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
20. 中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），新能源汽车 电动汽车对于实现“双碳目标”具有重要的作用，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.
(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望.
①参考数据：；
②参考公式：（i）线性回归方程：，其中；
（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强.
（iii），其中.附表：
21.已知抛物线上一点，圆：，过作圆的两条切线，切点分别为A，B.
（1）求直线的方程：
（2）直线分别与抛物线交于两点，求线段的长度.
22. 已知函数，
（1）时，若恒成立，求的取值范围；
（2），在上有极值点，求证：.
答案
一、单选题
1．D 2．B 3．B. 4．A.
5．C 6．B 7．A 8．A
二、多选题
9．BD 10．BC. 11．ABC 12．ABD
三、填空题
13． 14． 15．7 16.
三、解答题
17．【答案】(1) (2)
【详解】（1）由正弦定理可得，
因为，所以，
即，
整理得：，
因为，所以，所以，
因为，所以. （4分）
（2）在中，由余弦定理得：，
即，
整理得，当且仅当时，等号成立.
所以，
因为，所以，
所以面积的最大值为. （6分）
18．【答案】(1) (2)存在，
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以， （2分）
检验：因为，故满足题意 （2分）
（2）是上的增函数，证明如下：
设任意，，，
，
，∴，，，，
∴是上的单调增函数．（4分）
假设存在实数，使之满足题意．
由（2）可得函数在上单调递增，
∴，∴
∴，为方程的两个根，即方程有两个不等的实根．
令，即方程有两个不等的正根．
，∴
故存在，实数的取值范围为： （4分）
19．【答案】(1)；(2)存在，或；
【详解】（1）由题设且，
当时，，可得；
当时，，则；
由，故，
所以是首项、公差均为1的等差数列，故. （5分）
（2）由（1）知：，要使，即恒成立，
令且，则，
若，即，则，
在上，递增，上，递减，
所以在有最大值，又，
对于，当时，，当时，，
综上，，故存在或使恒成立. （7分）
20. 中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），新能源汽车 电动汽车对于实现“双碳目标”具有重要的作用，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.
(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望.
20．【答案】
(1)，与线性相关较强 （2+1=3分）
(2) ，认为购买电动汽车与车主性别有关 （2+1=3分）
(3)分布列答案见解析，数学期望：（3+3=6分）
0 1 2
【详解】（1）（1）相关系数为
故与线性相关较强.
（2）零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立，
即购买电动汽车与车主性别无关.
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于.
（3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为故
,,
故的分布列为：
0 1 2
21. 已知抛物线上一点，圆：，过作圆
的两条切线，切点分别为A，B. （1）求直线AB的方程：（2）直线分
别与抛物线交于两点，求线段的长度.
（1）设，，则圆在点处的切线方程分别为，
（最好推导一下：设是圆在点处的切线上一点，则
即
）
又因为点同时在直线上，所以有，，所以，是方程的解所以直线的方程是. （4分）
（2）设，，则，又，
化简整理得，
因为直线与圆相切，则，即
同理可得，所以是方程的两个不等
实根，有，.
（4 + 4 = 8分）
22. 已知函数，
（1）时，若恒成立，求的取值范围；
（2），在上有极值点，求证：.
（基本结论：当时，）
（1），令，则，
令，则有恒成立，当时，成立；
当时，恒成立，令，，
则恒成立，所以在单调递增，所以，
则，即，因此，则. 综上. （4分）
（2）
令，则，令，则
令，则有，即
，由（1）得，
，
令，，，
在上单调递增，，.
时，，
，得证. （8分）