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高三年级学情检测
数学试题
本试卷共4页，22题，全卷满分150分。考试用时120分钟.
注意事项：
1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。问答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
吹
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
地
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知复数z=i(1十)，其巾i是虚数单位，则z在复平面内所对应的点在
A第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D第四象限
2.已知集合A={-2,一1,0,1,2}，B={x∈N|x2-2x一3≤0)，则A∩B=
A.{1,2}
B.{0.1,2y
C.{-1,0,1,2}
D.[0,2]
牧
3.已知向量a,b满足|a|=b=1,|a十2b|=3,则向量a,b的夹角为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
4.“x>y”的一个充分条件可以是
A2r>克
B.x2>y
C.>1
D.rt >yt
5.h图是函数f(x)的部分图象，则它的解析式可能是
并
A.()=sinz
e“+e
B.f(x)=r·sinx
c -e
2
C.f(x)=(1-er)cos
D.f(x)=(c-c*)cosx
6.已知sin(a+日)=号+e0a,则sin(2a+百)=
A.一9
C.-1v2
9
D.42
高三数学试题第1页（共4页）
0000000
7.已知等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sm,若S,<0对任意的n∈N+恒成立，则q
的取值范围是
A.(-∞，0)U(0,1)
B.(-1,0)U(0,1)
C.(-∞，-1)U(0,+∞)
D.(-1,0)U(0,+∞)
8.已知a=6h5,b=7h,c=8,则
A.a >b>c
B.ac>b
C.b>c>a
D.c>6>a
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.居家学习期间，某学校发起了“畅读经典，欢度新年”活动，根据统计数据可知，该校共有
1200名学生，所有学生每天读书时间均在20分钟到
↑频率/组距
100分钟之间，他们的日阅读时间频率分布直方图如图
0.020
所示.则下列结论正确的是
0.015
A.该校学生口阅读时间的众数约为70
0.010
B.该校学生日阅读时间不低于60分钟的人数约为360
0.005
C.该校学生日阅读时间的第50百分位数约为65
020406080100时间/分钟
D.该枚学生日阅读时间的平均数约为64
10.已知函数fx)-si(@z+若)u>0)满足fx)≤/)恒成立，且在(0，)上单调递
增，则下列说法中止确的是
A.0=2
B.z+受)为偶函数
C若x∈[o,1则f)e,
D将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，可以得到g(x)=si(x十T)的图象
11.如图所示，抛物线E:y2=2pr(p>0)的焦点为F,过点
M(p,0)的直线11，l2与E分别相交于A(x1y:),
B(x2y:)和C,D两点，直线AD经过点F,当血线AB垂
直于x轴时，|AF=3.下列结论正确的是
A.E的方程为y2=4x
B.y1y2=-12
C.若AD,BC的斜率分别为k1,kz,则k1一3kz
D.若AD.BC的倾斜角分别为a,B,则ana一)的最大伉为写
高三数学试题第2贞（共4页）
0000000高三年级学情检测
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C D C B D A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11 12
答案 ACD AB AD ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
3 4 4 4 3
13．240；14． 或 ；15． (0，e]；16． ．
3 3 2 2
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】
（1） X 的所有可能取值为：1，2，3，4，
1 5 1 5
则 P(X =1) = ， P(X = 2) = = ，
6 6 6 36
5 5 1 25 5 5 5 125
P(X = 3) = = ， P(X = 4) = = ；
6 6 6 216 6 6 6 216
所以 X 的分布列为
X 1 2 3 4
p 1 5 25 125
6 36 216 216
所以 X 的数学期望为
1 5 25 125 671
E(X ) =1 + 2 + 3 + 4 = ．
6 36 216 216 216
（2）设事件“甲掷第 n次且不获胜”的概率为 a ， n
5 5 5 25
由题可知： a = ，且1 an = an 1 = an （1 n 2)，
6 6 6 36
- 1 -
n 1
所以 数列 a 5 25是以 为首项， 为公比的等比数列，则 5 25 n an = ，
6 36 6 36
n 1
5 1 1 25
所以 甲恰好抛掷第 n次且赢得比赛的概率 Pn = an 1 = ，
6 6 6 36
n 1
1 25
当 n =1时符合，所以 Pn = ．
6 36
18．【解析】
（1）因为 (a +b)(sin A sin B) = bsinC ，由正弦定理得： a2 b2 = bc ，
b2 + c2 a2 c2 bc c b sinC sin B
所以 cos A = = = = ，
2bc 2bc 2b 2sin B
所以 2cos Asin B = sinC sin B = sin(A+ B) sin B = sin Acos B + sin Bcos A sin B ，
所以 sin B = sin Acos B sin Bcos A= sin(A B)，
因为 0 B ， A B ，
所以 B = A B，或B +（A B）= (不合题意)，
所以 A= 2B ．
2 3
（2）由正弦定理得： = ，
sin B sin A
又因为 sin A = sin 2B = 2sin Bcos B，
2 3 3 7
所以 = ，所以 cos B = ， sin B = ．
sin B 2sin Bcos B 4 4
因为 a = 3，b = 2，由（1） a2
5
b2 = bc 可得： c = ，
2
1 15 7
所以 S = acsin B = ；
2 16
15 7
即 △ABC 的面积为 ．
16
19．【解析】
（ ）因为 2S = a21 n n + a n 2
2
n ，当 时， 2Sn 1 = an 1 + an 1，
作差得 2a = a2 a2n n n 1 + a a ，整理得 an + an 1 = (an + an 1)(an n 1 n an 1)，
因为 an 0 ，所以 an an 1 =1；
当 n =1时， 2a1 = a
2
1 + a1 ，因为 a1 0，所以 a1 =1；
- 2 -
所以 数列{an}是首项为 1 公差为 1 的等差数列，
所以 an = n ．
1 1 1 1 1 1 1 1
（2）由题意可知 Tn = + + + ...+ = + + + +
a2 a2 a2 a2 2 2 2 2
1 2 3 n 1 2 3 n
1 1 1 1 1
因为 = ( )(n 2)
n2 n2
，
1 2 n 1 n +1
7
当 n =1时，T1 =1 ；
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
当 n 2时，Tn 1+ (1 ) + ( ) + ( ) + + ( )
2 3 2 2 4 2 3 5 2 n 1 n +1
1 1 1 1 1 7
=1+ + ( + ) ．
2 4 2 n n +1 4
得证．
20．【解析】
（1）取M ，N 分别为棱 PA，PB的中点，连接DM ，MN，NC，
1 1
则MN AB，MN = AB；因为 CD AB ，且CD = AB ，
2 2
所以 MN CD ，且MN =CD，
所以 四边形MNCD 为平行四边形，故 DM CN ．
因为DP = DA，M 为棱 PA的中点，所以 DM ⊥ PA；
因为 AB ⊥ AD ，平面PAD ⊥底面 ABCD，平面 PAD 底面 ABCD = AD，
所以 AB ⊥平面 PAD ，因为 DM 平面 PAD ，所以 AB ⊥ DM ；
又 AB PA = A，所以 DM ⊥平面 PAB ．
因为 DM CN ，所以 CN ⊥平面 PAB ，
又因为 CN 平面 PBC ，所以 平面 PBC ⊥平面PAB ．
（2）取 AD中点为O，连接 PO，因为 △PAD 为等边三角形，所以 PO ⊥ AD，
因为 平面 PAD ⊥底面 ABCD， 所以 PO ⊥底面 ABCD，过O作OE AB，交 BC
于点 E ，则OE ⊥ AD；以O为原点，OA，OE，OP所在直线分别为 x 轴，y 轴，z
轴建立空间直角坐标系，设 AD = 2，
1 3
则 P(0，0， 3) ， A(1，0，0) ，D( 1，0，0) ，C( 1，2，0)，M ( ，0， ) ，
2 2
3 3
则 DM = ( ，0， ) ， AP = ( 1，0，3)， AC = ( 2，2，0) ，
2 2
- 3 -
3 3
由（1）可知 DM ⊥平面 PAB ，故 平面 PAB 的法向量取DM = ( ，0， ) ，
2 2
设平面 PAC 的法向量为n = (x，y，z)， z
P
n AP = 0 x + 3z = 0
由 ，解得 ， D N C
n AC = 0 2x + 2y = 0 M
E
O y
令 x = 3，得n = ( 3，3，1) ， A B
x
设平面 PAC 与平面 PAB 的夹角为 ，
| n DM | 2 3 2 7
所以 cos = = = ，
| n || DM | 3 7 7
2 7
所以 平面 PAC 与平面PAB 夹角的余弦值为 ．
7
21．【解析】
b
（1）由题意知： 2a = 2， = 3 ，解得 a =1，b = 3，
a
2 y
2
所以 双曲线 C 的方程为 x =1．
3
y2
（2）设直线 PQ的方程为 x = my + 2，与 x2 =1联立可得
3
(3m2 1)y2 +12my + 9 = 0 ，设 P(x1 ，y1)，Q(x2 ，y2 ) ，
12m 9
则3m2 1 0， = 36m2 +36 0 ， y1 + y2 = ，y y =2 1 2 2 ； 3m 1 3m 1
假设 x 轴上存在定点M (t，0)，使得MP MQ 为定值．
MP MQ = (x1 t)(x2 t) + y1y2 = (m
2 +1)y1y2 + (2 t)m(y1 + y2 ) + (2 t)
2
(12t 15)m2 + 9
= + (2 t)2 ，
3m2 1
12t 15 9
若MP MQ 为定值，则必有 = ，
3 1
解得 t = 1，此时MP MQ = 0 ；
若直线 PQ斜率为 0，则 P( 1，0)，Q(1，0) ，
所以 MP MQ = (0，0) (2，0) = 0 ．
所以 x 轴上存在定点M ( 1，0)，使得MP MQ 为定值 0 ．
22．【解析】
- 4 -
1 1
（1）由题意可知 f (x) = 2cos2x ， f (x) = 4sin 2x + ，
1+ x (1+ x)2
1
当 x ( 1，0) 时， 4sin 2x 0， 0，
(1+ x)2
故 f (x) 0，所以 f (x)在区间 ( 1，0)上单调递增， f ( x)无极值点．
1
当 x (0， ) 时， f (x) 单调递减． f (0) =1 0， f ( ) = 4 + 0，
4 4
(1+ )2
4
所以 存在唯一的 x0 (0， )， f (x0 ) = 0 ，且 x (0，x0 )时， f (x) 0，
4
当 x (x0 ， ) 时， f (x) 0，故 x = x 为 f 0 (x)的唯一极大值点．
4
所以 f ( x)在区间 ( 1， ) 上存在唯一的极大值点．
4
（2）当 x [ ，+ )时， sin 2x 1， ln(1+ x) 1，则 f (x) 0恒成立，故 f (x) 无零点；
当 x [ ， ) 时， sin 2x 0， ln(1+ x) 0，则 f (x) 0恒成立，故 f (x) 无零点；
2
1
当 x [ ， ) 时， cos2x 0 ， 0 ，则 f (x) 0恒成立，
4 2 1+ x
故 f (x) 单调递减，因为 f ( ) =1 ln(1+ ) 0， f ( ) = ln(1+ ) 0，
4 4 2 2
所以 f (x) 在该区间内有唯一零点；
当 x ( 1，0]时，注意到 f (0) = 0，故 0 是 f (x) 的一个零点；
由（1）知， f (x)在 ( 1，0)上单调递增，
2 4
因为 f ( ) = 2cos 3 0 ， f (0) =1 0 ，
3 3
所以 存在唯一的 x 1 ( 1，0) ， f (x1) = 0，
当 x ( 1，x1)时， f (x) 0， f (x) 单调递减，
当 x (x1 ，0) 时， f (x) 0， f (x) 单调递增；
2 4
因为 f (0) = 0，所以 f (x1) 0 ，又 f ( ) = sin + ln3 0 ，
3 3
故在区间 ( 1，x1) 上有唯一零点， (x1 ，0) 上无零点；
当 x (0， ) 时，由（1）可知，
4
f ( x)在 (0，x0 ) 上单调递增，在 (x0 ， )上单调递减，
4
- 5 -
1
f ( ) = 0
因为 f (0) =1 0， 4 ，
1+
4
所以 存在唯一的 x2 (0， )， f (x2 ) = 0，
4
当 x (0，x2 )时， f (x) 0， f (x) 单调递增，
当 x (x 2 ， ) 时， f (x) 0， f (x) 单调递减；
4
因为 f (0) = 0， f ( ) =1 ln(1+ ) 0，
4 4
所以 f (x) 在 (0， )上无零点；
4
综上所述 f (x) 共有 3 个零点．
- 6 -
