1.3.2 平抛运动与斜面、类平抛问题（培优训练）（含答案）高一物理同步精品课堂（教科版2019 必修第二册）

1.3.2 平抛运动与斜面、类平抛问题
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，也是高考容易考的点。在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，圆曲面的半径等找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，利用勾股定理联系半径与竖直位移、水平位移的关系联系起来，还是充分利用速度和位移的两个矢量三角形，从而使问题得到顺利解决。
1．从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个特点
(1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。
(2)末速度方向平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。
(3)运动的时间与初速度成正比。 (4)位移与初速度的二次方成正比。
(5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且所用的时间为平抛运动时间的一半。
1.横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图所示。它们的竖直边长都是底边长的一半。现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c。下列判断正确的是(　　)
A．落在a点的小球落在斜面上的速度方向与斜面平行
B．三小球比较，落在c点的小球飞行时间最长
C．三小球比较，落在b点的小球飞行过程速度变化最快
D．无论小球抛出时初速度多大，落到斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直
2.如图所示，在一次投弹演习中，战机释放的炸弹(近似于平抛运动)未能击中山坡上的目标S，你认为飞行员应如何调整才可能准确命中目标(　　)
A．保持原航速和飞行高度，稍微提前投弹
B．保持原航速和飞行高度，稍微延后投弹
C．保持原航速、降低飞行高度，提前投弹
D．保持原航速，到S正上方投弹
3.如图所示，D点为固定斜面AC的中点，在A点先后分别以初速度v01和v02水平抛出一个小球，结果小球分别落在斜面上的D点和C点。空气阻力不计。设小球在空中运动的时间分别为t1和t2，落到D点和C点前瞬间的速度大小分别为v1和v2，落到D点和C点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角分别为θ1和θ2，则下列关系式正确的是(　　)
A.＝ B．＝
C.＝ D．＝
4．（多选）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，其中跳台滑雪项目是勇敢者的运动。运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。图甲所示是运动员在空中飞行的姿态，图乙是滑道的简略示意图，运动员可视为质点和忽略各种阻力，平台飞出点选为坐标原点，速度为，各功能区的高度和坡度都是定值，重力加速度为g，以下说法正确的是 （　　）
A．由于运动员质量不同，因此在助滑区飞出点的速度不同
B．在着陆区落地时的动能与运动员的质量成正比
C．飞行距离为
D．飞行距离为
5．如图所示，斜面倾角为，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　）
A．若小球以最小位移到达斜面，则
B．若小球垂直击中斜面，则
C．若小球能击中斜面中点，则
D．若小球能击中斜面中点，则
6．如图，竖直面内的半圆弧BCD的半径为2.0m，直径BD水平，小孔P和圆心O的连线与水平方向的夹角为37°现从B点正上方的A点沿水平抛出一小球，小球恰好射入小孔P且速度沿OP方向。不计空气阻力，则AB的高度差及小球抛出的速度分别是（取g=10m/s2，sin37°=0.6）（　　）
A．0.15m，4m/s B．1.50m，4m/s
C．0.15m，2m/s D．1.50m，2m/s
7．如图所示，在竖直平面内创建平面直角坐标系，有一曲面轨道，轨道方程为 ，在轴上有一点P（，），从P点将一小球水平抛出，初速度为，不计空气阻力，取， 则小球第一次打在曲面上的位置坐标为 （　　）
A．（3m，3m） B．（2m，4m） C．（1m，1m） D．（1m，2m）
8.如图所示，O点为正四面体OABC的顶点，ABC处在水平面上，D点为AB边的中点。在O点沿不同方向水平抛出两个小球，甲球恰好落在A点，乙球恰好落在D点，空气阻力不计。则甲球和乙球平抛初速度大小的比为(　　)
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．72∶1
9.如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为2 m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为(　　)
A. m B． m C. m D． m
10.如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平拋出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则(　　)
A．a球一定先落在半圆轨道上
B．b球一定先落在斜面上
C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上
D．a球可能垂直落在半圆轨道上
类平抛运动的理解及处理
1．类平抛运动与平抛运动的区别
做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g；做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，a＝。
2．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。
1.(多选)如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是(　　)
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为gsinθ
C．小球从A处到达B处所用的时间为
D．小球到达B处的水平方向位移大小s＝v0
2.如图所示，A、B两质点沿水平方向以相同的速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，则下列关于P1、P2沿x轴方向相对抛出点距离远近的关系的判断正确的是(　　)
A．P1较远 B．P2较远
C．P1、P2等远 D．A、B两项都有可能
3.(多选)如图所示，某人从高出水平地面h的山坡上P点水平击出一个质量为m的高尔夫球，飞行中持续受到一阵恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直落入距击球点水平距离为L的洞穴Q.则(　　)
A．球飞行中做的是平抛运动
B．球飞行的时间为
C．球被击出时的初速度大小为L
D．球飞行中受到的水平风力大小为
4．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)如图a，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v t图象如图b所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则(　　)
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
1.3.2 平抛运动与斜面、类平抛问题
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，也是高考容易考的点。在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，圆曲面的半径等找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，利用勾股定理联系半径与竖直位移、水平位移的关系联系起来，还是充分利用速度和位移的两个矢量三角形，从而使问题得到顺利解决。
1．从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个特点
(1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。
(2)末速度方向平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。
(3)运动的时间与初速度成正比。 (4)位移与初速度的二次方成正比。
(5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且所用的时间为平抛运动时间的一半。
1.横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图所示。它们的竖直边长都是底边长的一半。现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c。下列判断正确的是(　　)
A．落在a点的小球落在斜面上的速度方向与斜面平行
B．三小球比较，落在c点的小球飞行时间最长
C．三小球比较，落在b点的小球飞行过程速度变化最快
D．无论小球抛出时初速度多大，落到斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直
【答案】D
【解析】设落在a点的小球落在斜面上的速度方向与水平方向夹角为θ，位移方向与水平方向夹角为α，根据平抛运动的推论可知，tanθ＝2tanα，即落在a点的小球落在斜面上的速度方向不可能与斜面平行，A错误；根据平抛运动规律可知，三小球飞行时间t＝，落在a点的小球竖直方向下落距离最大，所以落在a点的小球飞行时间最长，B错误；三小球都做平抛运动，速度变化快慢(加速度)均相同，C错误；通过A项的分析可知，落在a点的小球不可能与斜面垂直，对于落在b、c点的小球而言，落在斜面上时竖直方向分速度为gt，水平方向分速度为v0，假设落到斜面上的瞬时速度能与斜面垂直，则＝tanα＝，对应的竖直方向的位移为y＝gt2，水平方向的位移为x＝v0t＝t＝y，显然这是不可能满足的，因此D正确。
2.如图所示，在一次投弹演习中，战机释放的炸弹(近似于平抛运动)未能击中山坡上的目标S，你认为飞行员应如何调整才可能准确命中目标(　　)
A．保持原航速和飞行高度，稍微提前投弹
B．保持原航速和飞行高度，稍微延后投弹
C．保持原航速、降低飞行高度，提前投弹
D．保持原航速，到S正上方投弹
【答案】B
【解析】由h＝gt2，x＝v0t可得，保持原航速时，炸弹的轨迹形状不变。为击中目标，保持原航速和飞行高度时，应稍微延后投弹，A错误，B正确；保持原航速、降低飞行高度时，应延后投弹，C错误；保持原航速，到S正上方投弹，炸弹会落在S右侧，将不能命中S，D错误。
3.如图所示，D点为固定斜面AC的中点，在A点先后分别以初速度v01和v02水平抛出一个小球，结果小球分别落在斜面上的D点和C点。空气阻力不计。设小球在空中运动的时间分别为t1和t2，落到D点和C点前瞬间的速度大小分别为v1和v2，落到D点和C点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角分别为θ1和θ2，则下列关系式正确的是(　　)
A.＝ B．＝
C.＝ D．＝
【答案】C
【解析】小球先后两次在竖直方向下降的高度之比为1∶2，由h＝gt2知＝，设斜面的倾角为α，可得＝＝tanα，所以＝，求得＝，由速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍，可得＝1，则＝＝，故C正确，A、B、D错误。
4（多选）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，其中跳台滑雪项目是勇敢者的运动。运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。图甲所示是运动员在空中飞行的姿态，图乙是滑道的简略示意图，运动员可视为质点和忽略各种阻力，平台飞出点选为坐标原点，速度为，各功能区的高度和坡度都是定值，重力加速度为g，以下说法正确的是 （　　）
A．由于运动员质量不同，因此在助滑区飞出点的速度不同
B．在着陆区落地时的动能与运动员的质量成正比
C．飞行距离为
D．飞行距离为
【答案】BC
【解析】A．设运动员的质量为m，在飞出点的速度为，根据动能定理得解得
可见在助滑区飞出点的速度与运动员的质量无关，A错误；B．根据平抛运动的规律，设水平分速度与速度的夹角为α，则有而可得运动员落地时的动能可知运动员在着陆区落地的动能与自身质量成正比，B正确；CD．由平抛运动规律得；；联立解得，C正确，D错误。
故选BC。
5如图所示，斜面倾角为，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　）
A．若小球以最小位移到达斜面，则
B．若小球垂直击中斜面，则
C．若小球能击中斜面中点，则
D．若小球能击中斜面中点，则
【答案】D
【解析】A．若小球最小位移到达斜面，则位移垂直于斜面，根据平抛规律，根据几何关系可知联立解得故A错误；B．若小球垂直击中斜面，则速度垂直于斜面，根据几何关系解得故B错误；CD．若小球击中斜面中点，根据几何关系解得故D正确，C错误。故选D。
6．如图，竖直面内的半圆弧BCD的半径为2.0m，直径BD水平，小孔P和圆心O的连线与水平方向的夹角为37°现从B点正上方的A点沿水平抛出一小球，小球恰好射入小孔P且速度沿OP方向。不计空气阻力，则AB的高度差及小球抛出的速度分别是（取g=10m/s2，sin37°=0.6）（　　）
A．0.15m，4m/s B．1.50m，4m/s
C．0.15m，2m/s D．1.50m，2m/s
【答案】A
【解析】小球由A到P做平抛运动，有；；
联立解得 ，故选A。
7如图所示，在竖直平面内创建平面直角坐标系，有一曲面轨道，轨道方程为 ，在轴上有一点P（，），从P点将一小球水平抛出，初速度为，不计空气阻力，取， 则小球第一次打在曲面上的位置坐标为 （　　）
A．（3m，3m） B．（2m，4m） C．（1m，1m） D．（1m，2m）
【答案】C
【解析】设小球经过时间打在曲面轨道上（，）点，则水平方向有竖直方向有
又联立解得，，C正确，ABD错误；故选C。
8如图所示，O点为正四面体OABC的顶点，ABC处在水平面上，D点为AB边的中点。在O点沿不同方向水平抛出两个小球，甲球恰好落在A点，乙球恰好落在D点，空气阻力不计。则甲球和乙球平抛初速度大小的比为(　　)
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．72∶1
【答案】A
【解析】设O点在面ABC的投影点为O′，由几何知识可知＝，因甲、乙两球落下的竖直位移相同，故t相同，则有＝＝，可得＝，故A正确，B、C、D错误。
9如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为2 m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为(　　)
A. m B． m C. m D． m
【答案】A
【解析】将AB的高度用h表示，则从A点水平抛出的小球运动的时间t1＝，从D点水平抛出的小球运动的时间t2＝，在水平方向上有v0t1－v0t2＝，落地点到C点的水平距离x＝v0t1－，联立并代入数据得x＝ m，故A正确，B、C、D错误。
10如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平拋出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则(　　)
A．a球一定先落在半圆轨道上
B．b球一定先落在斜面上
C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上
D．a球可能垂直落在半圆轨道上
【答案】C
【解析】将半圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图所示，交点为A。若a、b两球的初速度合适，可知两小球均可以做平抛运动落在A点，则a、b运动的时间相等，即可以同时落在半圆轨道和斜面上；若a、b两球的初速度比前述的小，由图可知，小球b先落在斜面上；若a、b两球的初速度比前述的大，则小球a先落在半圆轨道上，故A、B错误，C正确。若a球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向的夹角的2倍，而在平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，两者相互矛盾，所以a球不可能垂直落在半圆轨道上，故D错误。
类平抛运动的理解及处理
1．类平抛运动与平抛运动的区别
做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g；做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，a＝。
2．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。
1.(多选)如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是(　　)
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为gsinθ
C．小球从A处到达B处所用的时间为
D．小球到达B处的水平方向位移大小s＝v0
【答案】ABC
【解析】小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确；根据牛顿第二定律知，小球的加速度a＝＝gsinθ，故B正确；小球在沿加速度方向上的位移为，根据＝at2，解得t＝ ，故C正确；小球在沿初速度方向的位移：x＝v0t＝ ，小球在沿加速度方向的位移的水平分位移：y＝cosθ＝，则小球在水平方向的总位移：s＝> ＞v0，故D错误。
2.如图所示，A、B两质点沿水平方向以相同的速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，则下列关于P1、P2沿x轴方向相对抛出点距离远近的关系的判断正确的是(　　)
A．P1较远 B．P2较远
C．P1、P2等远 D．A、B两项都有可能
【答案】B
【解析】A质点水平抛出后，只受重力，做平抛运动，在竖直方向有h＝gt。B质点水平抛出后，受重力和支持力，在斜面平面内所受合力为mgsinθ，大小恒定且与初速度方向垂直，所以B质点做类平抛运动，在沿斜面向下方向上有＝gsinθ·t。A的水平位移x1＝v0t1，B的水平位移x2＝v0t2，由于t2>t1，所以x2>x1，P2较远，B正确。
3.(多选)如图所示，某人从高出水平地面h的山坡上P点水平击出一个质量为m的高尔夫球，飞行中持续受到一阵恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直落入距击球点水平距离为L的洞穴Q.则(　　)
A．球飞行中做的是平抛运动
B．球飞行的时间为
C．球被击出时的初速度大小为L
D．球飞行中受到的水平风力大小为
【答案】BC
【解析】水平抛出的物体如果只受重力作用则为平抛运动，而高尔夫球飞行过程中除重力外还受到水平方向的风力作用，所以不是平抛运动，A项错误；球的运动分为水平方向和竖直方向，竖直方向只受到重力作用，为自由落体运动h＝gt2，因此得运动时间t＝，B项正确；水平方向受风力作用做匀减速直线运动，最后竖直落入洞穴说明水平方向末速度等于0，设初速度为v0，则有水平方向平均速度＝，代入计算得v0＝L，C项正确；水平风力F＝max＝m＝，D项错误．故选B、C两项．
4．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)如图a，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v t图象如图b所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则(　　)
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
【答案】BD
【解析】v t图象中图线与t轴包围的面积表示位移的大小，第二次滑翔过程中v t图线与t轴所围面积比第一次的大表示在竖直方向上的位移比第一次的大，A错误；由图a知落在雪道上时的水平位移与竖直位移成正比，再由A项分析知，B正确；从起跳到落到雪道上，第一次滑翔过程中竖直方向的速度变化比第二次的大，时间比第二次的短，由a＝，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，C错误；v t图象的斜率表示加速度，竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上的加速度比第一次的小，设在竖直方向上所受阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次滑翔在竖直方向上受到的阻力比第一次的大，D正确