铜鼓县中2022-2023学年高二下学期开学考
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案）
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则. B．若，则.
C．若，则. D．若，则.
3．从1，2，3，4，5，6中不放回地依次取2个数，事件A＝“第一次取到的是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，则（ ）
A． B． C． D．
4．在抗疫期间，某单位安排4名员工到甲 乙 丙三个小区担任志愿者协助体温检测工作，每个小区至少安排1名员工，每名员工都要担任志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
5．四棱锥中，设，，，.则（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与圆相交的弦长为，则（ ）
A． B． C． D．
7．的展开式中的系数为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
8．已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，以OF为直径的圆与C的两条渐近线分别交于与原点不重合的点A，B，若，则的周长为（ ）
A．6 B． C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。多选少选得2分，错选得0分，全对得5分)
9．已知直线与直线垂直，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
10．甲 乙两名志愿者均打算高考期间去三个考点中的一个考点做服务，甲去考点做服务的概率分别为，乙去考点做服务的概率分别为，则（ ）
A．甲去考点做服务的概率为 B．甲去考点 乙不去考点做服务的概率为
C．甲 乙同去考点做服务的概率为 D．甲 乙不去同一考点做服务的概率为
11．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若非零向量，，满足，，则有
B．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则
C．若，，是空间的一组基底，且，则四点共面
D．若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底
12．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的内切圆与轴相切于点
C．若，则的离心率为 D．若，则的方程为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为________.
14．某学校高二年级有1500名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布．已知，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人．
15．现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 _ _ 种．（用数字作答）
16．已知抛物线，圆，点，若分别是，上的动点，则的最小值为___________.
四、解答题(本大题共7小题，共70分)
17．（10分）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为512．
(1)求n的值： (2)求展开式中的常数项．
18．（12分）据统计，某市一家新能源企业2022年近5个月的产值如下表：
月份 6月 7月 8月 9月 10月
月份代码 1 2 3 4 5
产值（亿元 16 20 27 30 37
(1)根据上表数据，计算与间的线性相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；（结果保留三位小数，若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性不强．）
(2)求出关于的线性回归方程，并预测该企业什么时候的产值为亿元．
参考公式：．
参考数据：．
19．（12分）已知圆心为的圆与两条直线，都相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)经过点的直线与圆交于，两点，若线段的中点恰好为点，求的面积．
20．（12分）如图，且，，且，且，平面，，为的中点，为的中点.请用空间向量的知识解答下列问题：
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
21．（12分）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．
(1)设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差；
(2)设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
22．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，连接椭圆的四个顶点所成的四边形的周长为.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点，求的值.铜鼓县中2022-2023学年高二下学期开学考
数学参考答案
1．C【详解】因为抛物线，所以其准线方程为.
2．D【详解】直线l的一个方向向量为 ，平面的一个法向量为，
对于A，若,则 ∴，故A错误；
对于B，若，则 ，即，解得，， ，故B错误；
对于C，若，则 ，则，，故 C错误；
对于D,若，则 ，解得，，则，故D正确，
3．B【详解】6个数中有3个奇数所以故
4．C【详解】1、选2名员工分到一个小区：种方法，2、将它们看作3组安排到甲乙丙小区，有种安排方法，∴不同的安排方法共有种.
5．A【详解】，所以.
所以.
6．A【详解】圆C：，即，圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，弦长为，得.
7．C【详解】，又的通项公式为，
所以的展开式中的系数为.
8．B【详解】设与轴交于点，由双曲线的对称性可知轴，，
，又因为，所以，即，
所以，因为点在以为直径的圆上，所以，所在的渐近线方程为，点到渐进线距离为，所以，所以，，所以的周长为，
9．AB【详解】因为直线与直线垂直，则，解得或.
10．ABD【详解】对于A，甲去考点做服务的概率为，故A正确；对于B，甲去考点 乙不去考点做服务的概率为，故B正确；对于C，甲 乙同去考点做服务的概率为，故C错误，对于D，乙去考点做服务的概率为，
甲 乙不去同一考点做服务的概率为，
11．BC【详解】对于A，，，是非零向量，当时，若，则成立，显然不成立，A不正确；
对于B，假设，不共线，则，可分别作为三棱锥底面边对应的向量，显然向量与不共面，即存在向量与向量，构成空间的一组基底，与已知矛盾，假设是错的，因此，B正确；
对于C，，，是空间的一组基底，且，而，
由空间向量基本定理得，，，四点共面，C正确；
对于D，向量，，是空间的一组基底，而，即，，共面，
因此，，不能构成空间的一组基底，D不正确.
12．BCD【详解】对于A：由可得，所以，故A错误；
对于B：设的内切圆的圆心为I，且圆与边、、相切于N、M、K，
可得，，，又因为，
所以，又，
解得，，可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，故B正确；对于C：在椭圆中，，，则，由，得 ，解得a＝3，
则的离心率，故C正确；对于D：因为，，所以，，若，则，
又c＝2，，解得，，则椭圆的方程为，故D正确．
13．【详解】将圆化为，
联立两圆方程，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线的方程为，
14．240【详解】因为考试的成绩服从正态分布，所以正态曲线关于对称，因为，所以，所以该班数学成绩在120分以上的人数为（人）．
15．144【详解】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，有种情况，②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，有种情况，则有种排法，
16．【详解】解：由抛物线得焦点，准线为，由圆，得，所以圆是以为圆心，以为半径的圆，所以，
所以当取得最小值时，取得最小值，又根据抛物线的定义得等于点到准线的距离，所以过点作准线的垂线，垂足为，且与抛物线相交，当点为此交点时，取得最小值，最小值为，所以此时，所以的最小值为.
17．（1）因为的展开式中所有项的二项式系数之和为512，
所以，解得．
（2）由通项公式，
令，可得，所以展开式中的常数项为．
18．（1）．所以，
因为，故与线性相关性很强
（2）由题意可得，，所以，所以关于的线性回归方程为，当时，，故2023年4月份该企业的产值约为亿元．
19．（1）由题知，点到两直线的距离相等，即，解得，或舍去，所以圆的半径为，即圆的标准方程为．
（2）当直线与直线垂直时，线段的中点恰好为，又，则，所以直线的方程为，点到直线的距离，，
所以的面积为．
20．（1）因为，平面，所以，，两两垂直.
以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以可得，，，，，.所以，，，
因为为的中点，为的中点，所以，.
所以.设平面的法向量为，
则，即，不妨令，可得.
所以，所以.又平面，所以平面.
（2）由（1）得，设平面的法向量为，则，即，不妨令，可得.
由（1）知，平面的一个法向量为.所以，于是.
所以二面角的正弦值为.
21．（1）由题意可知，可取，且服从二项分布，则
，，
，，
，．
由此得的分布如下：
所以，.
（2）由于为这名学生在首次停车前经过的路口数，显然是随机变量，
其取值为且
，，，
，，，
由此得的分布如下：
（3）设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件，所求概率.
22．（1）根据题意，所以，椭圆顶点围成的四边形周长为：，
所以，又因为，所以，，故椭圆方程为：，
椭圆离心率为.
（2）①当直线PQ斜率不存在时，|PQ|，|MN|，此时.
②当直线PQ斜率为0时，|PQ|，|MN|，此时.
③当直线PQ斜率存在且不为0时，设直线PQ:，直线MN：
联立所以所以，
所以，PQ同理可得，.此时.
综上所述，的值为答案第2页，共3页
