2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学复习讲义第六章 解三角形 学案

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第六章 解三角形
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R．(R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＋a2－2cacosBc2＝a2＋b2－2abcosC
变形形式 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；sin A＝，sin B＝，sin C＝ cos A＝cos B＝cos C＝
2．三角形常用面积公式
S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．
在△ABC中，(1) sin (A＋B)＝sin C ；(2) cos (A＋B)＝－cos C．
[学业水平考试真题]
1．(2017年1月广东学考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若a＝2，c＝3，求sin C的值．
2．(2018年1月广东学考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，c＝，则C＝(　　)
A． B． C． D．
3．(2019年1月广东学考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝，bc＝5．
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
4．(2020年1月广东学考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A＝，b＝4，且△ABC的面积为2，则a＝(　　)
A．2 B． C．2 D．
5．(2021年1月广东学考)如图2，在△ABC中，，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3．
(1)求的面积；
(2)求边长AC的长．
[学业水平考试最新模拟题]
1．(2019年珠海市学考模拟)在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)
A． B． C． D．
2．(2019年肇庆高一月考)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为(　　)
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
3．(2019年江门市学考模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝60°，那么A等于(　　)
A．135° B．90° C．45° D．30°
4．(2019年广州市学考模拟)在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝ ．
5．在△中，若，，则△外接圆的半径为（ ）
A．6 B． C．3 D．
6．(2019年韶关市学考模拟)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．(2020年广东学考模拟)在△ABC中，已知a＝5，b＝5，C＝30°，则角C的对边c的长为(　　)
A．5 B．5 C．5 D．5
8．(2019年中山市学考模拟)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
9．在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
10．(2016年长春三模)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为(　　)
A． 　　　　　　　B．1　　　　　　　C． 　　　　　　　D．2
11．(2018年广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，B＝135°，S△ABC＝4，则b＝ ．
12．(2018年广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝．
(1)求b的值；
(2)求sin C的值．
13．(2016年山师大附中一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
参考答案
[学业水平考试真题]
1．(2017年1月广东学考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若a＝2，c＝3，求sin C的值．
(1)证明：因为＝，所以acos B＝bcos A，
由正弦定理知sin Acos B＝sin Bcos A，所以tan A＝tan B，
又A，B∈(0，π)，所以A＝B，
所以△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)可知A＝B，所以a＝b＝2，
根据余弦定理有：c2＝a2＋b2－2abcos C，
所以9＝4＋4－8cos C，解得cos C＝－，
因为C∈(0，π)，所以sin C＞0，所以sin C＝＝．
2．(2018年1月广东学考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，c＝，则C＝(　A　)
A． B． C． D．
3．(2019年1月广东学考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝，bc＝5．
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
解：(1)因为A是△ABC的内角，即A∈(0，π)，cos A＝，
所以sin A＝＝．
又bc＝5，
所以S△ABC＝bcsin A＝×5×＝2．
(2)由cos A＝＝，bc＝5，可得b2＋c2－a2＝6．
由bc＝5，b＋c＝6，可得b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝26．
所以26－a2＝6，解得a＝2．
4．(2020年1月广东学考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A＝，b＝4，且△ABC的面积为2，则a＝(　B　)
A．2 B． C．2 D．
5．(2021年1月广东学考)如图2，在△ABC中，，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3．
(1)求的面积；
(2)求边长AC的长．
解：（1）在 中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
所以．
（2）由（1）知，
因为，所以，
在中，由正弦定理得，
所以．
[学业水平考试最新模拟题]
1．(2019年珠海市学考模拟)在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　A　)
A． B． C． D．
2．(2019年肇庆高一月考)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为(　B　)
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
3．(2019年江门市学考模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝60°，那么A等于(　C　)
A．135° B．90° C．45° D．30°
4．(2019年广州市学考模拟)在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝ 2 ．
5．在△中，若，，则△外接圆的半径为（ C ）
A．6 B． C．3 D．
6．(2019年韶关市学考模拟)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　C　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．(2020年广东学考模拟)在△ABC中，已知a＝5，b＝5，C＝30°，则角C的对边c的长为(　D　)
A．5 B．5 C．5 D．5
8．(2019年中山市学考模拟)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　A　)
A．1 B．2 C．3 D．4
9．在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（ A ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
10．(2016年长春三模)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为(　C　)
A． 　　　　　　　B．1　　　　　　　C． 　　　　　　　D．2
11．(2018年广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，B＝135°，S△ABC＝4，则b＝ 2 ．
12．(2018年广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝．
(1)求b的值；
(2)求sin C的值．
解：(1)∵b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17，
∴b＝．
(2)∵cos B＝，
∴sin B＝，
由正弦定理＝，得＝，
∴sin C＝．
13．(2016年山师大附中一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
解：(1)∵bsin A＝acos B，由正弦定理得sin Bsin A＝sin Acos B．
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝，
∴B＝．
(2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，即9＝a2＋4a2－2a·2acos，
解得a＝，
∴c＝2a＝2．
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