北师大版（2019）高中数学必修2《6.5垂直关系》第1课时 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
6.5 垂直关系
第1课时
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问题1　线面平行是如何的定义？在如图所示的长方体中，除了认识的线面平行、线在平面内外，是否存在线面垂直呢？
A
B
C
D
C1
D1
B1
A1
直线与平面没有公共点，即直线与平面的交集是空集，则直线与平面平行；存在线面垂直．
新知探究
问题2　圆锥的旋转轴OA与底面上的任意一条直线是否垂直？为什么？
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直；
能，l⊥α．
问题3　如何定义一条直线与一个平面垂直？你能用符号表示直线与平面垂直吗？如何表示？
垂直，因为OA垂直底面．
新知探究
追问 怎么画直线与平面垂直？什么叫垂线、垂足、垂面呢？
l
α
A
画法：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直．
垂线：如图，若直线l⊥平面α，则直线l叫做平面α的垂线．
垂足：当直线l⊥平面α时，它们唯一的公共点A叫做垂足．
垂面：平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的相关概念及其画法
新知探究
过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
过一点有且只有一个平面与一已知直线垂直．
问题4　平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．在空间，过一点有几条直线与已知平面垂直？过一点有几个平面与已知直线垂直？
新知探究
问题5　观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？
互相平行．
A
B
C
D
C1
D1
B1
A1
新知探究
问题6　已知直线a⊥α，b⊥α那么直线a，b一定平行吗？教材中是用什么方法证明这一结论的？如何用语言叙述上述结论吗？
一定平行；
教材是利用反证法证明的；
语言叙述为：垂直于同一个平面的两条直线平行．
新知探究
问题7　你能发现线面垂直的其他性质吗？
线面垂直的其他性质
（1）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（2）过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（4）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面．
（5）如果平面外的一条直线与该平面的垂线垂直，那么这条直线与此平面平行．
新知探究
问题8　两条异面直线能垂直于同一个平面吗？为什么？
不能，
因为垂直于同一个平面的两条直线平行，如果两条异面直线能垂直于同一个平面，
则这两条异面共面，这与它的定义矛盾．
新知探究
问题9　直线与平面垂直是直线与平面的相交时的一种特殊情况，当它们不垂直时，
一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条
直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点称为斜足．
可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同呢？
新知探究
问题10　如何作直线与平面所成的角？
过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂直，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影．
平面的一条斜线与在这个平面上的投影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角．
追问 直线与平面所成的角的范围是多少？
根据直线与平面所成的角定义可知，范围是［0，90°］．
初步应用
例1　本章1.2节已提到从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离．请证明：如果一条直线平行一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离都相等．如何证明这一问题？
α
β
l
A
E
F
B
已知：如图，若l∥α，A、B是l上的任意两点，过点A作AE⊥α，过点B作BF⊥α，交平面α于点E、F．
求证：AE＝BF．
证明：∵AE⊥α，BF⊥α，∴AE∥BF，
∴AE与BF可以确定一个平面β，
∵l∥α，A、B∈l，∴AB∥α，
又∵l α，EF α，∴AB∥EF
∴四边形ABFE为平行四边形，∴AE＝BF．
初步应用
例2 如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求A1B与平面A1DCB1所成的角．
追问 由直线与平面所成角的概念知，应先找到或作出直线A1B在平面A1DCB1
上的射影，那么怎样才能得到这条射影呢？
解析：连接BC1，交CB1于点O，连接A1O．再证BC1⊥平面A1DCB1，
则∠BA1O就是所求的角，设正方体的棱长为a．
∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩ B1B＝B，
∴A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1．
又∵BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面A1DCB1．
初步应用
例2 如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求A1B与平面A1DCB1所成的角．
追问 由直线与平面所成角的概念知，应先找到或作出直线A1B在平面A1DCB1
上的射影，那么怎样才能得到这条射影呢？
在Rt△A1BO中，A1B＝ ，BO＝ ，
∴BO＝ A1B，
∴ ∠BA1O＝30°，
∴ A1B和平面A1DCB1所成的角为30°．
解析：所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，
即∠BA1O为A1B与平面A1DCB1所成的角．
课堂练习
练习：教科书第229页练习1，2．
归纳小结
问题11　本节课我们学习了直线与平面垂直的性质及其应用，请你通过下列问题，归纳
所学知识．
（1）直线与平面垂直定义中的关键词任意一条直线是否可以换成所有直线或无数条直线？
（2）判定两条直线平行的常用方法有哪些？
（3）如何求线面角的大小？
（1）定义中的任意一条直线与所有直线是等效的，但是不可说成无数条直线，
因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．
（2）有：
②利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．
①利用线线平行定义：证共面且无公共点．
归纳小结
问题11　本节课我们学习了直线与平面垂直的性质及其应用，请你通过下列问题，归纳
所学知识．
（1）直线与平面垂直定义中的关键词任意一条直线是否可以换成所有直线或无数条直线？
（2）判定两条直线平行的常用方法有哪些？
（3）如何求线面角的大小？
③利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
④利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．
⑤利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
求出线面角的一个三角函数值，然后再求出线面角的大小．
（3）一般作出或找到线面角后，首先将线面角置于一个三角形内，
作业布置
作业：教科书第229页练习3．
1
目标检测
A
直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能（　　）
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直
解析：若l∥m，又l α，m α，
所以直线l与m不可能平行．
∴l∥α，这与已知l⊥α矛盾．
故选A．
2
目标检测
B
在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（　　）
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或平行
解析：圆柱的母线垂直于圆柱的底面，
由线面垂直的性质知B正确．
故选B．
3
目标检测
A
如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是（　　）
A．60°
B．45°
C．30°
D．120°
解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，
在Rt△AOB中，AB＝2BO，
故选A．
所以cos∠ABO＝ ，即∠ABO＝60°．
4
目标检测
45°
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．
解析：如图所示，因为正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，
所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，
∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．
由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°．