北师大版（2019）高中数学必修2《6.5垂直关系》第3课时课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
6.5 垂直关系
第3课时
导入新课
问题1　两平面相交也是生产和生活中常见的现象，如发射人造地球卫星时，要使卫星的轨道平面和地球赤道平面形成一定的角度．笔记本电脑使用时，也需要展开一定的角度等等，那么我们如何来刻画这种两个平面所成的角呢？
用我们即将要学的二面角的平面角刻画．






导入新课
问题2　平面是无限延展的，一条直线把平面分成几部分？每一部分如何定义？
一条直线把平面2部分，
其中每一部分称为半平面．
半平面
半平面
新知探究
追问2：如图所示，如何表示以直线AB为棱，半平面α、β为面的二面角？
以直线AB为棱，以α、β为半平面的二面角记为二面角α－AB－β．
追问1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫什么？
从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱；
这两个半平面叫做二面角的面．
面α
面β
A
B
棱AB
棱AB
面
面
A
B
新知探究
问题3　如何度量二面角？
二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度
的二面角．
o
A
B
A .
B


l
O
新知探究
问题4　如何找二面角的平面角？
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线
所成的角就是二面角的平面角．

l
A

O
B
新知探究
问题5　当二面角是直角时，两个平面是什么位置关系？
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
α
β
m
B
A
O
新知探究
问题6　二面角的范围是什么？二面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？
二面角的范围是［0，π］．
二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关．






新知探究
问题7　已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗？这样的直线分别有什么性质？试说明理由！
在黑板面内找一条直线与黑板边缘平行，即可得直线与地面平行，
依据是线面平行的性质；
在黑板面内找一条直线黑板边缘相交，即可得直线与地面相交，
依据是平面与直线的无限延展性；
黑板面内找一条直线与黑板边缘垂直，因为黑板面与地面垂直．
新知探究
问题8　若两个平面垂直，一个平面内的直线与另一个平面有何位置关系？一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面有什么位置关系？
平行、垂直、斜交；
一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
α
β
l
m
α
β
l
m
α
β
l
m
新知探究
问题9　如何符号、图形语言表示两个平面垂直的性质定理？
符号语言： α⊥β，α∩β＝m，l β，l⊥m l⊥α．
图形语言：
α
β
l
m
新知探究
问题10　已知两个平面垂直时，可以得到那些垂直关系？
已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，
再转化为线线垂直．
初步应用
例1　已知二面角 α－ l －β，A为面内一点，若点A到 α 的距离为，到 l 的距离为4．求二面角 α－ l －β 的大小．
故二面角 － l－ 的大小为60 °
因为sin∠ADO
所以∠ADO=60
在Rt△ADO中：
解析：因为∠ADO 就是二面角 － l － 的平面角
A .
O


l
D
初步应用
例2　如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角．沿这条路向上走100米，升高了多少？
解析：如图所示，要求升高了多少米，即需要求点D到水平面α的距离DH．
已知二面角α-AB-β是60度，只要过D点在平面内作DG⊥AB，G点是垂足，连结HG，则HG⊥AB，∠DGH就是该二面角的平面角，即∠DGH=60°．
根据∠DCH=60°及直角三角形DGH和DCG的边角关系，得
A
D
C
G
H
B
A
C
B
G
D
H
课堂练习
练习：教科书第230页练习1，2，3．
归纳小结
（1）平面与平面垂直的性质定理的作用是什么？
（2）如何求二面角的大小？
问题11　本节课我们学习了二面角、平面与平面垂直的性质定理及其应用，请你通过下
列问题，归纳所学知识．
（1）作用：证明直线与平面垂直．
（2）求二面角的三种方法：
①定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．
所成的角，即为二面角的平面角．
②垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线（交线）
③垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．
作业布置
作业：教科书第230页练习4．
1
目标检测
C
设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则（　　）
A．直线a必垂直于平面β
C．直线a不一定垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
D．过a的平面与过b的平面垂直
解析：如果α∩β＝b，则a⊥β．
如果b不是平面α和β的交线，则a不一定垂直于β．
如果α∩β＝a，则b⊥α．
如果a不是平面α与β的交线，则b不一定垂直于α．
故选：C．
2
目标检测
C
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1的位置关系为（　　）
A．平行
C．垂直
B．共面
D．不垂直
解析：如图所示，在四边形ABCD中，
∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，
∴BD⊥平面AA1C1C．
又CC1 平面AA1C1C，
∵AB＝BC，AD＝CD．
∴BD⊥AC．
∴BD⊥CC1，
故选：C．
3
目标检测
C
如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于A，B）且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为（　　）
A．60°
C．45°
B．30°
D．90°
A
O
B
C
P
解析：∵AB是圆的直径，
∴PA⊥BC，即BC⊥PA．
又∵AC∩PA＝A，
又∵PA＝AC，
∴BC⊥AC．
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴∠PCA＝45°．
故选：C．
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，
∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．
D
4
目标检测
如图，已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．
A
B
C
P
证明：如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD 平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，且AD⊥PC，
∴AD⊥平面PBC，
∵PA⊥平面ABC．
又BC 平面PBC，
∴AD⊥BC．
BC 平面ABC，
∵AD∩PA＝A，
∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，
又AC 平面PAC，
∴BC⊥AC．