2023年苏科版数学七年级下册全方位训练卷7.2探索平行线的性质
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2022七下·乐亭期末）如图，直线，如果，，那么的度数是（ ）
A．31° B．40° C．39° D．70°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵ABCD，
∴∠EMB=，
∵∠EMB=∠E+∠EFB，
∴∠E=∠EMB-∠EFB=70°-31°=39°，
故答案为：C．
【分析】先利用平行线的性质可得∠EMB=，再利用三角形外角的性质可得∠E=∠EMB-∠EFB=70°-31°=39°。
2．（2022七下·东港期末）如图，若，，，则的度数是（ ）
A．25° B．30° C．36° D．38°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长AE交CD于点F，
∵，，
∴∠1+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠1=180°-70°=110°，
∵∠2是△DEF的外角，
∴∠3+∠AFD=∠2，
∴∠3=∠2-∠AFD=140°-110°-30°．
故答案为：B
【分析】延长AE交CD于点F，利用平行线的性质可得∠ACD=180°-∠1=180°-70°=110°，再利用三角形的外角的性质可得∠3=∠2-∠AFD=140°-110°-30°。
3．（2022七下·依安期末）如图，直线，直线与直线，分别交于点，点，于点，交直线于点．如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵直线∥，
∴∠1+∠BAD=180°，
∵AC⊥AB于点A，∠1=34°，
∴∠2=180° 90° 34°=56°，
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质可得∠1+∠BAD=180°，再结合∠CAB=90°，可得∠2=180° 90° 34°=56°。
4．（2022七下·自贡期末）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a，b中的直线b上，如果∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．48° D．45°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1=42°，
∴∠3=∠1=42°，
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠2=48°．
故答案为：C．
【分析】由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）得∠3=∠1=42°，由题意得∠4=90°，再结合平角即可求出∠2=48°.
5．（2022七下·盱眙期末）如图，直线//，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．65°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：设∠2的同位角为∠3，如图，
∵，
∴∠2=∠3，
∵∠3+∠1=180°，∠1=130°，
∴∠3=50°，
∴∠2=50°，
故答案为：C．
【分析】根据邻补角的定义求出∠3的度数，再根据二直线平行，同位角相等，求∠2度数即可.
6．（2022七下·泾阳期末）如图，AB∥CD，直角三角尺的直角顶点在CD上，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（ ）
A．28° B．62° C．56° D．72°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】 【解答】解：如图，
∵∠EDF=90°，
∴∠3=∠EDF-∠1=90°-28°=62°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=62°，
故答案为：B.
【分析】根据角的和差关系求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2的度数，即可解答.
7．（2022七下·海州期末）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，且，
∴∠BFE=∠DEF=22°，
∴在图a中，∠CFE=180°-∠BFE=158°，
∴在图b中，∠BFC=158°-22°=136°，
∴在图c中，∠CFE=136°-22°=114°，
故答案为：B．
【分析】根据二直线平行，内错角相等，求出∠BFE的度数，再根据邻补角的性质求出∠CFE的度数，然后根据折叠的性质和角的和差关系求∠BFC、∠CFE度数即可.
8．（2022七下·上虞期末）如图，，平分，且，垂足为，则与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过F点作FG∥AB，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，即．
故答案为：A.
【分析】过F点作FG∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得FG∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠BFG=∠ABF，∠DFG+∠CDF=180°，根据垂直的概念可得∠BFD=90°，由角平分线的概念可得∠ABE=2∠ABF，则∠BFG+∠DFG+∠CDF=∠ABF+180°，据此求解.
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（2022七下·任丘期末）如图，已知直线、被直线所截，且∥，∠1=°，那么∠2 = 度；
【答案】95
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】如图，
∵∠1=85°，
∴∠3=180°-∠1=180°-85°=95°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=95°．
故答案是：95．
【分析】先利用邻补角求出∠3的度数，再利用平行线的性质可得∠2=∠3=95°。
10．（2022七下·宜春期末）如图，，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=72°，则∠2= ．
【答案】54°
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF=180° ∠1=180° 72°=108°
∠2=∠BEG，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠BEF=×108°=54°
∴∠2=∠BEG=54°.
故答案为：54°.
【分析】先利用平行线的性质求出∠2=∠BEG，利用角平分线的定义可得∠BEG=∠BEF=×108°=54°，从而可得∠2=∠BEG=54°。
11．（2022七下·双台子期末）如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在作业本两行线上．如果，那么的度数是 ．
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵作业本上两直线平行线，
∴∠3=，
由三角板的内角知∠2+∠3=60°，
∴∠2=．
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质可得∠3=，再利用角的运算可得∠2=。
12．（2022七下·巴彦期末）如图，AB∥CD，，，，平分，则 °．
【答案】13
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴KH∥CD，
∴∠KFD=∠FKH=42°，
∵AB∥CD，
∴AB∥KH，
∴∠BEK=∠EKH=68°，
∴∠EKF=∠EKH+∠FKH=110°，
∵平分，
∴∠EKH=55°，
∴∠GKH=∠EKH-∠EKG=13°．
故答案为：13
【分析】由可得KH∥CD，根据平行线的性质及判定可得∠KFD=∠FKH=42°，AB∥KH∥CD，再根据平行线的性质可得∠BEK=∠EKH=68°，从而求出∠EKF=∠EKH+∠FKH=110°，由角平分线的定义可得∠EKH=55°，从而得出∠GKH=∠EKH-∠EKG=13°．
13．（2022七下·双城期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BGE＝ ．
【答案】64°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
故答案为64°
【分析】由平行线的性质可得=32°，由折叠的性质可得=32°，根据三角形外角的性质可得，继而得解.
14．（2022七下·南康期末）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝ °．
【答案】55
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD⊥AC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55．
【分析】先利用平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝35°，再利用三角形的内角和求出∠ACD＝90°﹣35°＝55°即可。
15．（2022七下·寻乌期末）如图，已知直线AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分线，若∠1=∠2，∠2+∠4=120°，则∠3= °．
【答案】40
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵EG是∠AEF的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠2+∠4=120°，
∴2∠3+∠3=120°，
∴∠3=40°，
故答案为：40．
【分析】先利用平行线的性质和角平分线的定义求出，再结合∠2+∠4=120°，可得2∠3+∠3=120°，再求出∠3=40°即可。
16．（2022七下·遂川期末）如图，一幅三角板的两个直角顶点重合，已知，，则当的一边与的一边平行或重合，且点C在的左侧时，（小于平角）的度数为 ．
【答案】或或
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：当OC∥AB时，如图，
∴∠BEO=∠COD=90°，
∴∠B+∠EOB=90°，
∵∠B=30°，
∴∠EOB=90°-∠B=60°，
∴∠COB=∠COD+∠EOB=90°+60°=150°；
当CD∥OB时，如图，
∴∠DOB=∠D=45°，
∴∠COB=∠COD+∠DOB=90°+45°=135°；
当CD∥AB时，如图，
∴∠AFO=∠D=45°，
∵∠AFO=∠B+∠BOF，∠B=30°，
∴∠DOB=15°，
∴∠COB=∠COD+∠DOB=90°+15°=105°；
综上所述，∠COB的度数为150°或135°或105°．
故答案为：150°或135°或105°
【分析】分三种情况：①当OC∥AB时，②当CD∥OB时，③当CD∥AB时，再分别画出图形，利用平行线的性质和角的运算求解即可。
三、解答题（共10题，共102分）
17．（2023七上·安岳期末）填空并完成以下证明：
如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由．
解：∠AED与∠C的大小关系是 ．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∠1＝∠DFH（ ）
∴ ＝180°
∴EH∥AB（ ）
∴∠3＝∠ADE（ ）
∵∠3＝∠B
∴∠B＝∠ADE（ ）
∴ ∥BC（ ）
∴∠AED＝∠C（ ）
【答案】解：∠AED与∠C的大小关系是∠AED＝∠C．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∠1＝∠DFH（对顶角相等），
∴∠2+∠DFH＝180°，
∴EH∥AB（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由对顶角相等得∠1＝∠DFH，由等量代换求得∠2＋∠DFH＝180°，根据同旁内角互补两直线平行，可判定EH∥AB，再根据二直线平行，内错角相等得∠3＝∠ADE，由等量代换求得∠B＝∠ADE，根据同位角相等，两直线平行，可判定DE∥BC，最后根据二直线平行，同位角相等得∠AED＝∠C．
18．（2022七下·江源期末）已知：如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠1＋∠2＝180°．求证：DGBC．
【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝∠EFC＝90°．
∴BDEF．
∴∠2＋∠DBE ＝180°．
∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠1＝∠DBE．
∴DGBC．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】先求出 BDEF，再求出∠1＝∠DBE，最后证明即可。
19．（2022七下·法库期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整．
如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，点D在线段上，连接AD，且平分．
求证：．
证明：（ ）
（ ）
▲
（平角定义）
平分（已知）
▲ （ ）
（ ）
（已知）
▲ （ ）
（等量代换）
【答案】证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠BAC=90°（垂直的定义），
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠4+∠BAC=180°（平角定义），
∴∠1+∠4=180°-∠BAC=90°，
∵AC平分∠DAF（已知），
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∴∠3=∠4（等角的余角相等），
∵a∥b（已知），
∴∠4=∠5（两直线平行，内错角相等），
∴∠3=∠5（等量代换）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定的方法求解即可。
20．（2022七下·宜春期末）按要求完成下列证明：
如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，，，试说明：．
证明：
∵（已知），（ ），
∴（等量代换）．
∴▲（ ）．
∴（ ）．
又（已知），
∴（等量代换）．
∴（ ）．
【答案】解：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（ 对顶角相等 ），
∴∠2=∠3（等量代换），
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等），
又∵∠C=∠D（已知），
∴∠D=∠ABD（等量代换），
∴AC∥DF（ 内错角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
21．（2022七下·无为期末）如图，//，，EF平分，，垂足为点H，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∵EF平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
22．（2022七下·惠东期末）如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC=∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出符合题意图形，并解答）．
【答案】（1）解：平行．
如图①．
∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．
又∵∠B=∠D=120°，∴∠D+∠A=180°，∴AB∥CD；
（2）解：如图②．
∵AD∥BC，∠B=∠D=120°，∴∠DAB=60°．
∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，∴∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE，
∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=（∠BAE+∠DAE）=∠DAB=30°；
（3）解：①如图3，当点E在线段CD上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：3；
②如图4，当点E在DC的延长线上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：1．
综上所述：∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定与性质求解即可；
（2）先求出 ∠DAB=60°，再求出∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE， 最后计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用平行线的性质求解即可。
23．（2022七下·顺平期末）如图，BC//DE，CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线．请完成以下过程．
（1）请你猜想∠1与∠2的数量关系是 ．
（2）完成以下推理过程：
∵（已知），
∴∠ACB=∠ ▲ （ ）．
又∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线（已知），
∴，∠4= ▲ （ ）．
∴∠3=∠4（等量代换），
∴// ▲ （ ）．
∴∠1=∠2（ ）．
【答案】（1）∠1=∠2
（2）解：∵（已知），∴∠ACB=∠AED（两直线平行，同位角相等）．又∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线（已知），∴ ，（角平分线的定义）．∴∠3=∠4（等量代换），∴CD（_同位角相等，两直线平行_），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
24．（2022七下·雷州期末）如图所示，已知射线，，、在上，且满足，平分，根据上述条件，解答下列问题：
（1）证明：；
（2）求的度数；
（3）若平行移动，那么的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，，∴，∴，∴；
（2）解：∵，∴平分，又平分，∴；
（3）解：不变．∵，∴，，∴，又∵，∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得，从而得到；
（2）利用角平分线的定义及角的运算可得；
（3）先求出，再求出即可。
25．（2022七下·石城期末）已知：如图，直线，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点.
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系.
（2）若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数.
（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连结EG，且有∠CEG=∠CEM，给出下列两个结论：
①的值不变；
②∠GEN－∠BDF的值不变.
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？讲求出不变的值是多少.
【答案】（1）解：∠C=∠1+∠2．
理由：如图1，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴CD∥MN，
∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2．
（2）解：∵∠AEN=∠A=30°，
∴∠MEC=30°，
由（1）可得，∠C=∠MEC+∠PDC=90°，
∴∠PDC=90°-∠MEC=60°，
∴∠BDF=∠PDC=60°；
（3）解：结论①的值不变是正确的，
设∠CEG=∠CEM=x，则∠GEN=180°-2x，
由（1）可得，∠C=∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP=90°-∠CEM=90°-x，
∴∠BDF=90°-x，
∴==2（定值）， 即的值不变，值为2．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）过C作CD∥PQ，利用平行线的性质可得∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，再利用角的运算和等量代换可得∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2；
（2）先求出∠MEC=30°，再求出∠PDC=90°-∠MEC=60°，即可得到∠BDF=∠PDC=60°；
（3）设∠CEG=∠CEM=x，则∠GEN=180°-2x， 求出∠BDF=90°-x，再代入计算可得==2。
26．（2022七下·前进期末）七年级同学解决平行线问题时，遇到这样的问题，请你帮忙解决：已知AB∥CD，
（1）如图1，猜想∠AEC，∠BAE，∠DCE之间有什么数量关系不必说明理由；
（2）如图2，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=40°，∠ABC=50°，求∠BED的度数；
（3）将图（2）中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，∠FAD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请直接写出∠BED的度数（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）解：∠AEC=∠BAE+∠DCE，理由如下：如图1，作EF∥AB，则有EF∥CD，
∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE，∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠DCE；
（2）解：如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD=40°，∴∠ADC=∠FAD=40°，∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠ADC=20°，∵BE平分∠ABC，∠ABC=50°，∴∠ABE=∠ABC=25°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠BEH=∠ABE=25°，∠DEH=∠EDC=20°，∴∠BED=∠BEH+∠DEH=45°；
（3）解：∠BED=180°-n°+m°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：(3)过点E作EG∥AB，如图：
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=∠FAD=m°，∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=m°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠BEG=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEG=m°，∴∠BED=∠BEG+∠DEG=180°-n°+m°．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得出结论；
（2）过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得出结论；
（3）过点E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得出结论。
1 / 12023年苏科版数学七年级下册全方位训练卷7.2探索平行线的性质
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2022七下·乐亭期末）如图，直线，如果，，那么的度数是（ ）
A．31° B．40° C．39° D．70°
2．（2022七下·东港期末）如图，若，，，则的度数是（ ）
A．25° B．30° C．36° D．38°
3．（2022七下·依安期末）如图，直线，直线与直线，分别交于点，点，于点，交直线于点．如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022七下·自贡期末）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a，b中的直线b上，如果∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．48° D．45°
5．（2022七下·盱眙期末）如图，直线//，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．65°
6．（2022七下·泾阳期末）如图，AB∥CD，直角三角尺的直角顶点在CD上，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（ ）
A．28° B．62° C．56° D．72°
7．（2022七下·海州期末）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022七下·上虞期末）如图，，平分，且，垂足为，则与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（2022七下·任丘期末）如图，已知直线、被直线所截，且∥，∠1=°，那么∠2 = 度；
10．（2022七下·宜春期末）如图，，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=72°，则∠2= ．
11．（2022七下·双台子期末）如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在作业本两行线上．如果，那么的度数是 ．
12．（2022七下·巴彦期末）如图，AB∥CD，，，，平分，则 °．
13．（2022七下·双城期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BGE＝ ．
14．（2022七下·南康期末）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝ °．
15．（2022七下·寻乌期末）如图，已知直线AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分线，若∠1=∠2，∠2+∠4=120°，则∠3= °．
16．（2022七下·遂川期末）如图，一幅三角板的两个直角顶点重合，已知，，则当的一边与的一边平行或重合，且点C在的左侧时，（小于平角）的度数为 ．
三、解答题（共10题，共102分）
17．（2023七上·安岳期末）填空并完成以下证明：
如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由．
解：∠AED与∠C的大小关系是 ．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∠1＝∠DFH（ ）
∴ ＝180°
∴EH∥AB（ ）
∴∠3＝∠ADE（ ）
∵∠3＝∠B
∴∠B＝∠ADE（ ）
∴ ∥BC（ ）
∴∠AED＝∠C（ ）
18．（2022七下·江源期末）已知：如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠1＋∠2＝180°．求证：DGBC．
19．（2022七下·法库期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整．
如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，点D在线段上，连接AD，且平分．
求证：．
证明：（ ）
（ ）
▲
（平角定义）
平分（已知）
▲ （ ）
（ ）
（已知）
▲ （ ）
（等量代换）
20．（2022七下·宜春期末）按要求完成下列证明：
如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，，，试说明：．
证明：
∵（已知），（ ），
∴（等量代换）．
∴▲（ ）．
∴（ ）．
又（已知），
∴（等量代换）．
∴（ ）．
21．（2022七下·无为期末）如图，//，，EF平分，，垂足为点H，求的度数．
22．（2022七下·惠东期末）如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC=∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出符合题意图形，并解答）．
23．（2022七下·顺平期末）如图，BC//DE，CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线．请完成以下过程．
（1）请你猜想∠1与∠2的数量关系是 ．
（2）完成以下推理过程：
∵（已知），
∴∠ACB=∠ ▲ （ ）．
又∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线（已知），
∴，∠4= ▲ （ ）．
∴∠3=∠4（等量代换），
∴// ▲ （ ）．
∴∠1=∠2（ ）．
24．（2022七下·雷州期末）如图所示，已知射线，，、在上，且满足，平分，根据上述条件，解答下列问题：
（1）证明：；
（2）求的度数；
（3）若平行移动，那么的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由．
25．（2022七下·石城期末）已知：如图，直线，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点.
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系.
（2）若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数.
（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连结EG，且有∠CEG=∠CEM，给出下列两个结论：
①的值不变；
②∠GEN－∠BDF的值不变.
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？讲求出不变的值是多少.
26．（2022七下·前进期末）七年级同学解决平行线问题时，遇到这样的问题，请你帮忙解决：已知AB∥CD，
（1）如图1，猜想∠AEC，∠BAE，∠DCE之间有什么数量关系不必说明理由；
（2）如图2，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=40°，∠ABC=50°，求∠BED的度数；
（3）将图（2）中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，∠FAD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请直接写出∠BED的度数（用含m，n的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵ABCD，
∴∠EMB=，
∵∠EMB=∠E+∠EFB，
∴∠E=∠EMB-∠EFB=70°-31°=39°，
故答案为：C．
【分析】先利用平行线的性质可得∠EMB=，再利用三角形外角的性质可得∠E=∠EMB-∠EFB=70°-31°=39°。
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长AE交CD于点F，
∵，，
∴∠1+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠1=180°-70°=110°，
∵∠2是△DEF的外角，
∴∠3+∠AFD=∠2，
∴∠3=∠2-∠AFD=140°-110°-30°．
故答案为：B
【分析】延长AE交CD于点F，利用平行线的性质可得∠ACD=180°-∠1=180°-70°=110°，再利用三角形的外角的性质可得∠3=∠2-∠AFD=140°-110°-30°。
3．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵直线∥，
∴∠1+∠BAD=180°，
∵AC⊥AB于点A，∠1=34°，
∴∠2=180° 90° 34°=56°，
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质可得∠1+∠BAD=180°，再结合∠CAB=90°，可得∠2=180° 90° 34°=56°。
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1=42°，
∴∠3=∠1=42°，
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠2=48°．
故答案为：C．
【分析】由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）得∠3=∠1=42°，由题意得∠4=90°，再结合平角即可求出∠2=48°.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：设∠2的同位角为∠3，如图，
∵，
∴∠2=∠3，
∵∠3+∠1=180°，∠1=130°，
∴∠3=50°，
∴∠2=50°，
故答案为：C．
【分析】根据邻补角的定义求出∠3的度数，再根据二直线平行，同位角相等，求∠2度数即可.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】 【解答】解：如图，
∵∠EDF=90°，
∴∠3=∠EDF-∠1=90°-28°=62°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=62°，
故答案为：B.
【分析】根据角的和差关系求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2的度数，即可解答.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，且，
∴∠BFE=∠DEF=22°，
∴在图a中，∠CFE=180°-∠BFE=158°，
∴在图b中，∠BFC=158°-22°=136°，
∴在图c中，∠CFE=136°-22°=114°，
故答案为：B．
【分析】根据二直线平行，内错角相等，求出∠BFE的度数，再根据邻补角的性质求出∠CFE的度数，然后根据折叠的性质和角的和差关系求∠BFC、∠CFE度数即可.
8．【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过F点作FG∥AB，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，即．
故答案为：A.
【分析】过F点作FG∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得FG∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠BFG=∠ABF，∠DFG+∠CDF=180°，根据垂直的概念可得∠BFD=90°，由角平分线的概念可得∠ABE=2∠ABF，则∠BFG+∠DFG+∠CDF=∠ABF+180°，据此求解.
9．【答案】95
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】如图，
∵∠1=85°，
∴∠3=180°-∠1=180°-85°=95°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=95°．
故答案是：95．
【分析】先利用邻补角求出∠3的度数，再利用平行线的性质可得∠2=∠3=95°。
10．【答案】54°
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF=180° ∠1=180° 72°=108°
∠2=∠BEG，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠BEF=×108°=54°
∴∠2=∠BEG=54°.
故答案为：54°.
【分析】先利用平行线的性质求出∠2=∠BEG，利用角平分线的定义可得∠BEG=∠BEF=×108°=54°，从而可得∠2=∠BEG=54°。
11．【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵作业本上两直线平行线，
∴∠3=，
由三角板的内角知∠2+∠3=60°，
∴∠2=．
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质可得∠3=，再利用角的运算可得∠2=。
12．【答案】13
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴KH∥CD，
∴∠KFD=∠FKH=42°，
∵AB∥CD，
∴AB∥KH，
∴∠BEK=∠EKH=68°，
∴∠EKF=∠EKH+∠FKH=110°，
∵平分，
∴∠EKH=55°，
∴∠GKH=∠EKH-∠EKG=13°．
故答案为：13
【分析】由可得KH∥CD，根据平行线的性质及判定可得∠KFD=∠FKH=42°，AB∥KH∥CD，再根据平行线的性质可得∠BEK=∠EKH=68°，从而求出∠EKF=∠EKH+∠FKH=110°，由角平分线的定义可得∠EKH=55°，从而得出∠GKH=∠EKH-∠EKG=13°．
13．【答案】64°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
故答案为64°
【分析】由平行线的性质可得=32°，由折叠的性质可得=32°，根据三角形外角的性质可得，继而得解.
14．【答案】55
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD⊥AC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55．
【分析】先利用平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝35°，再利用三角形的内角和求出∠ACD＝90°﹣35°＝55°即可。
15．【答案】40
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵EG是∠AEF的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠2+∠4=120°，
∴2∠3+∠3=120°，
∴∠3=40°，
故答案为：40．
【分析】先利用平行线的性质和角平分线的定义求出，再结合∠2+∠4=120°，可得2∠3+∠3=120°，再求出∠3=40°即可。
16．【答案】或或
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：当OC∥AB时，如图，
∴∠BEO=∠COD=90°，
∴∠B+∠EOB=90°，
∵∠B=30°，
∴∠EOB=90°-∠B=60°，
∴∠COB=∠COD+∠EOB=90°+60°=150°；
当CD∥OB时，如图，
∴∠DOB=∠D=45°，
∴∠COB=∠COD+∠DOB=90°+45°=135°；
当CD∥AB时，如图，
∴∠AFO=∠D=45°，
∵∠AFO=∠B+∠BOF，∠B=30°，
∴∠DOB=15°，
∴∠COB=∠COD+∠DOB=90°+15°=105°；
综上所述，∠COB的度数为150°或135°或105°．
故答案为：150°或135°或105°
【分析】分三种情况：①当OC∥AB时，②当CD∥OB时，③当CD∥AB时，再分别画出图形，利用平行线的性质和角的运算求解即可。
17．【答案】解：∠AED与∠C的大小关系是∠AED＝∠C．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∠1＝∠DFH（对顶角相等），
∴∠2+∠DFH＝180°，
∴EH∥AB（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由对顶角相等得∠1＝∠DFH，由等量代换求得∠2＋∠DFH＝180°，根据同旁内角互补两直线平行，可判定EH∥AB，再根据二直线平行，内错角相等得∠3＝∠ADE，由等量代换求得∠B＝∠ADE，根据同位角相等，两直线平行，可判定DE∥BC，最后根据二直线平行，同位角相等得∠AED＝∠C．
18．【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝∠EFC＝90°．
∴BDEF．
∴∠2＋∠DBE ＝180°．
∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠1＝∠DBE．
∴DGBC．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】先求出 BDEF，再求出∠1＝∠DBE，最后证明即可。
19．【答案】证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠BAC=90°（垂直的定义），
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠4+∠BAC=180°（平角定义），
∴∠1+∠4=180°-∠BAC=90°，
∵AC平分∠DAF（已知），
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∴∠3=∠4（等角的余角相等），
∵a∥b（已知），
∴∠4=∠5（两直线平行，内错角相等），
∴∠3=∠5（等量代换）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定的方法求解即可。
20．【答案】解：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（ 对顶角相等 ），
∴∠2=∠3（等量代换），
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等），
又∵∠C=∠D（已知），
∴∠D=∠ABD（等量代换），
∴AC∥DF（ 内错角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
21．【答案】解：∵，
∴，
∵EF平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
22．【答案】（1）解：平行．
如图①．
∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．
又∵∠B=∠D=120°，∴∠D+∠A=180°，∴AB∥CD；
（2）解：如图②．
∵AD∥BC，∠B=∠D=120°，∴∠DAB=60°．
∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，∴∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE，
∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=（∠BAE+∠DAE）=∠DAB=30°；
（3）解：①如图3，当点E在线段CD上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：3；
②如图4，当点E在DC的延长线上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：1．
综上所述：∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定与性质求解即可；
（2）先求出 ∠DAB=60°，再求出∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE， 最后计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用平行线的性质求解即可。
23．【答案】（1）∠1=∠2
（2）解：∵（已知），∴∠ACB=∠AED（两直线平行，同位角相等）．又∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线（已知），∴ ，（角平分线的定义）．∴∠3=∠4（等量代换），∴CD（_同位角相等，两直线平行_），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
24．【答案】（1）证明：∵，，∴，∴，∴；
（2）解：∵，∴平分，又平分，∴；
（3）解：不变．∵，∴，，∴，又∵，∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得，从而得到；
（2）利用角平分线的定义及角的运算可得；
（3）先求出，再求出即可。
25．【答案】（1）解：∠C=∠1+∠2．
理由：如图1，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴CD∥MN，
∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2．
（2）解：∵∠AEN=∠A=30°，
∴∠MEC=30°，
由（1）可得，∠C=∠MEC+∠PDC=90°，
∴∠PDC=90°-∠MEC=60°，
∴∠BDF=∠PDC=60°；
（3）解：结论①的值不变是正确的，
设∠CEG=∠CEM=x，则∠GEN=180°-2x，
由（1）可得，∠C=∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP=90°-∠CEM=90°-x，
∴∠BDF=90°-x，
∴==2（定值）， 即的值不变，值为2．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）过C作CD∥PQ，利用平行线的性质可得∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，再利用角的运算和等量代换可得∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2；
（2）先求出∠MEC=30°，再求出∠PDC=90°-∠MEC=60°，即可得到∠BDF=∠PDC=60°；
（3）设∠CEG=∠CEM=x，则∠GEN=180°-2x， 求出∠BDF=90°-x，再代入计算可得==2。
26．【答案】（1）解：∠AEC=∠BAE+∠DCE，理由如下：如图1，作EF∥AB，则有EF∥CD，
∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE，∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠DCE；
（2）解：如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD=40°，∴∠ADC=∠FAD=40°，∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠ADC=20°，∵BE平分∠ABC，∠ABC=50°，∴∠ABE=∠ABC=25°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠BEH=∠ABE=25°，∠DEH=∠EDC=20°，∴∠BED=∠BEH+∠DEH=45°；
（3）解：∠BED=180°-n°+m°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：(3)过点E作EG∥AB，如图：
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=∠FAD=m°，∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=m°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠BEG=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEG=m°，∴∠BED=∠BEG+∠DEG=180°-n°+m°．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得出结论；
（2）过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得出结论；
（3）过点E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得出结论。
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