2022-2023学年初数北师大版八年级下册1. 2 直角三角形 同步必刷题
一、单选题
1．（2022八上·德惠期末）下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．中，
B．中，，
C．中，
D．中，三边之比为
2．（2022八上·南宁期末）如图，在中，，是高，能直接判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·瑞安期中）如下图，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ）
A．AC=DF，BC=EF B．∠A=∠D，AB=DE
C．AC=DF，AB=DE D．∠B=∠E，BC=EF
4．（2022八上·上思月考）如图，在△ABC中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2022八上·沙坪坝开学考）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的度数和为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
6．（2021八上·农安期末）如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．无法计算
7．（2021八上·下城期中）下列命题：①成轴对称的两个三角形是全等三角形；②当a＞b时，若c＞0，则ac＞bc；③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；④内错角相等，其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022八上·兴平期中）如图，是直角三角形，点C在数轴上对应的数为，目，，若以点C为圆心，为半径画弧交数轴于点M，则A，M两点间的距离为（ ）
A．0.4 B． C． D．
9．（2022八上·电白期中）在北京召开的国际数学家大会会标，它是有四个全等的直角三角形拼成的一个大正方形（如图所示），若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（ ）
A．13 B．19 C．25 D．169
10．（2022八上·杭州期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝2，BC＝3，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
11．（2022八上·德惠期末）已知直角三角形两直角边长分别为3和5，则斜边长为 ．
12．（2022八上·大丰期中）如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是 .
13．（2022八上·东阳期中）如图，梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，若AD＝3，BC＝7，则BD的长为 .
14．（2022八上·兴平期中）如图，点D在内，，，，，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（2022八上·新昌月考）如图，中，，，，是的中点，是上一动点，则的最小值为 .
16．（2022八上·衢州期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝4cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长是 ．
17．（2022八上·秦都月考）已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的形状是 ．
18．（2022八上·温州期中）如图，在中，，且是边上的中线，于若，，则的长为 .
19．（2022八上·杭州期中）在同一平面内，有相互平行的三条直线a，b，c，且a，b之间的距离为1，b，c之间的距离是2，若等腰Rt△ABC的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，∠BAC＝90°，在△ABC的面积是 .
20．（2022八上·罗湖期中）如图，已知点是长方形中边上一点，将四边形沿直线折叠，折叠后点的对应点为，点的对应点为，若点在上，且，，则 ．
三、解答题
21．（2022八上·兴平期中）如图，正方形网格中的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上，判断的形状，并说明理由．
22．（2022八上·沈北新期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．
23．（2023八上·榆林期末）如图，在中，是上一点，若，，，.
（1）求证：；
（2）求的面积.
24．（2022七上·咸阳月考）如图，在中，.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若点为线段上一点，连接BP，且BP=CP，求AP的长.
25．（2022八上·大丰期中）如图所示四边形，已知，，，，，求：
（1）的长；
（2）该四边形的面积.
26．（2022八上·青田期中）如图，中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、中，，设，
则：，解得：，
∴，
∴不是直角三角形，符合题意；
B、中，，则：，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C、中，，则：，∴是直角三角形，不符合题意；
D、中，三边之比为，
设三角形的三边长分别为：，
∵，
∴是直角三角形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】证明：∵AD⊥BC
∴和是直角三角形，
∵，AD=AD（公共边），
所以≌（HL）
故答案为：C.
【分析】两个三角形中斜边AB=AC，AD是公共直角边，故利用HL即可直接判断出△ABD≌△ACD.
3．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵在两个直角三角形中AB、DE是斜边，
∴只有C中，AC=DF、AB=DE符合.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的判定定理“HL”：即两个直角三角形的斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等进行判断.
4．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴=8.
故答案为：C.
【分析】先证出，得出，即可得出=8.
5．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∠ABC+∠DFE＝90°，理由如下：
由题意可得：△ABC与△DEF均是直角三角形，且BC＝EF，AC＝DF．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC＝∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠ABC+∠DFE＝90°.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：△ABC与△DEF均是直角三角形，且BC＝EF，AC＝DF，证明Rt△ABC≌Rt△DEF，得到∠ABC＝∠DEF，然后结合∠DEF+∠DFE＝90°进行解答.
6．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质
【解析】【解答】解： 正方形ABCD，
AB＝4，
故答案为：C
【分析】先利用“HL”证明，再利用全等的性质可得，再利用等量代换可得，最后利用正方形的性质求解即可。
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；轴对称的性质；直角三角形斜边上的中线；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：①成轴对称的两个三角形是全等三角形为真命题，其逆命题为假命题，不符合题意；
②当a＞b时，若c＞0，则ac＞bc为真命题，其逆命题也为真命题，符合题意；
③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半为真命题，其逆命题为真命题，符合题意；
④内错角相等为假命题，其逆命题也为假命题，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.
8．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB=1，AC=3，OA=1
∴，
∵AC=1-（-2）=3，
∴A，M之间的距离为.
故答案为：C
【分析】利用勾股定理求出CB的长，根据已知条件可得到CM的长，同时可求出AC的长，然后根据AM=CM-AC，代入计算求出AM的长.
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边为c，
∵大正方形的面积是13，
∴c2=13，
∴a2+b2=c2=13，
∵直角三角形的面积是=3，
又∵直角三角形的面积是ab=3，
∴ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25．
故答案为：C．
【分析】设直角三角形的斜边为c，利用勾股定理可得a2+b2=c2=13，再结合ab=3，最后求出（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25即可。
10．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，
∴∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠BEC＝∠FCE，
∴∠GEC＝∠FCE，
∴CF＝EF，
设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，
在Rt△CFG中，FG2+CG2＝CF2，
∴x2+32＝（x+2）2，
解得x＝ ，
∴FG＝ .
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质可得∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，由矩形以及平行线的性质可得∠BEC＝∠FCE，则∠GEC＝∠FCE，推出CF＝EF，设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，然后在Rt△CFG中，利用勾股定理计算即可.
11．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别是3和5，
∴斜边长为，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求出斜边长即可。
12．【答案】336
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据正方形面积与边长的关系可知，
图中直角三角形的短直角边的平方为64，斜边的平方为400，
根据勾股定理，该直角三角形的长直角边的平方=，
所以字母M所代表的正方形面积是336.
故答案为：336.
【分析】根据正方形的性质可得：图中直角三角形的短直角边的平方为64，斜边的平方为400，结合勾股定理可得另一直角边的平方，进而可得字母M所代表的正方形的面积.
13．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点D，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形.
梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，
∴AB＝CD，∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，
∴AB＝AD＝3，
∵AD∥CB，AE⊥CB，DF⊥BC，
∴AD＝DF，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∵四边形AEFD是矩形，
∴AD＝EF＝3，
∴BE＝CF＝ （7-3）＝2，
∴AE＝DF＝ ，
∴BD＝ ，
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥BC于点D，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，由等腰梯形的性质可得AB＝CD，根据平行线的性质可得∠ADB＝∠DBC， 由角平分线的概念可得∠ABD＝∠DBC，推出
AB＝AD=3， 证明Rt△AEB≌Rt△DFC，得到BE＝CF， 由矩形的性质可得AD＝EF＝3，然后求出BE，再结合勾股定理计算即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△BDC中
，
∵，
∴，
∴∠ACB=90°，
∴S阴影部分=.
故答案为：
【分析】利用勾股定理求出BC的长；再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形；然后根据阴影部分的面积等于△ABC的面积减去△BDC的面积，利用三角形的面积公式可求出阴影部分的面积.
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点C关于AB的对称点，连接，如图：
此时有最小值：，
∵，，，
∴，
∵点D是AC的中点，点是点C的对称点，
∴CD=，，
∴，
由勾股定理，得：
，
∴的最小值为：.
故答案为：.
【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，此时有最小值C′D=CP+PD，根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=AC=2，根据中点的概念可得CD=AC=2，根据轴对称的性质可得BC′=BC=2，则C′C=4，再利用勾股定理求解即可.
16．【答案】3cm
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴BD=AD，
设CD=x，则BD=AD=8-x，
在Rt△ADC中
DC2+AC2=AD2，
∴x2+42=（8-x）2
解之：x=3，
∴CD=3cm.
故答案为：3cm
【分析】利用折叠的性质可证得BD=AD，设CD=x，可表示出AD的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CD的长.
17．【答案】直角三角形
【知识点】二次根式有意义的条件；勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得：，
∵，
∴三角形为直角三角形.
故答案为：直角三角形.
【分析】根据偶次幂以及绝对值的非负性、二次根式的定义可得a-3=0、b-4=0、c-5=0，求出a、b、c的值，然后结合勾股定理逆定理进行判断.
18．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在 中， ，且 是 边上的中线，
， ，
在 中，由勾股定理得，
，
，
，
，
故答案为： .
【分析】根据等腰三角形的三线合一得BD=CD=3，AD⊥BC，根据勾股定理算出AD的长，进而根据等面积法列出方程，求解可得DE的长.
19．【答案】5
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥a于点E，过点C作CF⊥a于点F，
∵a，b之间的距离是1，b，c之间的距离是2，
∴BE＝3，CF＝1，
∵∠BAC＝90°，BE⊥AF
∴∠BAE+∠CAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°
∴∠CAF＝∠BAE，且AB＝AC，∠AEB＝∠AFC＝90°
∴△ABE≌△CAF（AAS）
∴AE＝CF＝1，
∴在Rt△ABE中，AB＝＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝
∴S△ABC＝ AB AC＝5
故答案为：5.
【分析】过点B作BE⊥a于点E，过点C作CF⊥a于点F，由题意可得BE=3，CF=1，根据同角的余角相等可得∠CAF＝∠BAE，利用AAS证明△ABE≌△CAF，得到AE＝CF＝1，根据勾股定理可得AB，然后根据三角形的面积公式进行计算.
20．【答案】5
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴∠D=∠C=∠DAB=90°，AB=DC=10，AD=BC=8，
根据折叠的性质可得：∠D'=∠D=90°，∠C'=∠C=90°，BC'=BC=8，D'C'=DC=10，
∴，
∴AD'=D'C'-AC'=10-6=4，
设DE=D'E=x，则AE=8-x，
∴；
∴x=3，
∴AE=5，
故答案为：5.
【分析】利用勾股定理先求出AC'=6，再求出AD'的值，最后计算求解即可。
21．【答案】解：是直角三角形．
理由：由勾股定理，得；
；
．
∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】利用勾股定理求出AB，BC，AC的长，再求出AB2，BC2，AC2，由此可得到AB2+BC2=AC2，然后利用勾股定理的逆定理可证得结论.
22．【答案】解：因为AB=AD=8，∠A=60°，
所以△ABD为等边三角形，BD=8．
因为∠ADC=150°，∠ADB=60°，
所以∠BDC=90°．
因为四边形ABCD的周长为32，
所以BC+CD=32-2×8=16．
因为，
所以．
所以．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】先求出△ABD为等边三角形，BD=8，再求出∠BDC=90°，结合四边形ABCD的周长为32，可得BC+CD=32-2×8=16，再根据，可得，最后求出即可。
23．【答案】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ 的面积为 .
∴ 的面积为60.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，先求出BD2+AD2和AB2的值；再证明BD2+AD2=AB2，由此可证得结论.
（2）利用勾股定理求出CD的长，再利用三角形的面积公式求出△ADC的面积.
24．【答案】（1）解：在 中， ，
因为 ，
所以 ，
所以 是直角三角形，且 .
（2）解：设 ，则 .
在 中，因为 ，所以 ，
解得 ，
所以 的长为3.5
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）分别求出AB2+AC2和BC2的值，再证明AB2+AC2=BC2，利用勾股定理的逆定理可证得结论.
（2）设AP=x，可表示出BP，CP的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AP的长.
25．【答案】（1）解：∵△ABC中，，，，
∴；
（2）解：，
∵在中， ，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴.
∴.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，直接利用勾股定理可得AC的值；
（2）由勾股定理逆定理可知△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.
26．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴.
即.
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）可以直接利用HL判断出Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）根据等腰直角三角形的性质得∠BAC=45°，进而根据∠BAE=∠BAC-∠EAC算出∠BAE的度数，根据含30°角直角三角形的性质可得BE、AB的长，根据全等三角形对应边相等得BF=BE=1，进而根据AF=AB+BF即可算出答案.
1 / 12022-2023学年初数北师大版八年级下册1. 2 直角三角形 同步必刷题
一、单选题
1．（2022八上·德惠期末）下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．中，
B．中，，
C．中，
D．中，三边之比为
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、中，，设，
则：，解得：，
∴，
∴不是直角三角形，符合题意；
B、中，，则：，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C、中，，则：，∴是直角三角形，不符合题意；
D、中，三边之比为，
设三角形的三边长分别为：，
∵，
∴是直角三角形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
2．（2022八上·南宁期末）如图，在中，，是高，能直接判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】证明：∵AD⊥BC
∴和是直角三角形，
∵，AD=AD（公共边），
所以≌（HL）
故答案为：C.
【分析】两个三角形中斜边AB=AC，AD是公共直角边，故利用HL即可直接判断出△ABD≌△ACD.
3．（2021八上·瑞安期中）如下图，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ）
A．AC=DF，BC=EF B．∠A=∠D，AB=DE
C．AC=DF，AB=DE D．∠B=∠E，BC=EF
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵在两个直角三角形中AB、DE是斜边，
∴只有C中，AC=DF、AB=DE符合.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的判定定理“HL”：即两个直角三角形的斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等进行判断.
4．（2022八上·上思月考）如图，在△ABC中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴=8.
故答案为：C.
【分析】先证出，得出，即可得出=8.
5．（2022八上·沙坪坝开学考）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的度数和为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∠ABC+∠DFE＝90°，理由如下：
由题意可得：△ABC与△DEF均是直角三角形，且BC＝EF，AC＝DF．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC＝∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠ABC+∠DFE＝90°.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：△ABC与△DEF均是直角三角形，且BC＝EF，AC＝DF，证明Rt△ABC≌Rt△DEF，得到∠ABC＝∠DEF，然后结合∠DEF+∠DFE＝90°进行解答.
6．（2021八上·农安期末）如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．无法计算
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质
【解析】【解答】解： 正方形ABCD，
AB＝4，
故答案为：C
【分析】先利用“HL”证明，再利用全等的性质可得，再利用等量代换可得，最后利用正方形的性质求解即可。
7．（2021八上·下城期中）下列命题：①成轴对称的两个三角形是全等三角形；②当a＞b时，若c＞0，则ac＞bc；③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；④内错角相等，其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；轴对称的性质；直角三角形斜边上的中线；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：①成轴对称的两个三角形是全等三角形为真命题，其逆命题为假命题，不符合题意；
②当a＞b时，若c＞0，则ac＞bc为真命题，其逆命题也为真命题，符合题意；
③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半为真命题，其逆命题为真命题，符合题意；
④内错角相等为假命题，其逆命题也为假命题，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.
8．（2022八上·兴平期中）如图，是直角三角形，点C在数轴上对应的数为，目，，若以点C为圆心，为半径画弧交数轴于点M，则A，M两点间的距离为（ ）
A．0.4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB=1，AC=3，OA=1
∴，
∵AC=1-（-2）=3，
∴A，M之间的距离为.
故答案为：C
【分析】利用勾股定理求出CB的长，根据已知条件可得到CM的长，同时可求出AC的长，然后根据AM=CM-AC，代入计算求出AM的长.
9．（2022八上·电白期中）在北京召开的国际数学家大会会标，它是有四个全等的直角三角形拼成的一个大正方形（如图所示），若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（ ）
A．13 B．19 C．25 D．169
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边为c，
∵大正方形的面积是13，
∴c2=13，
∴a2+b2=c2=13，
∵直角三角形的面积是=3，
又∵直角三角形的面积是ab=3，
∴ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25．
故答案为：C．
【分析】设直角三角形的斜边为c，利用勾股定理可得a2+b2=c2=13，再结合ab=3，最后求出（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25即可。
10．（2022八上·杭州期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝2，BC＝3，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，
∴∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠BEC＝∠FCE，
∴∠GEC＝∠FCE，
∴CF＝EF，
设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，
在Rt△CFG中，FG2+CG2＝CF2，
∴x2+32＝（x+2）2，
解得x＝ ，
∴FG＝ .
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质可得∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，由矩形以及平行线的性质可得∠BEC＝∠FCE，则∠GEC＝∠FCE，推出CF＝EF，设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，然后在Rt△CFG中，利用勾股定理计算即可.
二、填空题
11．（2022八上·德惠期末）已知直角三角形两直角边长分别为3和5，则斜边长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别是3和5，
∴斜边长为，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求出斜边长即可。
12．（2022八上·大丰期中）如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是 .
【答案】336
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据正方形面积与边长的关系可知，
图中直角三角形的短直角边的平方为64，斜边的平方为400，
根据勾股定理，该直角三角形的长直角边的平方=，
所以字母M所代表的正方形面积是336.
故答案为：336.
【分析】根据正方形的性质可得：图中直角三角形的短直角边的平方为64，斜边的平方为400，结合勾股定理可得另一直角边的平方，进而可得字母M所代表的正方形的面积.
13．（2022八上·东阳期中）如图，梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，若AD＝3，BC＝7，则BD的长为 .
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点D，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形.
梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，
∴AB＝CD，∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，
∴AB＝AD＝3，
∵AD∥CB，AE⊥CB，DF⊥BC，
∴AD＝DF，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∵四边形AEFD是矩形，
∴AD＝EF＝3，
∴BE＝CF＝ （7-3）＝2，
∴AE＝DF＝ ，
∴BD＝ ，
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥BC于点D，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，由等腰梯形的性质可得AB＝CD，根据平行线的性质可得∠ADB＝∠DBC， 由角平分线的概念可得∠ABD＝∠DBC，推出
AB＝AD=3， 证明Rt△AEB≌Rt△DFC，得到BE＝CF， 由矩形的性质可得AD＝EF＝3，然后求出BE，再结合勾股定理计算即可.
14．（2022八上·兴平期中）如图，点D在内，，，，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△BDC中
，
∵，
∴，
∴∠ACB=90°，
∴S阴影部分=.
故答案为：
【分析】利用勾股定理求出BC的长；再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形；然后根据阴影部分的面积等于△ABC的面积减去△BDC的面积，利用三角形的面积公式可求出阴影部分的面积.
15．（2022八上·新昌月考）如图，中，，，，是的中点，是上一动点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点C关于AB的对称点，连接，如图：
此时有最小值：，
∵，，，
∴，
∵点D是AC的中点，点是点C的对称点，
∴CD=，，
∴，
由勾股定理，得：
，
∴的最小值为：.
故答案为：.
【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，此时有最小值C′D=CP+PD，根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=AC=2，根据中点的概念可得CD=AC=2，根据轴对称的性质可得BC′=BC=2，则C′C=4，再利用勾股定理求解即可.
16．（2022八上·衢州期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝4cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长是 ．
【答案】3cm
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴BD=AD，
设CD=x，则BD=AD=8-x，
在Rt△ADC中
DC2+AC2=AD2，
∴x2+42=（8-x）2
解之：x=3，
∴CD=3cm.
故答案为：3cm
【分析】利用折叠的性质可证得BD=AD，设CD=x，可表示出AD的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CD的长.
17．（2022八上·秦都月考）已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的形状是 ．
【答案】直角三角形
【知识点】二次根式有意义的条件；勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得：，
∵，
∴三角形为直角三角形.
故答案为：直角三角形.
【分析】根据偶次幂以及绝对值的非负性、二次根式的定义可得a-3=0、b-4=0、c-5=0，求出a、b、c的值，然后结合勾股定理逆定理进行判断.
18．（2022八上·温州期中）如图，在中，，且是边上的中线，于若，，则的长为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在 中， ，且 是 边上的中线，
， ，
在 中，由勾股定理得，
，
，
，
，
故答案为： .
【分析】根据等腰三角形的三线合一得BD=CD=3，AD⊥BC，根据勾股定理算出AD的长，进而根据等面积法列出方程，求解可得DE的长.
19．（2022八上·杭州期中）在同一平面内，有相互平行的三条直线a，b，c，且a，b之间的距离为1，b，c之间的距离是2，若等腰Rt△ABC的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，∠BAC＝90°，在△ABC的面积是 .
【答案】5
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥a于点E，过点C作CF⊥a于点F，
∵a，b之间的距离是1，b，c之间的距离是2，
∴BE＝3，CF＝1，
∵∠BAC＝90°，BE⊥AF
∴∠BAE+∠CAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°
∴∠CAF＝∠BAE，且AB＝AC，∠AEB＝∠AFC＝90°
∴△ABE≌△CAF（AAS）
∴AE＝CF＝1，
∴在Rt△ABE中，AB＝＝，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝
∴S△ABC＝ AB AC＝5
故答案为：5.
【分析】过点B作BE⊥a于点E，过点C作CF⊥a于点F，由题意可得BE=3，CF=1，根据同角的余角相等可得∠CAF＝∠BAE，利用AAS证明△ABE≌△CAF，得到AE＝CF＝1，根据勾股定理可得AB，然后根据三角形的面积公式进行计算.
20．（2022八上·罗湖期中）如图，已知点是长方形中边上一点，将四边形沿直线折叠，折叠后点的对应点为，点的对应点为，若点在上，且，，则 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴∠D=∠C=∠DAB=90°，AB=DC=10，AD=BC=8，
根据折叠的性质可得：∠D'=∠D=90°，∠C'=∠C=90°，BC'=BC=8，D'C'=DC=10，
∴，
∴AD'=D'C'-AC'=10-6=4，
设DE=D'E=x，则AE=8-x，
∴；
∴x=3，
∴AE=5，
故答案为：5.
【分析】利用勾股定理先求出AC'=6，再求出AD'的值，最后计算求解即可。
三、解答题
21．（2022八上·兴平期中）如图，正方形网格中的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上，判断的形状，并说明理由．
【答案】解：是直角三角形．
理由：由勾股定理，得；
；
．
∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】利用勾股定理求出AB，BC，AC的长，再求出AB2，BC2，AC2，由此可得到AB2+BC2=AC2，然后利用勾股定理的逆定理可证得结论.
22．（2022八上·沈北新期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．
【答案】解：因为AB=AD=8，∠A=60°，
所以△ABD为等边三角形，BD=8．
因为∠ADC=150°，∠ADB=60°，
所以∠BDC=90°．
因为四边形ABCD的周长为32，
所以BC+CD=32-2×8=16．
因为，
所以．
所以．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】先求出△ABD为等边三角形，BD=8，再求出∠BDC=90°，结合四边形ABCD的周长为32，可得BC+CD=32-2×8=16，再根据，可得，最后求出即可。
23．（2023八上·榆林期末）如图，在中，是上一点，若，，，.
（1）求证：；
（2）求的面积.
【答案】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ 的面积为 .
∴ 的面积为60.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，先求出BD2+AD2和AB2的值；再证明BD2+AD2=AB2，由此可证得结论.
（2）利用勾股定理求出CD的长，再利用三角形的面积公式求出△ADC的面积.
24．（2022七上·咸阳月考）如图，在中，.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若点为线段上一点，连接BP，且BP=CP，求AP的长.
【答案】（1）解：在 中， ，
因为 ，
所以 ，
所以 是直角三角形，且 .
（2）解：设 ，则 .
在 中，因为 ，所以 ，
解得 ，
所以 的长为3.5
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）分别求出AB2+AC2和BC2的值，再证明AB2+AC2=BC2，利用勾股定理的逆定理可证得结论.
（2）设AP=x，可表示出BP，CP的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AP的长.
25．（2022八上·大丰期中）如图所示四边形，已知，，，，，求：
（1）的长；
（2）该四边形的面积.
【答案】（1）解：∵△ABC中，，，，
∴；
（2）解：，
∵在中， ，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴.
∴.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，直接利用勾股定理可得AC的值；
（2）由勾股定理逆定理可知△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.
26．（2022八上·青田期中）如图，中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴.
即.
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）可以直接利用HL判断出Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）根据等腰直角三角形的性质得∠BAC=45°，进而根据∠BAE=∠BAC-∠EAC算出∠BAE的度数，根据含30°角直角三角形的性质可得BE、AB的长，根据全等三角形对应边相等得BF=BE=1，进而根据AF=AB+BF即可算出答案.
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