【核心素养目标】1.3.1线段垂直平分线 教学设计

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1.3.1线段垂直平分线教学设计
课题 1.3.1线段垂直平分线 单元 1 学科 数学 年级 八
教材分析 本节课是北师大版九年义务教育九年级教科书数学上册第一章第三节线段的垂直平分线的第一课时内容。学生对有关定理的内容已经有所了解，本节课是证明（一）的继续，通过对定理进行规范的证明，并引出逆定理，复习了逆命题的知识。证明的过程展现了如何将以前说理的语言转换成数学语言，进行了严密的逻辑推理，是学生以后证明的一个基础。
核心素养分析 经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力，证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。
学习 目标 1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理； 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力.
重点 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.
难点 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用和证明.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置 学生思考回答问题。 通过现实问题，激发学生兴趣。引出线段垂直平分线，使学生回忆探索过程，其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用，紧接着让学生自主思考证明的思路和方法.
讲授新课 我们曾经利用折纸的方法得到: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 你能证明这一结论吗 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 能证明吗？ 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为 C，且AC=BC，P是MN上的任意一点. 求证：PA = PB. 证明：∵ MN⊥AB， ∴ ∠PCA=∠PCB=90 ° . ∵ AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）. ∴ PA=PB（全等三角形的对应边相等）. 【总结归纳】 线段垂直平分线的性质定理： 文字语言：线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离相等． 几何语言： ∵PC垂直平分AB（AC=BC，PC⊥AB） ∴PA=PB. 思考：你能写出“定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗 逆命题: 到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗 如果是, 请你证明它. 如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O. ∵PO⊥AB， ∴∠POA=∠POB=90°. 在Rt△PAO和Rt△PBO中， PA=PB， PO=PO， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）. ∴AO=BO. ∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°, ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 【总结归纳】 线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 符号语言： ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. （PO是线段AB的垂直平分线） 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 注意：1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 条件：点在线段的垂直平分线上； 结论：这个点到线段两端点的距离相等． 表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P 在l 上，则AP＝BP. 作用：可用来证明两线段相等． 典例精析 已知：如图 ，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC 内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 方法一： 证明：∵ AB = AC， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）. 方法二： 证明：延长AO交BC于点D， ∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ， ∴△ABO≌△ACO（SSS）. ∴∠BAO=∠CAO， ∵AB=AC，∴AO⊥BC．∵OB＝OC ，OD＝OD ， ∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）. ∴BD＝CD. ∴直线AO垂直平分线段BC. 学生自己思考证明的思路和方法，并指名上台运用白板讲解证明过程。 学生在教师的引导下证明结论。 学生思考回答,画出图形，写出已知、求证。独立思考后小组交流不同的证明方法。学生叙述并用符号语言表示判定定理。 学生根据所学知识做例题。 让学生自己思考证明的思路和方法，并尝试口述证明过程。 通过严格的推理证明,让学生掌握几何证明题的步骤,并进一步培养学生的合情推理意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系. 引导学生探索写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题,锻炼学生的思维能力和交流能力. 通过例题的讲解,让学生理解定理,并且规范地书写证明格式.
课堂练习 1.如图，在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　) A．AB＝AD　　　　　　B．AC 平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC ≌ △DEC 2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(　　) A．三条高的交点　　 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 3.在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝__________. 4.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝________． 5. 已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点. 求证∠ECF＝∠EDF. 6.如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D. (1)若△BCD的周长为8，求BC的长； (2) 若BC＝4，求△BCD的周长． 学生定时训练，自主解答，老师订正 通过练习调动学生学习的积极性，使学生思维处于积极状态，达到了培养学生思维的灵活性和创造性，解决问题的目的。
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生归纳本节所学内容，并体验核心素养的形成。 训练学生总结归纳能 力；升华知识，拓展知识面，开阔思维。
板书 1.3.1线段垂直平分线 1.线段垂直平分线的性质 2.线段垂直平分线的判定
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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