【核心素养目标】1.3.2线段垂直平分线 教学设计

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1.3.2线段垂直平分线教学设计
课题 1.3.2线段垂直平分线 单元 1 学科 数学 年级 八
教材分析 本节课是北师大版义务教育教科书八年级下册第一章《三角形的证明》第三节《线段的垂直平分线》第二课时的内容。在知识结构上，本节课是以全等三角形和等腰三角形的有关性质为基础展开的，新课程标准将本课安排在这里，首先是用证明的方式将八年级上册《证明一》得到的三角形的有关结论加以验证，同时也为九年级上《证明三》学习特殊的平行四边形的相关性质提供教学依据；在能力培养上，无论是逻辑思维能力、推理论证能力，还是分析问题和解决问题的能力，都可在本课得到进一步提高。因此教材安排符合新课程标准螺旋上升的要求，也符合知识体系的要求。
核心素养分析 通过动手折纸和尺规作图的方法探索三角形三边垂直平分线的性质，让学生体验知识的生成过程，让学生积极参与数学活动，培养学生的学习兴趣。体验观察、归纳、猜想、验证的思维过程，培养数学创新意识和严密的数学思维。
学习 目标 1.三角形三边的垂直平分线 2.线段垂直平分线的作图及应用
重点 利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线;已知底边及底边上的高,能够利用直尺和圆规作出等腰三角形.
难点 能熟练运用线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ 学生思考回答问题。 通过回顾线段的垂直平分线的性质和判定，为证明三角形三边的垂直平分线的性质的探究做好铺垫。
讲授新课 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么 猜想：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。 思考：你能从理论上证明这个结论吗？ 典例精析 例2 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC. 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB（线段垂直平分线上 的点到这条 线段两个端点的距离相等） 同理，PB=PC. ∴PA=PB=PC ∴点P在线段AC的垂直平分线上 （到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上）， 即 边AC的垂直平分线经过点P. 归纳：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 追问：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点一定在三角形内部吗？ 答案：如图所示 (1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部； (2)直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边中点； (3)钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部． 议一议 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？ 所画出的三角形都全等吗？ 答：如图所示，能画出来，能画无数个，它们不一定全等 （2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？ 这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 典例精析 例3、已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作这个等腰三角形. 已知：如图，线段 a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h. 作法： （1）作线段 BC=a. （2）作线段BC的垂直平分线 l，交BC于点 D. （3）在 l 上作线段DA，使DA=h. （4）连接 AB，AC. △ABC 为所求的等腰三角形. 做一做： 已知直线 l 和 l上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P． 已知：直线l和l上一点P． 求作：PC⊥ l ． 作法： 1. 以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l 相交于点A和B． 2. 作线段AB的垂直平分线PC． 直线PC就是所求的垂线． 学生做图，并回答问题 学生在教师的引导下证明结论。 学生思考回答,画出图形， 通过思考，画图，讨论交流问题。先思考尺规作图的具体步骤，再展示规范自己的画法。 学生在教师的引导下画图，小组之间讨论。 本例题证明三线共点较难，因此教师引导学生共同完成，用一用刚好是对本性质的活用。 通过两个问题，环环相扣，引导学生水到渠成得到作等腰三角形的条件，再利用已有的基础作图。 培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂练习 1. 如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①； 步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②， 交弧①于点D； 步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H. 下列叙述正确的是(　　) A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD C．S△ABC＝BC·AH D．AB＝AD 2.如图，D 是线段AC，AB 的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD 的大小是(　　) A．10° B．20° C．30° D．40° 3.如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部,那么这个三角形是 . 4.如图,在△ABC中,点D是边AB,BC的垂直平分线交点,连接AD并延长交BC于点E,若∠AEC=3∠BAE=3α,则∠CAE=____________(用含α的式子表示). 5.如图，在△ABC 中，∠C＝60°，∠A＝40°. (1)用尺规作图：作AB 的垂直平分线，交AC 于点D，交AB 于点E (保留作图痕迹，不要求写作法和证明)； (2)求证：BD 平分∠CBA. 学生定时训练，自主解答，老师订正 通过练习调动学生学习的积极性，使学生思维处于积极状态，达到了培养学生思维的灵活性和创造性，解决问题的目的。
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生归纳本节所学内容，并体验核心素养的形成。 训练学生总结归纳能 力；升华知识，拓展知识面，开阔思维。
板书 1.3.2线段垂直平分线 1.三角形三边的垂直平分线的性质 2.尺规作图
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