人教A版（2019）高中数学必修第二册 9.2.3总体集中趋势的估计(课件共16张PPT)

(共16张PPT)
9.2.3总体集中趋势的估计
为了了解总体的情况，前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计总体的分布规律。但有时候，我们可能不太关心总体的分布规律，而更关注总体取值在某一方面的特征。
在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势。
你还记得平均数、中位数、众数是什么吗？这些统计量刻画了数据的什么特点？
新课导入
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
平均数：一组数据的算术平均数，即
1. 众数、中位数、平均数的定义
利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.
例4
由样本平均数的定义，可得
即100户居民的月均用水量的平均数为8.79t.
由中位数的定义，可得
即100户居民的月均用水量的中位数为6.8t.
因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民的月均用水量约为8.79t，其中位数约为6.6t.
解
小明用统计软件计算了100 户居民月用水量的平均数和中位数，但录入数据时把一个数据7.7录成了77. 请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较. 哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？
平均数由8.79t变为9.481t，中位数没有变化，还是6.6t.
思考
样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变；
中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变
与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感。
探究1
平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关。在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？
（1）直方图的形状是对称的，平均数和中位数应该大体上差不多
（2）直方图在右边“拖尾”，平均数大于中位数
（3）直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数
和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边.
如果一组数据的平均数和中位数相差较大，那么可以推断这组数据一定是不对称的.
如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值；反之，说明数据中不存在较大的极端值.
例5
某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示
如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用上表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.
解:为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图表示表中的数据(如右图).可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.
由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理.
众数只利用了出现次数最多的那个值的信息.众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多,但并未告诉我们它比别的数值多的程度.因此，众数只能传递数据中的信息的很少的一部分，对极端值也不敏感.
对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；
对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数.
（一）估计平均数
月均用水量/t
频率/组距
0.02
1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2
0
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.077
0.107
0.043
0.030
0.030
0.017
0.010
0.013
0.007
可以从频率分布直方图中估计平均数。平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
小长方形面积
底边中点的横坐标
(2)中位数的估计
月均用水量/t
频率/组距
0.02
1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2
0
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.077
0.107
0.043
0.030
0.030
0.017
0.010
0.013
0.007
在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积各为0.5, 即在直方图中位数左右的面积相等.
（3）众数的估计
月均用水量/t
频率/组距
0.02
1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2
0
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.077
0.107
0.043
0.030
0.030
0.017
0.010
0.013
0.007
众数在样本数据的频率分布直方图中,
就是最高矩形的中点的横坐标.
用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
平均数：平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数；
众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数
总体的各种数字特征都可以由两种途径来估计：
①直接利用样本数据； ②由频率分布直方图来估计
由频率分布直方图估计总体的集中趋势
课堂小结
平均数：平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数；
众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数
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