人教A版（2019）高中数学必修第二册 10.2事件的相互独立性(课件共28张PPT)

(共28张PPT)
10.2 事件的相互独立性
人教A版必修第二册
复习回顾
事件的关系 或运算 含义 符号表示 概率表示
包含
并事件(和事件)
交事件(积事件)
互斥(互不相容)
互为对立
A发生导致B发生
A与B至少一个发生
A与B同时发生
A与B不能同时发生
A与B有且仅有一个发生
A B
AUB或A+B
A∩B或AB
A∩B=Φ
A∩B=Φ,
AUB=Ω
P(A)≤P(B)
P(A+B)=P(A)+P(B)
-P(A∩B)
P(AB)=P(A)P(B)
P(A)+P(B)=1
复习回顾
前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质,还研究过和事件的概率计算方法.对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗
我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A、B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.
探究
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
思考
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现
在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”， 则样本空间为 Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}，包含4个等可能的样本点.
而A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}，所以AB={(1,0)}.
思考
由古典概型概率计算公式，得
于是有
P(AB)=P(A)P(B).
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
思考
试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现
在试验2中，样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，包含16个等可能的样本点.而
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}，
B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，
AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}，
所以
于是也有P(AB)=P(A)P(B).
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果
P(AB)=P(A)P(B)
成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做
相互独立事件．
若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)．
思考
必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立吗？
根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生．
由于P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(A )=P( )=P(A)P( )成立．
因此，必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立．
思考
互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立 以有放回摸球试验为例,验证A与 , 与B, 与 是否独立,你有什么发现
证明
对于A与 ，因为A=AB∪A ，而且AB与A 互斥，
所以
所以
由事件的独立性定义，A与 相互独立.
类似地，可以证明事件 与B， 与 也都相互独立.
注意：
我们知道，如果三个事件A、B、C两两互斥，那么概率加法公式 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；
但当三个事件A、B、C两两独立时，等式
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
一般不成立.
判断两个事件是否相互独立的方法
1.直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.
2.定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
3.转化法:由判断事件A与事件B是否相互独立, 转化为判断A与 , 与B, 与 是否具有独立性.
例1 一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A=“第一次摸出球的标号小于3"”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立
解：因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}，且m≠n}，
A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，
B={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，
AB={(1,2)，(2,1)}.
所以
此时P(AB)≠P(A)P(B)
因此，事件A与事件B不独立.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶.
解:设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则 =“甲脱靶”,
=“乙脱靶”.由于两个人射击的结果互不影响，
所以A与B相互独立，A与 ， 与B， 与 都相互
独立.
由已知可得，
(1)AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72
(2)“恰好有一人中靶” ，且 与 互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
(3)事件“两人都脱靶”= ，所以
(4)方法1：事件“至少有一人中靶” ,且
两两互斥，所以
方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为
方法总结
由简单事件通过运算得到复杂事件,进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率. 解题时要注意:
1.对事件进行分解,一方面分解为互斥的几类简单事件求概率;另一方面分解为独立的事件, 利用事件同时发生(乘法)求出概率.
2.对事件分解时,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
类型 表示
A,B中至少有一个发生为事件
A,B中至多有一个发生为事件
A,B恰好有一个发生为事件
A,B都发生为事件
A,B都不发生为事件
A,B不都发生为事件
已知两个事件A,B,
例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 .在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
解：设A1、A2分别表示甲两轮猜对1个、2个成语的事件，B1、B2分别表示乙两轮猜对1个、2个成语的事件.根据独立性假定,得
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A=A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2、A2与B1分别相互独立，所以
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是
课堂小结
对任意两个事件A与B，如果
P(AB)=P(A)P(B)
成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
注：必然事件Ω、不可能事件 都与任意事件相互独立.
如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否
也相互独立.
若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)．