人教A版（2019）高中数学必修第二册 9.2.4总体离散程度的估计(课件共31张PPT)

(共31张PPT)
9.2.4总体离散程度的估计
复习回顾
总体百分位数的估计
一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第一步:按从小到大排列原始数据；
第二步:计算i=n×p%；
第三步:若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
平均数：一组数据的算术平均数，即
2. 总体集中趋势的估计
平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法，但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子.
问题一：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，
如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？
通过上述数据计算得出：甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7。从这三个数据来看，两名运动员没有差别.
由上图发现：甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中。即甲的成绩波动幅度较大，而乙的成绩比较稳定。
一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.
思考
根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到
甲命中环数的极差=10-4=6，
乙命中环数的极差=9-5=4.
可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.
极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.
我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远。因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度。
1．平均距离
假设一组数据是x1，x2，…，xn，用 x表示这组数据的平均数．我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即|xi－ x|(i＝1,2，…，n)作为xi到的“距离”．
可以得到这组数据x1，x2，…，xn到 x的“平均距离”为
Σ|xi－ x|
n
i=1
1
n
2．方差、标准差
为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即
(1)
我们(1)式称为这组数据的方差，由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致，对方差开方，取算术平方根.
(2)
我们(2)式称为这组数据的标准差
3．总体方差、总体标准差
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为 ，则称
为总体方差， 为总体标准差．
与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式.
样本方差和样本标准差
标准差：考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量，是样本数据到平均数
的一种平均距离，一般用S表示
方差：即标准差的平方
S=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0，这组数据的每个数据是相等的。
标准差和方差刻画了数据的离散程度或波动幅度。
标准差（或方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定；
标准差（或方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定。
显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的；但在实际问题中，一般多采用标准差。
在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的，就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常也用样本标准差估计总体标准差。
在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性。
接引例可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得
S甲=2，S乙≈1.095.
即S甲>S乙，由此可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小。由此可以估计，乙比甲的成绩稳定。
因此，如果要从这两名选手中选择一名参赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置。如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则选甲。
例6
在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
备选例题
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