人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.3.2平面向量的正交分解及其坐标表示(课件共18张PPT)

(共18张PPT)
6.3.2平面向量的正交分解及其坐标表示
人教A版高中数学必修第二册
学习目标
1. 掌握平面向量的正交分解的定义;
2.掌握向量的坐标表示，并把点的坐标转化向量的坐标;
3.通过向量向量的坐标表示，体会基底给我们研究数学问题带来的方便。
4.核心素养：数学推理、数学建模、数学运算。
回顾旧知
平面向量基本定理
条件 e1,e2是同一平面内的两个_____________
结论 对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2
基底 _______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
不共线的向量
不共线
探究新知
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解
1.向量的正交分解
O
F1
G
F2
探究新知
以O为起点， P （4，3）为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？
o
P
x
y
a
探究新知
以O为起点， P （x，y）为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？
o
P
x
y
a
探究新知
在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示
A
o
x
y
可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处.
解决方案:
平面向量的坐标表示
这里，我们把（x,y）叫做向量 的（直角）坐标，记作
①
其中，x叫做 在x轴上的坐标,y叫做 在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
如图， 是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量,若以 为基底，则
概念理解
O
x
y
i
j
a
A(x, y)
a
1.以原点O为起点作 点A的位置由谁确定
2.点A的坐标与向量 的坐标的关系？
两者相同
3.两向量相等的充要条件,利用坐标
如何表示？
知识小结
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个_________的向量,叫做把向量正交分解.
2.平面向量的坐标表示
建系选底————线性表示————定义坐标
互相垂直
在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取 作为基底
对于平面内的任意一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=______
xi+yj
有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作________①,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.①叫做向量a的坐标表示
a=(x,y)
知识小结
本质:向量的坐标表示实现了向量的“量化”表示.
应用:为向量的坐标运算奠定基础.
O
x
y
A
【思考】
问题1：向量坐标与点的坐标的区别是什么
提示:(1)表示形式不同：向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.
(2)意义不同：点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,向量a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.
典型例题
例1.如图，分别用基底 ， 表示向量 、 、 、 ，
并求出它们的坐标。
A
A1
A2
解：如图可知
同理
例2 在平面直角坐标系中,已知点P(1,2),Q(4,3),那么
向量 =________.
【答案】 (3,1)
【解析】
例3 设i,j是平面直角坐标系内分别与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量,O为坐标原点,若 =4i+2j, =3i+4j,则
的坐标是________.
【解析】因为 =(4,2), =(3,4),
所以 =(4,2)+(3,4)=(7,6).
【答案】 (7,6)
例4 如图,{e1,e2}是一个基底,且e1=(1,0),e2=(0,1),则向量a的坐标为(　　)
A.(1,3) B.(3,1) C.(-1,-3) D.(-3,-1)
选A.因为e1,e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,由题图可知a=e1+3e2,根据平面向量坐标的定义可知a=(1,3).
例5如果用i,j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量,且
那么 可以表示为 (　　)
A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j
选C.记O为坐标原点,则 =2i+3j,
=4i+2j,
所以 =4i+2j-(2i+3j )=2i-j.
课堂小结
1.向量的坐标的概念:
2.对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标;
(2)相等的向量有相等的坐标.